Evaluarea Națională 2024, sesiunea de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $14-14:(4-2)$ este: a) $0$ b) $7$ c) $14$ d) $21$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{6}{a}=\frac{b}{2}$, $a\ne 0$, atunci raportul $\frac{a\cdot b}{a\cdot b+1}$ este egal cu: a) $\frac{12}{13}$ b) $1$ c) $\frac{12}{11}$ d) $12$

Exercițiul 3 · 5 puncte Mulțimea divizorilor naturali ai numărului $15$ este: a) $\{3,5\}$ b) $\{0,3,5,15\}$ c) $\{1,3,5,15\}$ d) $\{3,5,15\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $2x^2=8$ este: a) $\{-2\}$ b) $\{-2,2\}$ c) $\{2\}$ d) $\{4\}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, George, Anca, Marius și Alina, ordonează crescător numerele $a=\frac{2}{3}$, $b=0,5$, $c=0,1(3)$ și $d=\frac{1}{4}$. Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect este: a) George b) Anca c) Marius d) Alina

Exercițiul 6 · 5 puncte În prezent, Ioana și Maria au împreună $28$ de ani. Afirmația „Peste $3$ ani, Ioana și Maria vor avea împreună $31$ de ani." este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB<BC<CD$ și $BC=7$ cm. Lungimile segmentelor $AB$, $BC$ și $CD$, exprimate în centimetri, sunt trei numere naturale consecutive, iar punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$. Lungimea segmentului $MD$ este egală cu:

a) $10$ cm b) $13$ cm c) $18$ cm d) $21$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele $a$ și $b$. Punctele $A$ și $E$ aparțin dreptei $a$, iar punctele $B$ și $C$ aparțin dreptei $b$. Dreapta $CD$ este perpendiculară pe dreapta $AB$, punctul $D$ aparține segmentului $AB$, iar măsura unghiului $DAE$ este egală cu $67^{\circ }$. Măsura unghiului $DCB$ este egală cu:

a) $23^{\circ }$ b) $33^{\circ }$ c) $67^{\circ }$ d) $113^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu măsura unghiului $C$ egală cu $75^{\circ }$. Punctul $E$ aparține semidreptei $AC$ astfel încât semidreapta $BC$ este bisectoarea unghiului $ABE$. Măsura unghiului $BEC$ este egală cu:

a) $15^{\circ }$ b) $30^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $105^{\circ }$

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AC=20$ cm și $O$ punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu $30^{\circ }$. Aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu:

a) $20$ cm² b) $25$ cm² c) $100$ cm² d) $200$ cm²

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$. Diametrul $DB$ are lungimea egală cu $50$ cm. Coarda $AC$ are lungimea egală cu $30$ cm și este perpendiculară pe diametrul $BD$. Dacă $E$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, atunci lungimea segmentului $OE$ este egală cu:

a) $20$ cm b) $15$ cm c) $12$ cm d) $10$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu înălțimea $VO=8$ cm și secțiunea axială triunghiul $VAB$, cu $VA=10$ cm. Volumul conului este egal cu:

a) $60\pi$ cm³ b) $96\pi$ cm³ c) $120\pi$ cm³ d) $360\pi$ cm³

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Pentru un concert s-au vândut în total $225$ de bilete pentru adulți și copii. Prețul unui bilet pentru adulți a fost de $25$ de lei, iar prețul unui bilet pentru copii a fost de $20$ de lei. Suma obținută din vânzarea biletelor a fost de $5150$ de lei. a) (2 p) Verifică dacă au fost vândute $205$ bilete pentru adulți. Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină numărul biletelor pentru copii care au fost vândute.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}\right):\frac{x^2+4}{x^2+4x+4}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. a) (2 p) Arată că $\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}=\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. b) (3 p) Determină numerele naturale $n$, $n\ne 2$, pentru care $N=E(n)-1$ este număr natural.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$.

a) (2 p) Arată că $2\cdot f(1)=f(4)$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Determină distanța de la punctul $M(4,0)$ la dreapta $AB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$. Punctul $M$ aparține laturii $CD$, iar paralela prin $M$ la dreapta $AD$ intersectează latura $AB$ în punctul $N$. Bisectoarea unghiului $ANM$ intersectează latura $AD$ în punctul $P$, iar bisectoarea unghiului $MNB$ intersectează latura $BC$ în punctul $Q$.

a) (2 p) Arată că măsura unghiului $PNQ$ este egală cu $90^{\circ }$. b) (3 p) Demonstrează că punctele $P$, $O$ și $Q$ sunt coliniare, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=2\cdot AD=4$ cm, măsura unghiului $BAD$ egală cu $90^{\circ }$ și măsura unghiului $ABC$ egală cu $30^{\circ }$. În exteriorul trapezului se construiesc pătratele $ABEF$ și $BCHG$.

a) (2 p) Arată că $BC=4$ cm. b) (3 p) Demonstrează că patrulaterul $AEGC$ este trapez isoscel.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=8$ cm și $O$ punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$.

a) (2 p) Calculează volumul cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. b) (3 p) Determină distanța de la punctul $O$ la planul $(CMD)$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $4-2=2$, deci $14:2=7$, iar $14-7=7$ (împărțirea și paranteza se efectuează înaintea scăderii).
2. a) Din $\frac{6}{a}=\frac{b}{2}$ rezultă $a\cdot b=6\cdot 2=12$ (produsul mezilor egal cu produsul extremilor), deci $\frac{a\cdot b}{a\cdot b+1}=\frac{12}{13}$.
3. c) Divizorii naturali ai lui $15=3\cdot 5$ sunt $1,3,5,15$.
4. b) Din $2x^2=8$ rezultă $x^2=4$, deci $x=-2$ sau $x=2$, adică mulțimea soluțiilor este $\{-2,2\}$.
5. c) Scrise ca zecimale: $a=\frac{2}{3}\approx 0,667$; $b=0,5$; $c=0,1(3)\approx 0,133$; $d=\frac{1}{4}=0,25$. Ordinea crescătoare corectă este $c<d<b<a$, răspunsul dat de Marius.
6. b) Peste $3$ ani, fiecare dintre cele două persoane este cu $3$ ani mai în vârstă, deci suma vârstelor crește cu $6$: $28+6=34\ne 31$, deci afirmația este falsă.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $AB$, $BC$, $CD$ sunt naturale consecutive cu $BC=7$, deci $AB=6$ cm și $CD=8$ cm. $M$ fiind mijlocul lui $AB$, $MB=3$ cm, deci $MD=MB+BC+CD=3+7+8=18$ cm.
2. a) Cum $D\in AB$, $m(\angle BAE)=m(\angle DAE)=67^{\circ }$; $a\parallel b$ și $AB$ transversală, deci $m(\angle ABC)=67^{\circ }$ (unghiuri alterne interne, $E$ și $C$ de o parte și de alta a transversalei). În triunghiul dreptunghic $BDC$ (drept în $D$, căci $CD\perp AB$), $m(\angle DCB)=90^{\circ }-m(\angle DBC)=90^{\circ }-67^{\circ }=23^{\circ }$.
3. c) În triunghiul dreptunghic $ABC$ (drept în $A$), $m(\angle ABC)=90^{\circ }-75^{\circ }=15^{\circ }$. $BC$ fiind bisectoarea unghiului $ABE$, $m(\angle CBE)=m(\angle ABC)=15^{\circ }$. Cum $E$ este pe semidreapta $AC$ dincolo de $C$, $m(\angle BCE)=180^{\circ }-m(\angle BCA)=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$. În triunghiul $BCE$, $m(\angle BEC)=180^{\circ }-15^{\circ }-105^{\circ }=60^{\circ }$.
4. c) Diagonalele dreptunghiului se înjumătățesc, deci $OA=OB=10$ cm și triunghiul $AOB$ este isoscel. Fie $BH\perp AC$, $H\in AC$: în triunghiul $BHO$, dreptunghic în $H$, cateta $BH$ se opune unghiului de $30^{\circ }$, deci $BH=\frac{OB}{2}=5$ cm. Atunci ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AC\cdot BH}{2}=\frac{20\cdot 5}{2}=50$ cm², iar aria dreptunghiului este dublul ei: $100$ cm².
5. a) Raza cercului este $\frac{DB}{2}=25$ cm, iar semicoarda este $\frac{AC}{2}=15$ cm. Cum $OE\perp AC$, în triunghiul dreptunghic $OEA$ (drept în $E$), $OE=\sqrt{O{A}^2-E{A}^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20$ cm.
6. b) Raza bazei este $r=\sqrt{V{A}^2-V{O}^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$ cm. Volumul conului este $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 36\cdot 8=96\pi$ cm³.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Dacă ar fi fost vândute $205$ bilete pentru adulți, venitul din acestea ar fi $205\cdot 25=5125$ lei (1 p). Diferența $5150-5125=25$ lei ar trebui să provină din vânzarea biletelor pentru copii, la $20$ lei bucata; cum $25$ nu este multiplu de $20$, nu au fost vândute $205$ bilete pentru adulți (1 p). b) (3 p) Notăm cu $n$ numărul biletelor pentru copii; atunci s-au vândut $225-n$ bilete pentru adulți, iar $25(225-n)+20n=5150$, adică $5625-5n=5150$ (1 p). Rezultă $5n=5625-5150=475$ (1 p), deci $n=95$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) Aducând la același numitor $(x-2)(x+2)$, $\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}=\frac{2(x+2)+x(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{2x+4+x^2-2x}{(x-2)(x+2)}$ (1 p) $=\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}$, egalitate valabilă pentru orice $x$ real, $x\ne -2$, $x\ne 2$ (1 p). b) (3 p) Folosind identitatea de la a) și $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$, obținem $E(x)=\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}:\frac{x^2+4}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{(x+2{)}^2}{x^2+4}=\frac{x+2}{x-2}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -2$, $x\ne 2$ (1 p). Atunci $N=E(n)-1=\frac{n+2}{n-2}-1=\frac{4}{n-2}$, pentru orice număr natural $n\ne 2$ (1 p). $N$ este număr natural, deci $n-2=1$ sau $n-2=2$ sau $n-2=4$, de unde obținem $n=3$, $n=4$, $n=6$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(1)=1+2=3$ (1 p). $f(4)=4+2=6$, de unde obținem $2\cdot f(1)=2\cdot 3=6=f(4)$ (1 p). b) (3 p) $A(-2,0)$ și $B(0,2)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, deci $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$ (1 p). $M(4,0)$ este pe axa $Ox$, cu $MA=4-(-2)=6$ cm; cum aria $△MAB=\frac{1}{2}\cdot MA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2=6$ este și $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(M,AB)$, obținem $d(M,AB)=\frac{2\cdot 6}{2\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ cm (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $MN\parallel AD$ și $ABCD$ pătrat ($AD\perp AB$), deci $MN\perp AB$, adică $m(\angle ANM)=m(\angle MNB)=90^{\circ }$ (1 p). $NP$ fiind bisectoarea unghiului $ANM$, $m(\angle PNM)=45^{\circ }$, iar $NQ$ fiind bisectoarea unghiului $MNB$, $m(\angle MNQ)=45^{\circ }$, de unde obținem $m(\angle PNQ)=45^{\circ }+45^{\circ }=90^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) Triunghiurile $PAN$ și $NBQ$ sunt dreptunghice isoscele, deci $AN=AP$ și $NB=BQ$ (1 p). Cum $ABCD$ este pătrat, $AN+NB=AD$, deci $DP=AD-AP=AD-AN=NB=BQ$; cum $DP\parallel BQ$ (ambele perpendiculare pe $AB$), rezultă că $DPBQ$ este paralelogram (1 p). $O$ fiind mijlocul diagonalei $DB$ (diagonalele pătratului se înjumătățesc) și $DPBQ$ fiind paralelogram cu diagonalele $DB$ și $PQ$, rezultă că $O$ este și mijlocul segmentului $PQ$, deci punctele $P$, $O$ și $Q$ sunt coliniare (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Fie $M$ piciorul perpendicularei din $C$ pe $AB$; cum $AD\perp AB$ și $DC\parallel AB$, patrulaterul $ADCM$ este dreptunghi, deci $CM=AD=2$ cm (1 p). În triunghiul dreptunghic $BMC$ (drept în $M$), $m(\angle MBC)=m(\angle ABC)=30^{\circ }$, iar cateta $CM$ se opune unghiului de $30^{\circ }$, deci ipotenuza este dublul ei: $BC=2\cdot CM=4$ cm (1 p). b) (3 p) Cum $AB=BC=4$ cm, triunghiul $ABC$ este isoscel, cu unghiul din $B$ (unghiul $ABC$ al trapezului) egal cu $30^{\circ }$, deci $m(\angle CAB)=\frac{180^{\circ }-30^{\circ }}{2}=75^{\circ }$ (1 p). Diagonala $AE$ a pătratului $ABEF$ înjumătățește unghiul drept din $A$, deci $m(\angle BAE)=45^{\circ }$, de unde $m(\angle CAE)=m(\angle CAB)+m(\angle BAE)=75^{\circ }+45^{\circ }=120^{\circ }$ (1 p). Din $BE=BG$ (laturi ale celor două pătrate, cu $AB=BC$) și $m(\angle EBG)=150^{\circ }$ rezultă că triunghiul $BEG$ este isoscel, deci $m(\angle BEG)=\frac{180^{\circ }-150^{\circ }}{2}=15^{\circ }$; atunci $m(\angle AEG)=m(\angle AEB)+m(\angle BEG)=45^{\circ }+15^{\circ }=60^{\circ }$, deci $m(\angle CAE)+m(\angle AEG)=180^{\circ }$, adică $AC\parallel EG$; cum $AE=CG$ (diagonale de pătrate congruente, $AB=BC$) și $AE\nparallel CG$, patrulaterul $AEGC$ este trapez isoscel (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Volumul cubului este $V_{ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=A{B}^3$ (1 p), iar cu $AB=8$ cm obținem $V=8^3=512$ cm³ (1 p). b) (3 p) Fie $P$ mijlocul segmentului $DC$. Cum $DC\perp MP$ și $DC\perp OP$, cu $MP\cap OP=\{P\}$ și $MP$, $OP\subset (MOP)$, rezultă $DC\perp (MOP)$ (1 p). Fie $N\in MP$ cu $ON\perp MP$; cum $ON\perp DC$ (din $DC\perp (MOP)$), $MP\cap DC=\{P\}$ și $MP$, $DC\subset (CMD)$, obținem $ON\perp (CMD)$, deci $d(O,(CMD))=ON$ (1 p). Scriind aria triunghiului $MOP$ în două feluri, $\frac{ON\cdot MP}{2}=\frac{OP\cdot d(M,OP)}{2}$: aici $OP=\frac{DC}{2}=4$ cm ($O$ fiind centrul pătratului $ABCD$), $d(M,OP)=8$ cm (înălțimea cubului), iar proiecția lui $M$ pe planul bazei este mijlocul lui $AB$, aflat la $8$ cm de $P$, deci $MP=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$ cm; rezultă $ON=\frac{4\cdot 8}{8\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ cm (1 p).

Examen oficial al Evaluării Naționale, sesiunea de rezervă, Varianta 2, anul școlar 2023 – 2024, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, cu enunțurile și baremul după documentul oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică pregătit pentru sesiunea de rezervă a Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2023–2024, Varianta 2 — publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Subiectul de rezervă este documentul pregătit pentru candidații care nu pot susține proba în sesiunea obișnuită, din motive medicale sau din alte situații justificate; este o variantă completă, la același nivel de dificultate, distinctă de subiectul sesiunii obișnuite din iunie 2024, publicat pe acest site ca test separat. Enunțurile urmează documentul oficial: valorile și ordinea variantelor sunt cele de pe subiect, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație. Două lucruri sunt aduse la convenția site-ului, ca să se citească la fel peste tot: măsura unghiului se scrie $m(\angle ABC)$ acolo unde documentul folosește simbolul $\sphericalangle$, iar instrucțiunea Subiectului al III-lea are, în plus, precizarea că se punctează raționamentul și justificările. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul de la Subiectul al III-lea urmează rând cu rând baremul oficial.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Ordinea operațiilor — paranteza se calculează prima, dar împărțirea rămâne înaintea scăderii; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Proporții — produsul mezilor egal cu produsul extremilor, fără a afla separat necunoscutele; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Divizori naturali — mulțimea divizorilor unui număr, cu $1$ înăuntru și $0$ în afară; clasa a V-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Ecuație de forma $x^2=a$ — două soluții reale opuse; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 4)
• Compararea numerelor raționale — fracții ordinare, zecimale finite și o zecimală periodică; clasele V–VII. (Subiectul I, cerința 5)
• Problemă cu vârste — cum se schimbă în timp suma a două vârste; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 6)
• Segmente pe o dreaptă — trei numere naturale consecutive și mijlocul unui segment; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Drepte paralele tăiate de o secantă — unghiuri alterne interne, apoi un triunghi dreptunghic; clasele VI–VII. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Bisectoare într-un triunghi dreptunghic — un unghi aflat din unghiurile complementare; clasele VI–VII. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Dreptunghi: diagonale și arie — unghiul dintre diagonale și cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Cerc: coardă perpendiculară pe diametru — teorema lui Pitagora pe raza cercului; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Conul circular drept — raza din generatoare și înălțime, apoi volumul; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Problemă cu două feluri de bilete — o verificare prin divizibilitate și o ecuație de gradul întâi; clasele VI–VII. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Fracții algebrice — același numitor, împărțirea fracțiilor, apoi divizorii lui $4$; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Funcția liniară — intersecțiile cu axele și distanța de la un punct la o dreaptă; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Pătrat, bisectoare și coliniaritate — triunghiuri dreptunghice isoscele și un paralelogram; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Pătrate construite pe laturile unui trapez — unghiuri în jurul unui punct, apoi trapez isoscel; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Cub: volum și distanța de la un punct la un plan — o perpendiculară pe plan aflată din aria unui triunghi; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba de rezervă din 2024. La Subiectul I, patru cerințe din șase sunt capcane de citire, nu de calcul: la cerința 1, paranteza se calculează prima, dar împărțirea rămâne înaintea scăderii — cine începe cu $14-14$ obține $0$; la cerința 2 nu se cer $a$ și $b$ separat, ci doar produsul lor, $a\cdot b=12$, scos din egalitatea produsului mezilor cu produsul extremilor; la cerința 3, $1$ este divizor al oricărui număr natural nenul, iar $0$ nu este divizor al niciunuia — exact prin asta se deosebesc trei dintre cele patru variante; la cerința 4, $x^2=4$ are două soluții, nu una. Cerința 5 pune față în față o zecimală periodică, $c=0,1(3)\approx 0,13$, și o fracție ordinară, $d=\frac{1}{4}=0,25$: perioada nu face numărul mai mare, iar $c$ este cel mai mic dintre cele patru. Cerința 6 are doar două variante de răspuns și se rezolvă observând că suma a două vârste crește cu $6$ ani în trei ani, nu cu $3$. Subiectul al II-lea este integral geometrie cu figură: la cerința 1, cele trei numere consecutive sunt $6$, $7$ și $8$, iar segmentul cerut pornește din $M$, nu din $A$; la cerința 4, aria iese fără trigonometrie, ducând perpendiculara din $B$ pe $AC$ — cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din $OB$; la cerința 5, perpendiculara dusă din centru pe o coardă o înjumătățește; la cerința 6, $VA=10$ cm este generatoarea, nu raza, iar în formula volumului intră înălțimea. La Subiectul al III-lea, prima problemă se închide printr-un argument de divizibilitate ($25$ nu este multiplu de $20$), a doua se termină cu divizorii lui $4$, iar ultimele trei sunt demonstrații — o coliniaritate, un trapez isoscel și o distanță de la un punct la un plan — unde punctajul se ia pe justificări, nu pe rezultatul final. Pe scurt, este o probă întreagă de clasa 8, care atinge toată materia de gimnaziu, nu doar programa de a 8-a.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: numere întregi, mulțimi de numere sau expresii de forma $3\sqrt{2}$.
• Redactare: la Subiectele I și al II-lea se încercuiește o singură literă; la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă zece puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I și la Subiectul al II-lea se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie cinci puncte, fie zero puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: răspunsul „nu au fost vândute $205$ de bilete pentru adulți” dat fără să arăți că diferența de $25$ de lei nu poate proveni din bilete de câte $20$ de lei (cerința 1); lista $n\in \{3,4,6\}$ scrisă fără forma $N=\frac{4}{n-2}$ și fără condiția ca $n-2$ să fie divizor natural al lui $4$ (cerința 2); distanța de la $M$ la dreapta $AB$ obținută fără cele două scrieri ale ariei triunghiului $MAB$ (cerința 3); concluzia „punctele $P$, $O$ și $Q$ sunt coliniare” fără trecerea prin paralelogramul $DPBQ$ (cerința 4); „trapez isoscel” afirmat fără $AC\parallel EG$ și fără $AE=CG$ (cerința 5); valoarea $2\sqrt{2}$ scrisă fără justificarea perpendicularității $ON\perp (CMD)$ (cerința 6).

Interpretarea punctajului: