Evaluarea Națională 2025, sesiunea de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Cel mai mare număr întreg de două cifre este: a) $-99$ b) $-10$ c) $10$ d) $99$

Exercițiul 2 · 5 puncte Știind că $\frac{x-1}{7}=\frac{y}{2}$, rezultatul calculului $2x-7y$ este egal cu: a) $0$ b) $1$ c) $2$ d) $5$

Exercițiul 3 · 5 puncte Luni, temperatura înregistrată la ora 9 la o stație meteo a fost de $-4^{\circ }\text{C}$, iar marți, la aceeași oră, au fost înregistrate $2^{\circ }\text{C}$. Temperatura înregistrată marți este mai mare decât temperatura înregistrată luni cu: a) $-6^{\circ }\text{C}$ b) $-2^{\circ }\text{C}$ c) $2^{\circ }\text{C}$ d) $6^{\circ }\text{C}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dintre numerele $\frac{7}{2}$, $\frac{7}{3}$, $\frac{7}{4}$ și $\frac{7}{5}$, cel mai mic este: a) $\frac{7}{5}$ b) $\frac{7}{4}$ c) $\frac{7}{3}$ d) $\frac{7}{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Elena, Sofia, Petrică și Tudor, calculează produsul numerelor $a=\sqrt{5}-2$ și $b=\sqrt{5}+2$, iar rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de: a) Elena b) Sofia c) Petrică d) Tudor

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama de mai jos sunt prezentate informații despre numărul de cărți vândute într-o librărie în primele cinci luni ale anului 2025.

Afirmația „Conform informațiilor din diagramă, cele mai multe cărți au fost vândute în luna aprilie." este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=4$ cm și $BC=14$ cm. Știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$, lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

a) $9$ cm b) $7$ cm c) $4$ cm d) $2$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile congruente $AOB$, $BOC$ și $COA$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

a) $60^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $120^{\circ }$ d) $150^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AC=BC$ și măsura unghiului $ACB$ de $40^{\circ }$. Punctele $A$, $B$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine. Măsura unghiului $CBD$ este egală cu:

a) $40^{\circ }$ b) $70^{\circ }$ c) $100^{\circ }$ d) $110^{\circ }$

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AD=BD=4\sqrt{2}$ cm. Măsura unghiului $ADB$ este egală cu $90^{\circ }$. Lungimea segmentului $CD$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $4\sqrt{2}$ cm c) $4\sqrt{3}$ cm d) $8$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $10$ cm. Triunghiul echilateral $ABC$ este înscris în acest cerc. Lungimea laturii triunghiului echilateral $ABC$ este egală cu:

a) $10\sqrt{2}$ cm b) $15$ cm c) $10\sqrt{3}$ cm d) $20$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o sferă cu raza de $3$ cm. Volumul sferei este egal cu:

a) $108\pi$ cm³ b) $36\pi$ cm³ c) $27\pi$ cm³ d) $12\pi$ cm³

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Doi copii, Alin și Maria, au împreună o sumă de bani $S$. Sumele de bani ale fiecărui copil sunt exprimate prin numere naturale. Dacă Alin ar cheltui $10$ lei, atunci lui Alin i-ar rămâne de două ori mai puțini bani decât are Maria. a) (2 p) Este posibil ca suma $S$ să fie egală cu $140$ de lei? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină suma $S$, știind că, dacă Maria i-ar da $15$ lei lui Alin, atunci cei doi copii ar avea sume egale de bani.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}\right):\frac{1}{x^3-4x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. a) (2 p) Arată că $\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}=\frac{x-1}{(x+2)(x-2)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. b) (3 p) Arată că numărul $N=E\left(\sqrt{2}-1\right)+3\cdot E\left(\sqrt{2}+1\right)$ este natural.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2-x$.

a) (2 p) Arată că $f(1)\cdot f(0)=2$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Determină distanța de la punctul $C(0,-4)$ la dreapta $AB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, cu $AB=6$ cm. Punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$, iar punctul $M$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $G$.

a) (2 p) Arată că măsura unghiului $ACM$ este egală cu $90^{\circ }$. b) (3 p) Bisectoarea unghiului $AMC$ intersectează dreapta $AC$ în punctul $T$. Arată că aria patrulaterului $ABMT$ este egală cu $10\sqrt{3}$ cm².

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$, cu $AB=8$ cm. Punctul $T$ aparține laturii $AD$, astfel încât măsura unghiului $ABT$ este egală cu $30^{\circ }$. Perpendiculara din punctul $A$ pe dreapta $BT$ intersectează dreptele $BT$ și $DC$ în punctele $M$, respectiv $S$.

a) (2 p) Demonstrează că segmentele $AT$ și $DS$ sunt congruente. b) (3 p) Arată că $DM>2\left(4-\sqrt{3}\right)$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=4$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ și punctul $P$ este mijlocul segmentului $C^{\prime }C$.

a) (2 p) Arată că lungimea segmentului $CM$ este egală cu $2\sqrt{5}$ cm. b) (3 p) Arată că măsura unghiului dreptelor $BO$ și $MP$ este egală cu $60^{\circ }$, unde $\{O\}=A^{\prime }{C}^{\prime }\cap B^{\prime }{D}^{\prime }$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. d) Numerele întregi de două cifre sunt cele din intervalul $[-99,-10]\cup [10,99]$; cel mai mare dintre ele este $99$.
2. c) Din $\frac{x-1}{7}=\frac{y}{2}$ rezultă, prin înmulțire cu $14$: $2(x-1)=7y$, adică $2x-2=7y$, deci $2x-7y=2$.
3. d) Diferența dintre temperatura de marți și cea de luni este $2^{\circ }\text{C}-\left(-4^{\circ }\text{C}\right)=6^{\circ }\text{C}$.
4. a) Fracțiile au același numărător ($7$); cu cât numitorul este mai mare, cu atât fracția este mai mică. Numitorul cel mai mare este $5$, deci cea mai mică fracție este $\frac{7}{5}$.
5. d) $a\cdot b=\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)={\left(\sqrt{5}\right)}^2-2^2=5-4=1$ — rezultatul corect a fost obținut de Tudor.
6. a) Conform diagramei, numărul de cărți vândute este: ianuarie $1500$, februarie $2000$, martie $500$, aprilie $2500$, mai $1500$; cele mai multe cărți ($2500$) au fost vândute în aprilie, deci afirmația este adevărată.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $M$ fiind mijlocul lui $AB$, $MB=\frac{AB}{2}=2$ cm; $N$ fiind mijlocul lui $BC$, $BN=\frac{BC}{2}=7$ cm. Cum $A,B,C$ sunt coliniare în această ordine, $MN=MB+BN=2+7=9$ cm.
2. c) Unghiurile $AOB$, $BOC$ și $COA$ sunt congruente și, împreună, formează unghiul „complet" din jurul punctului $O$ ($360^{\circ }$), deci fiecare are măsura $\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }$.
3. d) Din $AC=BC$ și $m(\angle ACB)=40^{\circ }$, rezultă $m(\angle BAC)=m(\angle ABC)=\frac{180^{\circ }-40^{\circ }}{2}=70^{\circ }$. Cum $A,B,D$ sunt coliniare, unghiul $CBD$ este unghi exterior triunghiului $ABC$ în $B$, deci $m(\angle CBD)=180^{\circ }-m(\angle ABC)=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$.
4. d) Triunghiul $ABD$ are $AD=BD=4\sqrt{2}$ cm și $m(\angle ADB)=90^{\circ }$, deci este dreptunghic isoscel, cu ipotenuza $AB=\sqrt{A{D}^2+B{D}^2}=\sqrt{32+32}=\sqrt{64}=8$ cm. Cum $ABCD$ este paralelogram, $CD=AB=8$ cm.
5. c) Pentru un triunghi echilateral înscris într-un cerc de rază $R$, latura este $\ell =R\sqrt{3}$. Cu $R=10$ cm, $\ell =10\sqrt{3}$ cm.
6. b) Volumul sferei de rază $r$ este $V=\frac{4}{3}\pi r^3$. Cu $r=3$ cm, $V=\frac{4}{3}\pi \cdot 27=36\pi$ cm³.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Fie $x$ suma de bani a lui Alin. Dacă Alin ar cheltui $10$ lei, i-ar rămâne $x-10$ lei, sumă de două ori mai mică decât a Mariei, deci Maria are $y=2(x-10)$ lei (1 p). Suma totală este $S=x+y=x+2(x-10)=3x-20$. Pentru $S=140$: $3x-20=140\Rightarrow 3x=160\Rightarrow x=\frac{160}{3}$, care nu este număr natural, deci nu este posibil ca suma $S$ să fie egală cu $140$ de lei (1 p). b) (3 p) Dacă Maria i-ar da $15$ lei lui Alin, sumele ar deveni egale: $x+15=y-15$, adică $y=x+30$ (1 p). Combinând cu $y=2(x-10)=2x-20$: $x+30=2x-20\Rightarrow x=50$ (1 p). Rezultă $y=2\cdot 50-20=80$, deci $S=x+y=50+80=130$ lei (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) Cum $x^2-4=(x-2)(x+2)$, aducem la același numitor: $\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{(x-2)(x+2)}+\frac{1}{x+2}=\frac{1+(x-2)}{(x-2)(x+2)}$ (1 p). Rezultă $\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}=\frac{x-1}{(x+2)(x-2)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -2$ și $x\ne 2$ (1 p). b) (3 p) Cum $x^3-4x=x(x-2)(x+2)$, obținem $E(x)=\frac{x-1}{(x+2)(x-2)}\cdot x(x-2)(x+2)=x(x-1)=x^2-x$, pentru orice $x\ne 0,-2,2$ (1 p). Calculăm $E\left(\sqrt{2}-1\right)={\left(\sqrt{2}-1\right)}^2-\left(\sqrt{2}-1\right)=\left(3-2\sqrt{2}\right)-\left(\sqrt{2}-1\right)=4-3\sqrt{2}$, și $E\left(\sqrt{2}+1\right)={\left(\sqrt{2}+1\right)}^2-\left(\sqrt{2}+1\right)=\left(3+2\sqrt{2}\right)-\left(\sqrt{2}+1\right)=2+\sqrt{2}$ (1 p). Atunci $N=\left(4-3\sqrt{2}\right)+3\left(2+\sqrt{2}\right)=4-3\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}=10$, care este natural (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(1)=2-1=1$ (1 p). $f(0)=2-0=2$, deci $f(1)\cdot f(0)=1\cdot 2=2$ (1 p). b) (3 p) Din $f(x)=0\Rightarrow 2-x=0\Rightarrow x=2$, deci $A(2,0)$; din $f(0)=2$, deci $B(0,2)$ (1 p). Punctele $B(0,2)$ și $C(0,-4)$ sunt pe axa $Oy$, deci $BC=2-(-4)=6$; cum $OA=OB=2$, triunghiul $AOB$ este dreptunghic isoscel în $O$, deci $m(\angle OBA)=45^{\circ }$, adică dreapta $AB$ formează cu $BC$ un unghi de $45^{\circ }$ (1 p). Dacă $D$ este piciorul perpendicularei din $C$ pe dreapta $AB$, triunghiul $BDC$ este dreptunghic în $D$, cu $m(\angle DBC)=45^{\circ }$, deci distanța cerută este $d=DC=BC\cdot \sin 45^{\circ }=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$ cm (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Mediana din $A$ a triunghiului echilateral $ABC$ (latura $6$ cm) are lungimea $\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm. Centrul de greutate $G$ împarte mediana în raportul $2:1$ de la vârf, deci $AG=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ cm; cum $M$ este simetricul lui $A$ față de $G$, $AM=2\cdot AG=4\sqrt{3}$ cm (1 p). Analog, folosind medianele din $B$ și din $C$, se arată că $CM=2\sqrt{3}$ cm (patrulaterul $BGCM$ este paralelogram, diagonalele $BC$ și $GM$ înjumătățindu-se în mijlocul lui $BC$). Verificăm reciproca teoremei lui Pitagora: $C{A}^2+C{M}^2=6^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=36+12=48$ și $A{M}^2={\left(4\sqrt{3}\right)}^2=48$; cum $C{A}^2+C{M}^2=A{M}^2$, unghiul $ACM$ este drept, $m(\angle ACM)=90^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) Cum triunghiul $ABC$ este echilateral, $m(\angle BAC)=60^{\circ }$; pe de altă parte, în triunghiul dreptunghic $ACM$, unghiul $AMC$ este ascuțit, iar bisectoarea lui intersectează $AC$ în $T$, cu $m(\angle MTC)=60^{\circ }$, de unde $AB\parallel TM$, deci $ABMT$ este trapez, cu $BM\perp AB$ (înălțimea trapezului) (1 p). Din teorema bisectoarei în triunghiul $AMC$: $\frac{AT}{TC}=\frac{MA}{MC}=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=2$, iar $AC=6$ cm, deci $AT=4$ cm și $TC=2$ cm; se arată, de asemenea, că $TM=4$ cm și $BM=2\sqrt{3}$ cm (1 p). Aria trapezului dreptunghic $ABMT$ este ${\mathcal{A}}_{ABMT}=\frac{(AB+TM)\cdot BM}{2}=\frac{(6+4)\cdot 2\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$ cm² (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $ABT$ este dreptunghic în $A$ (unghi al pătratului), cu $m(\angle ABT)=30^{\circ }$, iar triunghiul $DAS$ este dreptunghic în $D$; cum $AM\perp BT$ și $BT\perp AS$ pe aceeași dreaptă, unghiurile $ABT$ și $DAS$ sunt egale (laturi respectiv perpendiculare), deci $m(\angle DAS)=30^{\circ }$ (1 p). Triunghiurile dreptunghice $ABT$ și $DAS$ au $AB=DA=8$ cm (laturi ale pătratului) și un unghi ascuțit congruent ($30^{\circ }$), deci sunt congruente (caz C.U.), de unde $AT=DS$ (1 p). b) (3 p) Triunghiul $ABM$ este dreptunghic în $M$ (căci $AM\perp BT$), cu ipotenuza $AB=8$ cm și $m(\angle ABM)=30^{\circ }$, deci $AM=AB\cdot \sin 30^{\circ }=8\cdot \frac{1}{2}=4$ cm (1 p). Cum $m(\angle BAM)=60^{\circ }$ (complementul lui $30^{\circ }$ în triunghiul $ABM$), rezultă $m(\angle MAD)=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$. Fie $Q\in AD$ astfel încât $MQ\perp AD$; în triunghiul dreptunghic $AMQ$, cu ipotenuza $AM=4$ cm și $m(\angle MAQ)=30^{\circ }$, obținem $AQ=AM\cdot \cos 30^{\circ }=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ cm (1 p). Rezultă $DQ=AD-AQ=8-2\sqrt{3}=2\left(4-\sqrt{3}\right)$ cm; cum triunghiul $MDQ$ este dreptunghic în $Q$, $DM$ este ipotenuză, deci $DM>DQ$, adică $DM>2\left(4-\sqrt{3}\right)$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $M$ fiind mijlocul lui $AB$, $MB=\frac{AB}{2}=2$ cm (1 p). Triunghiul $MBC$ este dreptunghic în $B$ (căci $BC\perp AB$ în fața $ABCD$ a cubului), deci $CM=\sqrt{M{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ cm (1 p).

Notă de transcriere: baremul oficial tipărește pe acest rând $\sqrt{2^2+8^2}$, deși muchia cubului este $AB=4$ cm — o greșeală de tipar în documentul CNPEE ($8^2$ în loc de $4^2$; $\sqrt{68}\ne 2\sqrt{5}$). Rezultatul final din barem, $2\sqrt{5}$ cm, este corect, iar rândul de mai sus îl reface cu pasul intermediar corect. b) (3 p) Fie $S$ mijlocul segmentului $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Segmentele $SO$ și $MB$ sunt paralele și congruente (fiecare are $2$ cm, jumătate de muchie, și amândouă sunt perpendiculare pe aceeași față), deci patrulaterul $SOBM$ este paralelogram și $BO\parallel MS$, de unde unghiul dintre dreptele $BO$ și $MP$ este egal cu unghiul dintre $MS$ și $MP$, adică unghiul $SMP$ (1 p). Triunghiurile $SAM$, $MCP$ și $P{D}^{\prime }S$ sunt congruente (dreptunghice, cu catetele de $2$ cm — jumătate de muchie — și de $2\sqrt{5}$ cm, segmentul calculat la subpunctul a)), de unde $SM=MP=PS=2\sqrt{6}$ cm, deci triunghiul $SMP$ este echilateral (1 p). Într-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt de $60^{\circ }$, deci $m(\angle SMP)=60^{\circ }$, adică măsura unghiului dintre dreptele $BO$ și $MP$ este egală cu $60^{\circ }$ (1 p).

Examen oficial de Evaluare Națională de rezervă, Varianta 2, anul școlar 2024–2025, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare, cu enunțurile și baremul după documentul oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2024–2025, sesiunea de rezervă, Varianta 2 — publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Sesiunea de rezervă este cea pregătită pentru candidații care nu pot susține proba în sesiunea obișnuită, din motive medicale sau din alte situații speciale prevăzute de metodologie; varianta este completă și la același nivel de dificultate cu proba principală, iar centrul o publică odată cu aceasta. Enunțurile urmează documentul oficial: valorile și ordinea variantelor sunt cele de pe subiect, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație. Două lucruri sunt aduse la convenția site-ului, ca să se citească la fel peste tot: măsura unghiului se scrie $m(\angle ABC)$ acolo unde documentul folosește simbolul $\sphericalangle$, iar instrucțiunile subiectelor sunt formulate la persoana a doua singular („Scrie”), ca în restul testelor de aici. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul de la Subiectul al III-lea urmează rând cu rând baremul oficial.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Numere întregi — cel mai mare număr întreg de două cifre, cu tot cu cele negative; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 1)
• Proporții — o proporție din care se scoate direct o expresie, nu fiecare necunoscută; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Adunarea și scăderea numerelor întregi — diferența a două temperaturi, una negativă; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Compararea fracțiilor — patru fracții cu același numărător; clasa a V-a. (Subiectul I, cerința 4)
• Radicali — produsul a două numere conjugate, $\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)$; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Statistică și diagrame — citirea unei diagrame cu bare și verificarea unei afirmații; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 6)
• Segmente, mijloc și puncte coliniare — distanța dintre mijloacele a două segmente alăturate; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Unghiuri în jurul unui punct — trei unghiuri congruente care umplu tot planul; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Triunghi isoscel și unghi exterior — unghiurile de la bază, apoi suplementul unuia dintre ele; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Paralelogram și triunghi dreptunghic isoscel — o diagonală care dă ipotenuza, apoi latura opusă; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Triunghi echilateral înscris în cerc — latura scrisă în funcție de rază; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Sfera — volumul, din formula $\frac{4}{3}\pi r^3$; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Probleme cu numere naturale — două condiții care dau o ecuație, plus argumentul „nu e număr natural”; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Fracții algebrice — numitor comun, împărțirea fracțiilor, apoi calcul cu radicali; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Funcția liniară — intersecțiile cu axele și distanța de la un punct la o dreaptă; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Centru de greutate și arii — simetricul unui vârf, teorema bisectoarei, aria unui trapez; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Pătrat și unghiul de $30^{\circ }$ — două triunghiuri congruente, apoi o inegalitate; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Cub: unghiul a două drepte — un paralelogram în spațiu și un triunghi echilateral; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba de rezervă din 2025. La Subiectul I, jumătate dintre cerințe se pierd la citire, nu la calcul: cerința 1 spune „număr întreg”, iar mulțimea numerelor întregi de două cifre le conține și pe cele negative — de aceea $-99$ este pe listă, ca răspuns al celui care confundă cel mai mare număr cu cel mai mare modul; cerința 2 nu cere nici $x$, nici $y$, ci expresia $2x-7y$, care iese dintr-un singur pas de proporție; cerința 4 are toate fracțiile cu același numărător, deci ordinea lor este inversă ordinii numitorilor; cerința 5 este un produs de conjugate, nu o sumă, iar ${\left(\sqrt{5}\right)}^2-2^2=1$ se scrie dintr-o dată. Subiectul al II-lea este integral geometrie și se rezolvă în doi pași scurți fiecare, dacă figura este citită corect: la cerința 2 cele trei unghiuri congruente înconjoară punctul $O$, deci suma lor este $360^{\circ }$, nu $180^{\circ }$ — de acolo vine $60^{\circ }$ din listă; la cerința 3 se cere unghiul exterior $CBD$, adică suplementul unghiului $ABC$, nu unghiul $ABC$ însuși; la cerința 4 datele sunt despre $AD$ și $BD$, iar $CD$ se află abia după ce se calculează ipotenuza $AB$; la cerința 6 formula are și numitorul $3$, iar $27\pi$ și $108\pi$ sunt exact rezultatele celor care îl uită. La Subiectul al III-lea, cerința 1 se sprijină pe o condiție ascunsă în enunț — sumele sunt numere naturale —, cerința 2 cere să arăți că $N$ este natural, adică să observi că termenii cu $\sqrt{2}$ se anulează, cerința 3 se rezolvă cu un triunghi dreptunghic isoscel, nu cu formule de geometrie analitică, cerința 5 cere o inegalitate, nu o valoare, iar cerința 6 cere unghiul a două drepte necoplanare, care se obține translatând una dintre ele.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper pentru un elev de clasa 8: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: întregi, fracții simple sau expresii de forma $2\sqrt{5}$.
• Redactare: la Subiectele I și al II-lea se încercuiește o singură literă; la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă zece puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I și la Subiectul al II-lea se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie cinci puncte, fie zero puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: răspunsul „nu este posibil” dat fără să arăți că $x=\frac{160}{3}$ nu este număr natural (cerința 1); valoarea $N=10$ scrisă fără calculul celor două valori ale expresiei, din care se vede că termenii cu $\sqrt{2}$ se reduc (cerința 2); distanța de la $C$ la dreapta $AB$ obținută fără justificarea unghiului de $45^{\circ }$ (cerința 3); egalitatea $m(\angle ACM)=90^{\circ }$ afirmată fără $CM=2\sqrt{3}$ cm, adică fără condiția din reciproca teoremei lui Pitagora (cerința 4); congruența triunghiurilor $ABT$ și $DAS$ folosită fără $m(\angle DAS)=30^{\circ }$ (cerința 5); „unghiul este de $60^{\circ }$” fără trecerea prin $BO\parallel MS$ (cerința 6).

Interpretarea punctajului:

Un elev de a 8-a poate folosi harta materiei de mai sus ca listă de recapitulare: fiecare rând spune ce capitol se ascunde în spatele cerinței și din ce clasă vine.