Evaluarea Națională 2025, sesiunea iunie — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $4+12:2$ este egal cu: a) $6$ b) $8$ c) $10$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Știind că $\frac{a}{2}=\frac{2}{3}$, atunci $\frac{a}{4}$ este egal cu: a) $\frac{1}{3}$ b) $\frac{4}{3}$ c) $2$ d) $3$

Exercițiul 3 · 5 puncte Produsul numerelor $-2$ și $5$ este egal cu: a) $-10$ b) $-3$ c) $3$ d) $10$

Exercițiul 4 · 5 puncte Soluția ecuației $6x-2=1$ este numărul: a) $-\frac{1}{3}$ b) $-\frac{1}{2}$ c) $\frac{1}{3}$ d) $\frac{1}{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Ana, Maria, Dan și Vlad, calculează suma numerelor $a=\sqrt{3^2+4^2}$ și $b=\sqrt{3^2\cdot 4^2}$. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de: a) Ana b) Maria c) Dan d) Vlad

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama de mai jos, sunt prezentate rezultatele obținute de elevii participanți la un concurs.

Valorile citite din diagramă, în ordinea barelor ($40$, $50$, $60$, $70$, $80$, $90$, $100$ de puncte): $2$, $3$, $6$, $5$, $4$, $6$, $4$ elevi.

Afirmația „Conform informațiilor din diagramă, $5$ dintre elevii participanți au obținut exact $80$ de puncte.” este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$ și punctul $D$ este simetricul punctului $B$ față de $C$. Știind că $AD=12$ cm, lungimea segmentului $AC$ este egală cu:

a) $3$ cm b) $4$ cm c) $6$ cm d) $8$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente $AOB$ și $BOC$, cu $m(\angle BOC)=2\cdot m(\angle AOB)$. Măsura unghiului $AOC$ este egală cu $120^{\circ }$ și semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Măsura unghiului $AOM$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $40^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $80^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $m(\angle BAC)=120^{\circ }$. Punctul $E$ aparține segmentului $BC$, astfel încât $CE=4$ cm, iar dreptele $AB$ și $AE$ sunt perpendiculare. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

a) $16$ cm b) $12$ cm c) $8$ cm d) $6$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=3\cdot BC$. Perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este egal cu $32$ cm. Aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu:

a) $16{\text{cm}}^2$ b) $32{\text{cm}}^2$ c) $48{\text{cm}}^2$ d) $64{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, înscris în cercul de centru $O$. Punctul $D$ aparține arcului mic $BC$. Măsura unghiului $BDC$ este egală cu:

a) $60^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $120^{\circ }$ d) $150^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat conul circular drept cu secțiunea axială triunghiul echilateral $VAB$, cu $AB=6$ cm. Aria laterală a conului este egală cu:

a) $18\pi {\text{cm}}^2$ b) $27\pi {\text{cm}}^2$ c) $36\pi {\text{cm}}^2$ d) $54\pi {\text{cm}}^2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete.

Exercițiul 1 · 5 puncte Ana a cumpărat de la o librărie caiete, pixuri și creioane. Prețul unui pix este egal cu $75\%$ din prețul unui caiet, iar prețul unui creion este egal cu $40\%$ din prețul unui pix. a) (2 p) Este posibil ca prețul a opt pixuri să fie egal cu prețul a cinci caiete? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Dacă Ana a plătit pentru trei caiete, patru pixuri și cinci creioane suma de $45$ de lei, determină prețul unui caiet.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{2}{x-3}-\frac{3}{x}+\frac{2}{x+3}\right):\frac{1}{x^2-3x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -3$, $x\ne 0$ și $x\ne 3$. a) (2 p) Arată că $\frac{2}{x-3}-\frac{3}{x}+\frac{2}{x+3}=\frac{x^2+27}{x(x-3)(x+3)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -3$, $x\ne 0$ și $x\ne 3$. b) (3 p) Demonstrează că $E(n)>6$, pentru orice număr natural $n$, $n\ne 0$, $n\ne 3$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-4$. a) (2 p) Arată că $f(2)-f(0)=4$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Punctul $C$ este simetricul punctului $A$ față de axa $Oy$. Arată că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $4\left(\sqrt{5}+1\right)$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ și triunghiul echilateral $ACE$, astfel încât punctele $D$ și $E$ sunt situate de aceeași parte a dreptei $AC$. Perimetrul pătratului $ABCD$ este egal cu $48$ cm. a) (2 p) Arată că perimetrul triunghiului $ACE$ este egal cu $36\sqrt{2}$ cm. b) (3 p) Arată că distanța de la punctul $D$ la dreapta $AE$ este egală cu $3\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel DC$, $m(\angle DAB)=90^{\circ }$, $AB=8$ cm și $AD=DC=4$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $DC$ și $P$ este punctul de intersecție a dreptelor $AM$ și $BD$. a) (2 p) Arată că $BC=4\sqrt{2}$ cm. b) (3 p) Calculează aria patrulaterului $MPBC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=8$ cm. Dreptele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$, iar dreptele $A^{\prime }B$ și $A{B}^{\prime }$ se intersectează în punctul $E$. Punctul $F$ este mijlocul segmentului $C{C}^{\prime }$. a) (2 p) Arată că volumul cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu $512{\text{cm}}^3$. b) (3 p) Demonstrează că dreptele $FO$ și $DE$ sunt perpendiculare.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul — pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte; nu se acordă punctaje intermediare. Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. Structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, Varianta 7.

Subiectul I (30 p)

1. c) Împărțirea se face înaintea adunării: $4+12:2=4+6=10$.
2. a) Din $\frac{a}{2}=\frac{2}{3}$ rezultă $a=\frac{4}{3}$, deci $\frac{a}{4}=\frac{4}{3}:4=\frac{1}{3}$.
3. a) Produsul a două numere de semne diferite este negativ: $(-2)\cdot 5=-10$.
4. d) $6x-2=1\Rightarrow 6x=3\Rightarrow x=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
5. a) $a=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ și $b=\sqrt{3^2\cdot 4^2}=\sqrt{144}=12$, deci $a+b=17$ — rezultatul Anei. (Radicalul nu se „împarte” peste adunare: $\sqrt{9+16}\ne 3+4$; de acolo vine $19$.)
6. b) Bara de la $80$ de puncte are înălțimea $4$, deci exact $4$ elevi au obținut $80$ de puncte, nu $5$; afirmația este falsă. (Bara de înălțime $5$ este cea de la $70$ de puncte.)

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) Notăm $AB=x$. Din „$B$ mijlocul lui $AC$” avem $BC=x$, iar din „$D$ simetricul lui $B$ față de $C$” avem $CD=x$; atunci $AD=3x=12$, deci $x=4$ și $AC=2x=8$ cm.
2. d) $m(\angle AOB)+m(\angle BOC)=120^{\circ }$ și $m(\angle BOC)=2\cdot m(\angle AOB)$ dau $3\cdot m(\angle AOB)=120^{\circ }$, deci $m(\angle AOB)=40^{\circ }$ și $m(\angle BOC)=80^{\circ }$; bisectoarea dă $m(\angle BOM)=40^{\circ }$, deci $m(\angle AOM)=40^{\circ }+40^{\circ }=80^{\circ }$.
3. b) Triunghiul isoscel cu $m(\angle BAC)=120^{\circ }$ are $m(\angle B)=m(\angle C)=30^{\circ }$; din $AB\perp AE$ rezultă $m(\angle EAC)=120^{\circ }-90^{\circ }=30^{\circ }$, deci triunghiul $AEC$ este isoscel și $AE=EC=4$ cm; în triunghiul $ABE$, dreptunghic în $A$, cateta $AE$ se opune unghiului de $30^{\circ }$, deci $BE=2\cdot AE=8$ cm și $BC=8+4=12$ cm.
4. c) Cu $BC=x$ și $AB=3x$: $2(3x+x)=32\Rightarrow 8x=32\Rightarrow x=4$; deci $BC=4$ cm, $AB=12$ cm și $\mathcal{A}=12\cdot 4=48{\text{cm}}^2$.
5. c) Patrulaterul $ABDC$ este inscriptibil, deci $m(\angle BAC)+m(\angle BDC)=180^{\circ }$; cum triunghiul $ABC$ este echilateral, $m(\angle BAC)=60^{\circ }$ și $m(\angle BDC)=120^{\circ }$.
6. a) Secțiunea axială echilaterală cu $AB=6$ cm dă raza $R=3$ cm și generatoarea $G=VA=6$ cm, deci ${\mathcal{A}}_{\ell }=\pi RG=\pi \cdot 3\cdot 6=18\pi {\text{cm}}^2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $x$ prețul, în lei, al unui caiet. a) (2 p) Prețul unui pix este $\frac{75}{100}\cdot x=\frac{3}{4}x$ (1 p). Opt pixuri costă $8\cdot \frac{3}{4}x=6x$, iar cinci caiete costă $5x$; cum $6x\ne 5x$ (prețul $x$ fiind nenul), nu este posibil ca prețul a opt pixuri să fie egal cu prețul a cinci caiete (1 p). b) (3 p) Prețul unui creion este $\frac{40}{100}\cdot \frac{3}{4}x=\frac{3}{10}x$ (1 p). Din enunț, $3x+4\cdot \frac{3}{4}x+5\cdot \frac{3}{10}x=45$ (1 p), adică $3x+3x+\frac{3}{2}x=45$, deci $15x=90$, de unde $x=6$: prețul unui caiet este $6$ lei (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $\frac{2}{x-3}-\frac{3}{x}+\frac{2}{x+3}=\frac{2x(x+3)-3(x-3)(x+3)+2x(x-3)}{x(x-3)(x+3)}$ (1 p) $=\frac{2x^2+6x-3x^2+27+2x^2-6x}{x(x-3)(x+3)}=\frac{x^2+27}{x(x-3)(x+3)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -3$, $x\ne 0$ și $x\ne 3$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x^2+27}{x(x-3)(x+3)}\cdot \frac{x(x-3)}{1}=\frac{x^2+27}{x+3}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -3$, $x\ne 0$, $x\ne 3$ (1 p). $E(n)-6=\frac{n^2+27-6(n+3)}{n+3}=\frac{n^2-6n+9}{n+3}=\frac{(n-3{)}^2}{n+3}$, pentru orice număr natural $n$, $n\ne 0$ și $n\ne 3$ (1 p). Cum $n+3>0$ și $(n-3{)}^2>0$ (pentru că $n\ne 3$), rezultă $E(n)-6>0$, deci $E(n)>6$, pentru orice număr natural $n$, $n\ne 0$ și $n\ne 3$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(2)=2\cdot 2-4=0$ (1 p); $f(0)=2\cdot 0-4=-4$, deci $f(2)-f(0)=0-(-4)=4$ (1 p). b) (3 p) $f(x)=0\Rightarrow x=2$, deci $A(2,0)$, iar pentru $x=0$ se obține $y=-4$, deci $B(0,-4)$ (1 p). Punctul $C$ este simetricul lui $A$ față de axa $Oy$, deci $OC=OA=2$ și $CA=4$ (1 p). Triunghiurile $AOB$ și $COB$ sunt dreptunghice în $O$, deci $AB=BC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, de unde $P_{ABC}=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+4=4\left(\sqrt{5}+1\right)$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $AB=\frac{48}{4}=12$ cm, iar diagonala pătratului este $AC=AB\sqrt{2}=12\sqrt{2}$ cm (1 p). Triunghiul $ACE$ fiind echilateral, $P_{ACE}=3\cdot AC=36\sqrt{2}$ cm (1 p). b) (3 p) Cum $DA=DC$ și $EA=EC$, rezultă $△ADE\equiv △CDE$; punctul $D$ este în interiorul triunghiului $ACE$, deci ${\mathcal{A}}_{ADE}=\frac{{\mathcal{A}}_{ACE}-{\mathcal{A}}_{ACD}}{2}=\frac{\frac{(12\sqrt{2}{)}^2\sqrt{3}}{4}-\frac{12^2}{2}}{2}=\frac{72\sqrt{3}-72}{2}=36\left(\sqrt{3}-1\right){\text{cm}}^2$ (1 p). Fie $M\in AE$ cu $DM\perp AE$; atunci $d(D,AE)=DM$ și ${\mathcal{A}}_{ADE}=\frac{AE\cdot DM}{2}$ (1 p). Rezultă $DM=\frac{2{\mathcal{A}}_{ADE}}{AE}=\frac{72\left(\sqrt{3}-1\right)}{12\sqrt{2}}=\frac{6\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Fie $N\in AB$ cu $CN\perp AB$; patrulaterul $ADCN$ este dreptunghi, deci $CN=AD=4$ cm și $AN=DC=4$ cm, de unde $NB=AB-AN=8-4=4$ cm (1 p). În triunghiul $CNB$, dreptunghic în $N$: $BC=\sqrt{C{N}^2+N{B}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ cm (1 p). b) (3 p) Din $DM\parallel AB$ rezultă $△DPM\sim △BPA$, deci $\frac{PM}{PA}=\frac{DM}{BA}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$ (1 p). Fie $EF\perp AB$, cu $E\in CD$, $F\in AB$ și $P\in EF$; din $△PME\sim △PAF$ rezultă $\frac{PE}{PF}=\frac{PM}{PA}=\frac{1}{4}$, iar $PE+PF=EF=AD=4$ cm, deci $PF=\frac{16}{5}$ cm și ${\mathcal{A}}_{APB}=\frac{AB\cdot PF}{2}=\frac{8\cdot \frac{16}{5}}{2}=\frac{64}{5}{\text{cm}}^2$ (1 p). Cum ${\mathcal{A}}_{ABCM}=\frac{(MC+AB)\cdot AD}{2}=\frac{(2+8)\cdot 4}{2}=20{\text{cm}}^2$, obținem ${\mathcal{A}}_{MPBC}={\mathcal{A}}_{ABCM}-{\mathcal{A}}_{APB}=20-\frac{64}{5}=\frac{36}{5}=7,2{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $V_{ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=A{B}^3$ (1 p) $=8^3=512{\text{cm}}^3$ (1 p). b) (3 p) Punctul $O$ este mijlocul lui $AC$, iar $F$ este mijlocul lui $C{C}^{\prime }$, deci $FO$ este linie mijlocie în triunghiul $AC{C}^{\prime }$ și $FO\parallel A{C}^{\prime }$; prin urmare unghiul dintre dreptele $FO$ și $DE$ este egal cu unghiul dintre dreptele $A{C}^{\prime }$ și $DE$ (1 p). Punctul $E$ este mijlocul diagonalei $A{B}^{\prime }$ a pătratului $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, iar $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$ (pentru că $AD{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ este paralelogram), deci $△AQE\sim △C^{\prime }QD$, unde $\{Q\}=DE\cap A{C}^{\prime }$, cu $\frac{AQ}{C^{\prime }Q}=\frac{QE}{QD}=\frac{AE}{C^{\prime }D}=\frac{1}{2}$; de aici $QD=\frac{2}{3}\cdot DE$ și $C^{\prime }Q=\frac{2}{3}\cdot C^{\prime }A$ (1 p). Cum $DA\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, triunghiul $DAE$ este dreptunghic în $A$ și $DE=\sqrt{D{A}^2+A{E}^2}=\sqrt{64+32}=4\sqrt{6}$ cm, iar $C^{\prime }A=8\sqrt{3}$ cm, deci $QD=\frac{8\sqrt{6}}{3}$ cm și $C^{\prime }Q=\frac{16\sqrt{3}}{3}$ cm; cum $C^{\prime }D=8\sqrt{2}$ cm și $Q{D}^2+C^{\prime }{Q}^2=\frac{384}{9}+\frac{768}{9}=128=C^{\prime }{D}^2$, reciproca teoremei lui Pitagora dă $m(\angle DQ{C}^{\prime })=90^{\circ }$, deci $m(\angle (FO,DE))=90^{\circ }$: dreptele $FO$ și $DE$ sunt perpendiculare (1 p).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2024–2025, proba scrisă din 25 iunie 2025, Varianta 7 — publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Enunțurile urmează documentul oficial: valorile și ordinea variantelor sunt cele de pe subiect, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație. Două lucruri sunt aduse la convenția site-ului, ca să se citească la fel peste tot: măsura unghiului se scrie $m(\angle ABC)$ acolo unde documentul folosește simbolul $\sphericalangle$, iar instrucțiunile subiectelor sunt formulate la persoana a doua singular („Scrie”), ca în restul testelor de aici. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul de la Subiectul al III-lea urmează rând cu rând baremul oficial.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Ordinea operațiilor — împărțirea se face înaintea adunării; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Rapoarte și proporții — un număr aflat dintr-o egalitate de rapoarte; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Numere întregi — regula semnelor la înmulțire; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Ecuație de gradul întâi — o necunoscută, rezultat fracționar; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 4)
• Radicali — $\sqrt{a^2+b^2}$ față de $\sqrt{a^2\cdot b^2}$; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Statistică și diagrame — citirea unei diagrame cu bare; clasele VI–VIII. (Subiectul I, cerința 6)
• Segmente, mijloc și simetric — trei segmente congruente pe aceeași dreaptă; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Unghiuri adiacente și bisectoare — o sumă de unghiuri cu raport dat; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Triunghi isoscel și unghiul de $30^{\circ }$ — cateta opusă, jumătate din ipotenuză; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Dreptunghi: perimetru și arie — o latură scrisă în funcție de cealaltă; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Cerc și patrulater inscriptibil — triunghi echilateral înscris, unghi pe arcul opus; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Conul circular drept — secțiune axială echilaterală și arie laterală; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Procente și ecuație — procent din procent, apoi o ecuație; clasele VI–VII. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Fracții algebrice — același numitor, împărțirea fracțiilor, o inegalitate; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Funcția liniară — intersecțiile cu axele, un simetric, un perimetru cu radical; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Pătrat, triunghi echilateral și arii — distanța de la un punct la o dreaptă, aflată din arie; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Trapez dreptunghic și asemănare — un raport dat de paralele, apoi arie prin scădere; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Cub: volum și drepte perpendiculare — linie mijlocie, asemănare în spațiu, reciproca lui Pitagora; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2025. La Subiectul I, două cerințe sunt capcane de citire, nu de calcul: cerința 5 cere să deosebești $\sqrt{3^2+4^2}=5$ de $\sqrt{3^2\cdot 4^2}=12$ — cine „distribuie” radicalul peste adunare obține $7$ și alege un rezultat greșit din tabel; cerința 6 are doar două variante de răspuns și se rezolvă numărând o singură bară din diagramă. Subiectul al II-lea este integral geometrie cu figură și se rezolvă în doi pași scurți, dacă figura e citită corect: la cerința 1, punctele $A$, $B$, $C$, $D$ împart segmentul $AD$ în trei părți egale, nu în două; la cerința 5, punctul $D$ este pe arcul mic, deci unghiul lui este suplementul unghiului $BAC$; la cerința 6, $AB$ este diametrul bazei, iar latura triunghiului este generatoarea. La Subiectul al III-lea, primele trei probleme cer calcul organizat, iar ultimele trei sunt geometrie: o arie obținută prin scădere, o asemănare într-un trapez și o perpendicularitate în spațiu.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: întregi, fracții simple sau expresii de forma $4\sqrt{2}$.
• Redactare: la Subiectele I și al II-lea se încercuiește o singură literă; la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I și la Subiectul al II-lea se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: răspunsul „nu este posibil” dat fără compararea celor două prețuri (cerința 1); concluzia $E(n)>6$ scoasă din $(n-3{)}^2\ge 0$, fără observația că $n\ne 3$ face pătratul strict pozitiv (cerința 2); aria triunghiului $ADE$ scrisă fără justificarea congruenței $△ADE\equiv △CDE$ (cerința 4); raportul de asemănare folosit fără paralelismul din care vine (cerința 5); „dreptele sunt perpendiculare” fără trecerea prin $FO\parallel A{C}^{\prime }$ (cerința 6).

Interpretarea punctajului: