Evaluarea Națională 2024, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $52-2\cdot (25-5)$ este: a) $12$ b) $92$ c) $100$ d) $1000$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x-2}{5}=\frac{y}{3}$, atunci rezultatul calculului $3x-5y$ este: a) $0$ b) $2$ c) $5$ d) $6$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ și $B=\{0,2,4,6,8\}$. Intersecția mulțimilor $A$ și $B$ este mulțimea: a) $\{0,2,4,6,8\}$ b) $\{0,1,2,3,4,5,6,8\}$ c) $\{2,4,6\}$ d) $\{0,2,4,6\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației $2x+2\ge 4$ este: a) $(-\infty ,-1]$ b) $(-\infty ,1]$ c) $[-1,+\infty )$ d) $[1,+\infty )$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Ana, Ioan, Dana și Vlad, determină numărul $a=\left|2-4\sqrt{3}\right|+2\left(\sqrt{12}+1\right)$. Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Conform informațiilor din tabel, elevul care a determinat corect numărul $a$ este: a) Ana b) Ioan c) Dana d) Vlad

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama de mai jos sunt prezentate rezultatele obținute de elevii unei clase, la un test de matematică.

Afirmația: „Conform informațiilor din diagramă, jumătate din numărul elevilor acestei clase a obținut la testul de matematică cel puțin nota 8." este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $BC=2AB$, $CD=2BC$ și $AB=2$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ și punctul $N$ este mijlocul segmentului $CD$. Lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $5$ cm c) $7$ cm d) $9$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente complementare $AOB$ și $BOC$. Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$ și $\angle BOC=3\cdot \angle AOM$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

a) $18^{\circ }$ b) $36^{\circ }$ c) $40^{\circ }$ d) $54^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu $AB=10$ cm și $AC=12$ cm. Semidreapta $BI$ este bisectoarea unghiului $ABC$ și semidreapta $CI$ este bisectoarea unghiului $ACB$. Paralela prin punctul $I$ la dreapta $BC$ intersectează dreptele $AB$ și $AC$ în punctele $D$, respectiv $E$. Perimetrul triunghiului $ADE$ este egal cu:

a) $11$ cm b) $20$ cm c) $22$ cm d) $24$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=3\sqrt{2}$ cm și triunghiul $BEC$ dreptunghic în $E$. Punctul $F$ este mijlocul segmentului $BC$ și $EF=4$ cm. Aria trapezului $AFCD$ este egală cu:

a) $6\sqrt{2}$ cm² b) $12\sqrt{2}$ cm² c) $18\sqrt{2}$ cm² d) $24\sqrt{2}$ cm²

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ și raza egală cu $3$ cm. Punctul $P$ este situat la o distanță de $6$ cm de centrul cercului. Dreptele $PA$ și $PB$ sunt tangente la cerc în punctele $A$ și $B$. Măsura arcului mic $AB$ este egală cu:

a) $60^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $120^{\circ }$ d) $150^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu baza $ABCD$, $VA=AB$ și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $DB$. Dacă punctul $M$ este mijlocul segmentului $VB$, atunci măsura unghiului dreptelor $OM$ și $CD$ este egală cu:

a) $0^{\circ }$ b) $30^{\circ }$ c) $45^{\circ }$ d) $60^{\circ }$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete.

Exercițiul 1 · 5 puncte Maria aranjează cărțile din bibliotecă și observă că dacă le grupează câte $8$, câte $12$ sau câte $18$ îi rămân de fiecare dată $5$ cărți. a) (2 p) Verifică dacă Maria poate avea în bibliotecă $53$ de cărți. Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină numărul cărților din biblioteca Mariei, știind că acesta este cel mai mic număr natural de trei cifre cu proprietățile din enunț.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(2x+3{)}^2+(x-2)(x+2)-3(1-x)+2$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E(0)=4$. b) (3 p) Arată că numărul $N=E(n)+6$ este divizibil cu $10$, pentru orice număr natural $n$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră numărul natural $\overline{abc}$ cu $a$, $b$, $c$ cifre nenule, unde $a=5\cdot \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)-\frac{2}{3}:\frac{1}{3}$ și $b=\left(3\cdot 3^2\cdot 3^3\cdot 3^4\right):9^4-25^4:5^7$. a) (2 p) Arată că $a=3$. b) (3 p) Determină numărul $\overline{abc}$, știind că numerele $\overline{ac}$ și $\overline{cb}$ sunt direct proporționale cu numerele $4$ și $3$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic $ABC$, cu $\angle A=90^{\circ }$ și $\angle B=40^{\circ }$. Semidreapta $BE$ este bisectoarea unghiului $ABC$, punctul $E$ aparține segmentului $AC$. Perpendiculara din punctul $A$ pe $BC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $D$, iar perpendiculara din punctul $E$ pe $BC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $F$. Dreptele $BE$ și $AD$ se intersectează în punctul $M$.

a) (2 p) Arată că măsura unghiului $EMA$ este egală cu $70^{\circ }$. b) (3 p) Arată că patrulaterul $AMFE$ este romb.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB=15$ cm. Punctul $P$ aparține laturii $AB$, astfel încât $PB=2AP$ și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$.

a) (2 p) Arată că lungimea segmentului $AP$ este egală cu $5$ cm. b) (3 p) Determină raportul dintre aria triunghiului $ANP$ și aria triunghiului $DNO$, unde $N$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $DP$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt mijloacele segmentelor $A{A}^{\prime }$, $A^{\prime }{D}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$, respectiv $AD$.

a) (2 p) Arată că $MN=PQ$. b) (3 p) Știind că punctul $T$ este mijlocul segmentului $PQ$, demonstrează că dreapta $CT$ este paralelă cu planul $(MNB)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $52-2\cdot (25-5)=52-2\cdot 20=52-40=12$ (paranteza și înmulțirea se efectuează înaintea scăderii finale).
2. d) Din $\frac{x-2}{5}=\frac{y}{3}$ rezultă (prin înmulțire încrucișată) $3(x-2)=5y$, adică $3x-6=5y$, deci $3x-5y=6$.
3. c) $A\cap B=\{1,2,3,4,5,6\}\cap \{0,2,4,6,8\}=\{2,4,6\}$.
4. d) Din $2x+2\ge 4$ rezultă $2x\ge 2$, deci $x\ge 1$, adică mulțimea soluțiilor este $[1,+\infty )$.
5. d) Cum $4\sqrt{3}\approx 6,93>2$, avem $\left|2-4\sqrt{3}\right|=4\sqrt{3}-2$. Și $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, deci $a=(4\sqrt{3}-2)+2(2\sqrt{3}+1)=4\sqrt{3}-2+4\sqrt{3}+2=8\sqrt{3}$ — rezultatul corect a fost obținut de Vlad.
6. a) Numărul total de elevi este $1+3+6+5+5+6+4=30$. Elevii cu nota cel puțin $8$ sunt $5+6+4=15$, adică exact jumătate din $30$ — afirmația este adevărată.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) Notând $A=0$, avem $AB=2$, deci $B=2$; $BC=2AB=4$, deci $C=6$; $CD=2BC=8$, deci $D=14$. Mijlocul $M$ al lui $AB$ este la $1$, iar mijlocul $N$ al lui $CD$ este la $\frac{6+14}{2}=10$. Rezultă $MN=10-1=9$ cm.
2. b) Fie $\angle AOM=\angle MOB=m$ (bisectoare), deci $\angle AOB=2m$. Cum unghiurile sunt complementare, $\angle BOC=90^{\circ }-2m$. Din $\angle BOC=3m$ rezultă $90^{\circ }-2m=3m$, deci $5m=90^{\circ }$, adică $m=18^{\circ }$, iar $\angle AOB=2m=36^{\circ }$.
3. c) Cum $DI=DB$ și $EI=EC$ (triunghiuri isoscele formate de bisectoare și paralela $DE\parallel BC$), perimetrul triunghiului $ADE$ este $AD+DE+EA=AD+DI+IE+EA=(AD+DB)+(EA+EC)=AB+AC=10+12=22$ cm.
4. c) $F$ fiind mijlocul ipotenuzei $BC$ a triunghiului dreptunghic $BEC$, avem $BC=2\cdot EF=8$ cm. Trapezul $AFCD$ are bazele $AD=BC=8$ cm și $FC=4$ cm și înălțimea $AB=3\sqrt{2}$ cm, deci aria este $\frac{(8+4)\cdot 3\sqrt{2}}{2}=18\sqrt{2}$ cm². (Control, pe drumul scăderii: aria dreptunghiului este $AB\cdot BC=3\sqrt{2}\cdot 8=24\sqrt{2}$ cm², iar aria triunghiului $ABF$ este $\frac{AB\cdot BF}{2}=\frac{3\sqrt{2}\cdot 4}{2}=6\sqrt{2}$ cm²; diferența dă tot $18\sqrt{2}$ cm².)
5. c) În triunghiul dreptunghic $OAP$ (drept în $A$), $\sin (\angle APO)=\frac{OA}{OP}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, deci $\angle APO=30^{\circ }$ și $\angle AOP=60^{\circ }$. Prin simetrie, $\angle AOB=2\cdot 60^{\circ }=120^{\circ }$, iar măsura arcului mic $AB$ este egală cu măsura unghiului la centru, $120^{\circ }$.
6. d) Punctul $O$ este mijlocul diagonalei $BD$, iar $M$ este mijlocul muchiei $VB$, deci $OM$ este linie mijlocie în triunghiul $BVD$ și $OM\parallel VD$. Prin urmare unghiul dreptelor $OM$ și $CD$ este egal cu unghiul dreptelor $VD$ și $CD$, adică unghiul $VDC$. Cum $VA=AB$, toate muchiile piramidei sunt congruente, deci triunghiul $VDC$ este echilateral și $m(\angle VDC)=60^{\circ }$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Restul împărțirii lui $53$ la $18$ este $17$ (1 p). Cum $17\ne 5$, Maria nu poate avea în bibliotecă $53$ de cărți (1 p). b) (3 p) Fie $n$ numărul cărților din bibliotecă; $n=8c_1+5=12c_2+5=18c_3+5$, unde $c_1$, $c_2$, $c_3$ sunt numere naturale (1 p). Rezultă că $n-5$ este multiplu comun al numerelor $8$, $12$ și $18$; cum $\text{c.m.m.m.c.}(8,12,18)=72$, obținem $n=72k+5$, unde $k$ este număr natural (1 p). Pentru $k=1$, $n=77$ (două cifre); pentru $k=2$, $n=149$ (trei cifre) — fiind cel mai mic număr natural de trei cifre cu proprietățile din enunț, rezultă $n=149$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E(0)=(2\cdot 0+3{)}^2+(0-2)(0+2)-3(1-0)+2=3^2+(-2)\cdot 2-3+2$ (1 p). Calculăm: $9-4-3+2=4$, deci $E(0)=4$ (1 p). b) (3 p) Dezvoltăm: $E(n)=(2n+3{)}^2+(n-2)(n+2)-3(1-n)+2=(4n^2+12n+9)+(n^2-4)-3+3n+2=5n^2+15n+4$, deci $N=E(n)+6=5n^2+15n+10$ (1 p). Factorizăm: $N=5(n^2+3n+2)=5(n+1)(n+2)$, pentru orice număr natural $n$ (1 p). Cum $n+1$ și $n+2$ sunt numere naturale consecutive, unul dintre ele este par, deci $(n+1)(n+2)$ este divizibil cu $2$, iar $N=5(n+1)(n+2)$ este divizibil cu $5\cdot 2=10$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) Calculăm paranteza: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3+2+1}{6}=1$, deci $5\cdot 1=5$ (1 p). Cum $\frac{2}{3}:\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\cdot 3=2$, obținem $a=5-2=3$ (1 p). b) (3 p) Calculăm $b$: $\left(3\cdot 3^2\cdot 3^3\cdot 3^4\right):9^4=3^{1+2+3+4}:3^8=3^{10}:3^8=3^2=9$, iar $25^4:5^7=5^8:5^7=5$, deci $b=9-5=4$ (1 p). Din $\overline{ac}$ și $\overline{cb}$ direct proporționale cu $4$ și $3$, cu $a=3$, $b=4$, obținem $\frac{\overline{ac}}{4}=\frac{\overline{cb}}{3}$, adică $\frac{30+c}{4}=\frac{10c+4}{3}$; prin înmulțire încrucișată, $3(30+c)=4(10c+4)$, deci $90+3c=40c+16$ (1 p). Rezultă $37c=74$, adică $c=2$; verificare: $\overline{ac}=32$, $\overline{cb}=24$, iar $32:4=24:3=8$. Numărul căutat este $\overline{abc}=342$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) În triunghiul dreptunghic $BDM$ (drept în $D$, pe dreapta $BC$), $\angle DBM=\angle EBC=20^{\circ }$ (jumătate din $\angle ABC=40^{\circ }$, bisectoare), deci $\angle BMD=180^{\circ }-90^{\circ }-20^{\circ }=70^{\circ }$ (1 p). Cum $E$, $M$, $B$ sunt coliniare (pe bisectoare) și $A$, $M$, $D$ sunt coliniare (pe perpendiculara din $A$), unghiurile $EMA$ și $BMD$ sunt opuse la vârf, deci $\angle EMA=\angle BMD=70^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) $EF\perp BC$ și $AD\perp BC$, deci $EF\parallel AD$ (1 p). În triunghiul $AEM$, $\angle EAM=\angle DAC=90^{\circ }-\angle C=90^{\circ }-50^{\circ }=40^{\circ }$, iar $\angle EMA=70^{\circ }$, deci $\angle AEM=180^{\circ }-70^{\circ }-40^{\circ }=70^{\circ }=\angle EMA$ — triunghiul $AEM$ este isoscel, deci $AE=AM$ (1 p). Din triunghiurile dreptunghice congruente $EFB$ și $EAB$ (ipotenuza $BE$ este comună, iar $\angle EBF=\angle EBA$, pentru că $BE$ este bisectoarea unghiului $ABC$) rezultă $EF=EA$; cum $AM=EA=EF$ și $AM\parallel EF$ (ambele pe direcția $AD$, respectiv paralelă cu ea), patrulaterul $AMFE$ este romb (paralelogram cu două laturi alăturate congruente) (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Din $PB=2AP$ rezultă $AB=AP+PB=AP+2AP=3AP$ (1 p). Din $3AP=15$ obținem $AP=5$ cm (1 p). b) (3 p) Triunghiurile $ANP$ și $CND$ sunt asemenea ($AP\parallel CD$), cu raportul $\frac{AP}{CD}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$, deci $AN=\frac{AC}{4}$; cum $AO=\frac{AC}{2}$, obținem $NO=AO-AN=\frac{AC}{4}=AN$ (1 p). Ducând $PS\perp AN$ ($S\in AN$) și $DV\perp NO$ ($V\in NO$), din asemănarea triunghiurilor $SNP$ și $VND$ rezultă $\frac{PS}{DV}=\frac{NP}{ND}=\frac{AP}{CD}=\frac{1}{3}$ (1 p). Atunci $\frac{{\mathcal{A}}_{ANP}}{{\mathcal{A}}_{DNO}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AN\cdot PS}{\frac{1}{2}\cdot NO\cdot DV}=\frac{AN}{NO}\cdot \frac{PS}{DV}=1\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $A{A}^{\prime }{D}^{\prime }$ ($M$, $N$ fiind mijloacele laturilor $A{A}^{\prime }$, $A^{\prime }{D}^{\prime }$), deci $MN=\frac{A{D}^{\prime }}{2}$ (1 p). $PQ$ este linie mijlocie în triunghiul $AD{D}^{\prime }$ ($P$, $Q$ fiind mijloacele laturilor $D{D}^{\prime }$, $AD$), deci $PQ=\frac{A{D}^{\prime }}{2}$, de unde $MN=PQ$ (1 p). b) (3 p) Din $MN\parallel A{D}^{\prime }$ și $PQ\parallel A{D}^{\prime }$ rezultă $MN\parallel PQ$ (1 p). Patrulaterul $MPCB$ este paralelogram ($M$ și $P$ fiind mijloacele muchiilor paralele $A{A}^{\prime }$ și $D{D}^{\prime }$, avem $MP\parallel AD$ și $MP=AD$, deci $MP\parallel BC$ și $MP=BC$), deci $MB\parallel PC$; cum $MN\parallel PQ$ și $MB\parallel PC$ (drepte concurente din fiecare plan, respectiv paralele două câte două), planele $(MNB)$ și $(PQC)$ sunt paralele (1 p). Punctele $C$ și $T$ (mijlocul lui $PQ$) aparțin ambele planului $(PQC)$, deci dreapta $CT$ este inclusă în acest plan; cum $(PQC)\parallel (MNB)$, rezultă $CT\parallel (MNB)$ (1 p).

Simularea oficială de Evaluare Națională, organizată de Ministerul Educației prin CNPEE pentru anul școlar 2023–2024, cu enunțurile și baremul după documentul oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este un test scris de noi: este subiectul oficial al simulării naționale pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, anul școlar 2023–2024 — publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Spre deosebire de subiectele de sesiune, simularea nu poartă număr de variantă și nu poartă nicio dată: pe fiecare pagină scrie doar „Simulare” și anul școlar, iar acestea sunt singurele semne care o identifică. De aceea proba este numită aici simularea națională din 2024, fără lună și fără zi — documentele oficiale nu permit mai mult. Enunțurile urmează documentul publicat: valorile și ordinea variantelor sunt cele de pe subiect, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație. Un singur lucru este adus la convenția site-ului, ca să se citească la fel peste tot: unghiul se scrie $\angle AOB$ acolo unde documentul folosește simbolul $\sphericalangle$. Rezolvările, explicațiile și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul de la Subiectul al III-lea urmează rând cu rând baremul oficial.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Ordinea operațiilor — paranteza și înmulțirea se fac înaintea scăderii; clasa a V-a. (Subiectul I, cerința 1)
• Rapoarte și proporții — înmulțirea încrucișată dă direct expresia cerută; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Mulțimi — intersecția a două mulțimi finite; clasa a V-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Inecuații de gradul întâi — mulțimea soluțiilor, scrisă ca interval; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 4)
• Radicali și modul — semnul lui $2-4\sqrt{3}$ decide cum se scoate modulul; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Statistică și diagrame — o afirmație de validat, citită dintr-o diagramă cu bare; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 6)
• Segmente pe o dreaptă — mijloace și segmente care se dublează din aproape în aproape; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Unghiuri complementare și bisectoare — o ecuație scrisă direct din figură; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Bisectoare și paralelă la o latură — două triunghiuri isoscele ascunse în figură; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Dreptunghi și trapez — mediana din vârful unghiului drept, apoi o arie; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Cerc și tangente — raza perpendiculară pe tangentă și măsura unui arc; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Piramida patrulateră regulată — unghiul a două drepte necoplanare; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Divizibilitate cu rest — același rest la trei împărțiri, deci un multiplu comun; clasa a VI-a. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Calcul algebric și divizibilitate — o expresie desfăcută, apoi descompusă în factori; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Cifrele unui număr și proporționalitate — puteri, apoi o ecuație cu $\overline{ac}$ și $\overline{cb}$; clasele VI–VII. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Triunghi dreptunghic și romb — unghiuri opuse la vârf, un triunghi isoscel, apoi rombul; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Paralelogram și raport de arii — asemănarea dată de laturile paralele; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Cub, linii mijlocii și plane paralele — o dreaptă paralelă cu un plan; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2024. La Subiectul I, jumătate dintre cerințe se pierd din citire, nu din calcul: la cerința 1, varianta $1000$ este exact rezultatul obținut dacă faci scăderea $52-2$ înaintea înmulțirii; la cerința 2 se cere valoarea expresiei $3x-5y$, nu $x$ și $y$ separat — proporția o dă dintr-un pas, fără să afli necunoscutele; la cerința 5, tot răspunsul atârnă de semnul diferenței $2-4\sqrt{3}$, iar rezultatul lui Ioan, $4$, este exact ce iese dacă scoți modulul fără să schimbi semnul; la cerința 6, „cel puțin nota $8$" include și nota $8$, iar clasa are $30$ de elevi, dintre care $15$ intră în categorie. Subiectul al II-lea este geometrie de figură: la cerința 3, perimetrul triunghiului $ADE$ nu depinde de $BC$ — cele două bisectoare plus paralela prin $I$ dau triunghiuri isoscele, iar perimetrul se reduce la $AB+AC$; la cerința 4, $EF$ este mediana din vârful unghiului drept, deci $BC=2\cdot EF$, iar aria cerută este a trapezului, nu a dreptunghiului întreg; la cerința 6, condiția $VA=AB$ face toate muchiile piramidei congruente. La Subiectul al III-lea, capcanele sunt de enunț: cerința 1 b) cere cel mai mic număr de trei cifre, deci $k=2$, nu primul termen al șirului; cerința 3 lucrează cu cifre nenule; cerința 6 b) cere paralelismul unei drepte cu un plan, nu cu o dreaptă.

Ce lipsește față de proba din iunie. Fiind o simulare dată la mijlocul anului, subiectul acoperă doar partea de programă de clasa 8 parcursă până atunci, iar asta se vede: geometria în spațiu apare de două ori, dar numai cu unghiuri și cu paralelism — nicio cerință nu cere aria sau volumul unui corp. Nu apare nicio cerință despre funcția liniară și reprezentarea ei grafică și niciuna despre probabilități. Pentru un elev de a 8-a asta înseamnă că o simulare bine scrisă nu este încă o probă completă: după ea rămân de învățat corpurile geometrice și de recitit funcțiile.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cele 18 cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Nota se obține împărțind punctajul total la $10$.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: numere întregi, fracții simple sau expresii de forma $8\sqrt{3}$ și $18\sqrt{2}$.
• Redactare: la Subiectele I și al II-lea se încercuiește o singură literă; la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă zece puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I și la Subiectul al II-lea se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie cinci puncte, fie zero puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: răspunsul „nu poate avea $53$ de cărți” dat fără restul $17$ scris explicit, pe care baremul îl punctează separat (cerința 1); concluzia „$N$ este divizibil cu $10$” trasă din factorul $5$, fără observația că dintre două numere naturale consecutive unul este par (cerința 2); valoarea $c=2$ dată fără proporția $\frac{\overline{ac}}{4}=\frac{\overline{cb}}{3}$ scrisă înainte (cerința 3); „$AMFE$ este romb” citit din desen, fără $EF\parallel AD$ și fără egalitatea $AE=AM$ (cerința 4); raportul ariilor scris fără egalitatea bazelor $AN=NO$, care este exact ce face raportul să fie $\frac{1}{3}$ (cerința 5); $CT\parallel (MNB)$ afirmat fără trecerea prin planul $(PQC)$ (cerința 6).

Interpretarea punctajului: