Evaluarea Națională 2025, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $25-2\cdot 5$ este: a) $10$ b) $15$ c) $35$ d) $115$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă $10\%$ din $50$ este: a) $40$ b) $10$ c) $5$ d) $1$

Exercițiul 3 · 5 puncte Dimineața temperatura a fost $-1^{\circ }C$, iar la prânz a fost $+2^{\circ }C$. Temperatura la prânz a fost mai mare decât cea de dimineață cu: a) $-3^{\circ }C$ b) $-1^{\circ }C$ c) $1^{\circ }C$ d) $3^{\circ }C$

Exercițiul 4 · 5 puncte Soluția ecuației $x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ este: a) $\frac{1}{6}$ b) $\frac{1}{4}$ c) $\frac{1}{2}$ d) $\frac{3}{4}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Andreea, Iris, Mihai și Radu, calculează media aritmetică a numerelor $a=4-\sqrt{2}$ și $b=4+\sqrt{2}$. Rezultatele obținute au fost: Andreea — $4$, Iris — $\sqrt{2}$, Mihai — $2$, Radu — $\sqrt{14}$. Rezultatul corect a fost obținut de: a) Andreea b) Iris c) Mihai d) Radu

Exercițiul 6 · 5 puncte Diagrama de mai jos arată numărul de elevi care au optat pentru fiecare secțiune sportivă a unui club școlar.

Afirmația „numărul elevilor care au optat pentru fotbal este egal cu numărul celor care au optat pentru șah" este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Punctele $A$, $B$, $C$, $D$ sunt coliniare, distincte, în această ordine, astfel încât $AB\equiv BC\equiv CD$, iar $AD=24$ cm. Lungimea segmentului $CD$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $6$ cm c) $8$ cm d) $12$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte Unghiurile adiacente suplementare $AOB$ și $BOC$ sunt astfel încât măsura unghiului $BOC$ este egală cu $60^{\circ }$, iar semidreapta $OD$ este opusă semidreptei $OB$. Măsura unghiului $DOC$ este egală cu:

a) $160^{\circ }$ b) $120^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $30^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte Triunghiul echilateral $ABC$. Semidreapta $BE$ este bisectoarea unghiului $ABC$, iar $D$ este mijlocul lui $BC$. Dreptele $AD$ și $BE$ se intersectează în punctul $P$. Măsura unghiului $DPE$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $120^{\circ }$ d) $150^{\circ }$

Exercițiul 4 · 5 puncte Trapezul isoscel $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, are $AB=100$ cm și $CD=40$ cm. Lungimea liniei mijlocii este egală cu:

a) $20$ cm b) $50$ cm c) $70$ cm d) $140$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte Cercul de centru $O$, cu punctele $A$, $B$ pe cerc, este astfel încât măsura unghiului $AOB$ este egală cu $60^{\circ }$, iar $AB=12$ cm. Aria discului de centru $O$ și rază $OA$ este egală cu:

a) $288\pi$ cm² b) $144\pi$ cm² c) $36\pi$ cm² d) $24\pi$ cm²

Exercițiul 6 · 5 puncte Cubul $ABCDEFGH$, cu $EG=4\sqrt{2}$ cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor cubului este egală cu:

a) $96$ cm b) $72$ cm c) $48$ cm d) $16$ cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un bunic împarte $126$ lei celor trei nepoți ai săi, Ana, Bogdan și Costin. Ana primește jumătate din suma primită de Bogdan și Costin, împreună. a) (2 p) Este posibil ca Ana să primească $40$ lei? Justifică răspunsul. b) (3 p) Determină suma primită de Bogdan, știind că aceasta este cu $10\%$ mai mare decât suma primită de Costin.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}-2\right):\frac{4}{x^2+x-2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$, $x\ne -1$, $x\ne 1$. a) (2 p) Arată că $(x-1)(x+2)=x^2+x-2$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Arată că $N=\sqrt{E(2)\cdot E(3)\cdot \dots \cdot E(9)\cdot E(10)}$ este număr natural.

Exercițiul 3 · 5 puncte În sistemul de axe $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$ și $B(6,3)$. a) (2 p) Arată că $AB=5$. b) (3 p) Calculează distanța de la punctul $M(5,0)$ la dreapta $AB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Pătratul $ABCD$ are $AB=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$, iar $N$ este proiecția lui $B$ pe dreapta $CM$.

a) (2 p) Arată că aria triunghiului $MBC$ este egală cu $50$ cm². b) (3 p) Arată că perimetrul triunghiului $MAN$ este mai mic decât $22$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=9$ cm și $AC=12$ cm. Punctul $M$ aparține laturii $AB$, cu $BM=3$ cm, iar paralela prin $M$ la $AC$ intersectează $BC$ în punctul $P$. Punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$, iar $E$ este intersecția dreptelor $AG$ și $BC$.

a) (2 p) Arată că $BC=15$ cm. b) (3 p) Calculează aria patrulaterului $MGEP$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Tetraedrul regulat $ABCD$ are $AB=20$ cm. Punctele $M$, $N$ sunt mijloacele muchiilor $AB$, respectiv $CD$.

a) (2 p) Arată că $MN=10\sqrt{2}$ cm. b) (3 p) Determină măsura unghiului dreptelor $MN$ și $BD$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $25-2\cdot 5=25-10=15$ (înmulțirea se efectuează înaintea scăderii).
2. c) $10\%$ din $50$ este $\frac{10}{100}\cdot 50=5$.
3. d) Diferența dintre temperaturi este $2-(-1)=3^{\circ }C$.
4. b) Din $x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ rezultă $x=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.
5. a) Media aritmetică a numerelor $a=4-\sqrt{2}$ și $b=4+\sqrt{2}$ este $\frac{a+b}{2}=\frac{(4-\sqrt{2})+(4+\sqrt{2})}{2}=\frac{8}{2}=4$ — rezultatul corect a fost obținut de Andreea.
6. b) Conform diagramei, fotbal $=40$ elevi, iar șah $=45$ elevi; cum $40\ne 45$, afirmația este falsă.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Cum $A$, $B$, $C$, $D$ sunt coliniare în această ordine, cu $AB\equiv BC\equiv CD$, rezultă $AD=AB+BC+CD=3\cdot CD$. Din $AD=24$ cm, obținem $CD=\frac{24}{3}=8$ cm.
2. b) Semidreapta $OD$ fiind opusă semidreptei $OB$, punctele $B$, $O$, $D$ sunt coliniare, deci $m(\angle BOD)=180^{\circ }$. Cum $m(\angle BOC)=60^{\circ }$ și $C$ este între semidreptele $OB$ și $OD$, rezultă $m(\angle DOC)=m(\angle BOD)-m(\angle BOC)=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$.
3. c) Triunghiul $ABC$ fiind echilateral, $m(\angle ABC)=60^{\circ }$, iar $BE$ fiind bisectoarea acestui unghi, $m(\angle EBC)=30^{\circ }$. Cum $D$ este mijlocul lui $BC$, dreapta $AD$ este totodată mediană, înălțime și bisectoare din $A$ (proprietate a triunghiului echilateral), deci $AD\perp BC$, adică $m(\angle ADB)=90^{\circ }$. Punctul $P$ fiind intersecția dreptelor $AD$ și $BE$, iar $P$ aparținând dreptei $BE$, în triunghiul dreptunghic $BPD$ (dreptunghic în $D$) avem $m(\angle PBD)=m(\angle EBC)=30^{\circ }$, deci $m(\angle BPD)=180^{\circ }-90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$. Cum $B$, $P$, $E$ sunt coliniare, unghiurile $BPD$ și $DPE$ sunt suplementare, deci $m(\angle DPE)=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$.
4. c) Lungimea liniei mijlocii a trapezului este $\frac{AB+CD}{2}=\frac{100+40}{2}=70$ cm.
5. b) Triunghiul $AOB$ este isoscel ($OA=OB=r$, raza cercului), cu unghiul dintre laturile egale $m(\angle AOB)=60^{\circ }$, deci triunghiul $AOB$ este echilateral, iar $AB=OA=r$. Cum $AB=12$ cm, rezultă $r=12$ cm, iar aria discului este $\mathcal{A}=\pi r^2=144\pi$ cm².
6. c) $EG$ fiind diagonala feței $EFGH$ (pătrat de latură $a$, muchia cubului), avem $EG=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}$, deci $a=4$ cm. Cubul are $12$ muchii congruente, deci suma lungimilor tuturor muchiilor este $12\cdot a=12\cdot 4=48$ cm.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Dacă Ana ar primi $40$ lei, atunci Bogdan și Costin ar primi împreună (Ana fiind jumătate din suma lor) $2\cdot 40=80$ lei (1 p). Suma totală ar fi $40+80=120$ lei $\ne 126$ lei, deci Ana nu poate primi $40$ lei (1 p). b) (3 p) Notăm cu $c$ suma primită de Costin; Bogdan primește cu $10\%$ mai mult, adică $b=c+\frac{1}{10}c=\frac{11}{10}c$ (1 p). Suma Anei este $\frac{b+c}{2}$, deci din $\frac{b+c}{2}+b+c=126$ rezultă $\frac{3}{2}(b+c)=126$, adică $b+c=84$ (1 p). Din $\frac{11}{10}c+c=84$ obținem $\frac{21}{10}c=84$, deci $21c=840$, adică $c=40$ lei, iar $b=\frac{11}{10}\cdot 40=44$ lei (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) Dezvoltăm produsul: $(x-1)(x+2)=x(x+2)-1\cdot (x+2)=x^2+2x-x-2$ (1 p). Reducând termenii asemenea, $x^2+2x-x-2=x^2+x-2$, egalitate valabilă pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) Aducem la același numitor: $\frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}-2=\frac{(x-1{)}^2+(x+1{)}^2-2(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{[(x-1)-(x+1){]}^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{4}{(x-1)(x+1)}$ (1 p). Cum $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ (de la punctul a), împărțirea la $\frac{4}{(x-1)(x+2)}$ înseamnă înmulțirea cu $\frac{(x-1)(x+2)}{4}$, deci $E(x)=\frac{4}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{(x-1)(x+2)}{4}=\frac{x+2}{x+1}$, pentru orice $x\ne -2,-1,1$ (1 p). Atunci $E(2)\cdot E(3)\cdots E(10)=\frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\cdots \frac{12}{11}=\frac{12}{3}=4$ (produs telescopic), deci $N=\sqrt{4}=2$, care este număr natural (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) Punctul $C(6,0)$ este proiecția lui $B(6,3)$ pe axa $Ox$; în triunghiul dreptunghic $ACB$ (dreptunghic în $C$), $AC=6-2=4$ și $BC=3$ (1 p). Din teorema lui Pitagora, $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2=16+9=25$, deci $AB=5$ (1 p). b) (3 p) Punctul $M(5,0)$ se află pe axa $Ox$, la fel ca $A$, deci $AM=5-2=3$ (1 p). Cum $d(B,AM)=BC=3$ (distanța de la $B$ la axa $Ox$), aria triunghiului $AMB$ este ${\mathcal{A}}_{AMB}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot BC=\frac{3\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}$ (1 p). Pe de altă parte, ${\mathcal{A}}_{AMB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(M,AB)$, deci $\frac{9}{2}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot d(M,AB)$, de unde $d(M,AB)=\frac{9}{5}=1,8$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Aria pătratului $ABCD$ este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2=100$ cm² (1 p). Triunghiurile $ABM$ și $DCM$ ($M$ mijlocul lui $AD$) au fiecare aria $\frac{5\cdot 10}{2}=25$ cm², deci ${\mathcal{A}}_{MBC}={\mathcal{A}}_{ABCD}-2\cdot 25=100-50=50$ cm² (1 p). b) (3 p) Fie $T=AB\cap MC$; cum $AM\parallel BC$ (laturi opuse ale pătratului) și $AM=\frac{AD}{2}$, $A$ este mijlocul lui $TB$ (asemănarea $△TAM\sim △TBC$ cu raportul $\frac{1}{2}$, deci $TA=AB=10$ cm, adică $A$ mijlocul $TB$, cu $TB=20$ cm). În triunghiul dreptunghic $BNT$ ($N$ fiind proiecția lui $B$ pe $CM$, deci $m(\angle BNT)=90^{\circ }$), $NA$ este mediana către ipotenuza $TB$, deci $NA=\frac{TB}{2}=10$ cm (1 p). Calculăm $TC=\sqrt{T{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{400+100}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}$ cm; din relația $B{C}^2=CN\cdot CT$ (catetă la ipotenuză, în triunghiul dreptunghic $BCT$), rezultă $CN=\frac{B{C}^2}{CT}=\frac{100}{10\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$ cm, deci $MN=MC-CN$, unde $MC=\sqrt{A{B}^2+A{M}^2}=\sqrt{100+25}=5\sqrt{5}$ cm, adică $MN=5\sqrt{5}-2\sqrt{5}=3\sqrt{5}$ cm (1 p). Perimetrul triunghiului $MAN$ este $P_{MAN}=AM+MN+NA=5+3\sqrt{5}+10=15+3\sqrt{5}$ cm; cum $3\sqrt{5}=\sqrt{45}<\sqrt{49}=7$, obținem $P_{MAN}<15+7=22$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $ABC$ fiind dreptunghic în $A$, din teorema lui Pitagora $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=81+144=225$ (1 p). Rezultă $BC=\sqrt{225}=15$ cm (1 p). b) (3 p) Cum $BM=3$ cm și $AB=9$ cm, $AM=AB-BM=6$ cm, deci $\frac{AM}{AB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Punctul $G$ fiind centrul de greutate, $\frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$ (proprietatea centrului de greutate pe mediana $AE$, cu $E$ mijlocul lui $BC$), deci $\frac{AG}{AE}=\frac{AM}{AB}$, de unde $MG\parallel BE$ și $△AMG\sim △ABE$ cu raportul $\frac{2}{3}$. Cum $E$ este mijlocul lui $BC=15$ cm, $BE=7,5$ cm, deci $MG=\frac{2}{3}\cdot 7,5=5$ cm (1 p). Triunghiurile $BMP$ și $BAC$ sunt asemenea ($MP\parallel AC$), cu raportul $\frac{BM}{BA}=\frac{1}{3}$, deci $BP=\frac{BC}{3}=5$ cm, iar $PE=BE-BP=7,5-5=2,5$ cm. Totodată, înălțimea din $M$ pe $BC$ este $MR=\frac{1}{3}\cdot h_A$, unde $h_A=\frac{2\cdot {\mathcal{A}}_{ABC}}{BC}=\frac{2\cdot 54}{15}=\frac{36}{5}=7,2$ cm (căci ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=54$ cm²), deci $MR=\frac{12}{5}=2,4$ cm (1 p). Patrulaterul $MGEP$ este trapez, cu bazele $MG=5$ cm și $PE=2,5$ cm și înălțimea $MR=2,4$ cm, deci ${\mathcal{A}}_{MGEP}=\frac{(MG+PE)\cdot MR}{2}=\frac{7,5\cdot 2,4}{2}=9$ cm² (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $CM$ și $DM$ sunt înălțimi în triunghiurile echilaterale $ABC$, respectiv $ABD$ (fiecare cu latura $20$ cm), deci $CM=DM=\frac{20\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$ cm (1 p). $N$ fiind mijlocul lui $CD$ ($CN=10$ cm), $MN$ este înălțime în triunghiul isoscel $CMD$, deci $MN=\sqrt{C{M}^2-C{N}^2}=\sqrt{300-100}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$ cm (1 p). b) (3 p) Fie $P$ mijlocul lui $BC$; segmentul $PN$ este linie mijlocie în triunghiul $DBC$, deci $PN\parallel BD$, de unde unghiul dintre dreptele $MN$ și $BD$ este egal cu unghiul dintre dreptele $MN$ și $PN$ (1 p). Avem $PN=\frac{BD}{2}=10$ cm și, analog, $MP=\frac{AC}{2}=10$ cm (linie mijlocie în triunghiul $ABC$); verificăm $M{P}^2+P{N}^2=100+100=200=M{N}^2$, deci triunghiul $MPN$ este dreptunghic isoscel, cu $m(\angle MPN)=90^{\circ }$ (1 p). Rezultă $m(\angle MNP)=m(\angle NMP)=45^{\circ }$, deci unghiul dintre dreptele $MN$ și $PN$ este $45^{\circ }$, adică unghiul dintre dreptele $MN$ și $BD$ este $45^{\circ }$ (1 p).

Sursa: Ministerul Educației și Cercetării — Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2024–2025, probă scrisă la matematică, Simulare (subiect și barem de evaluare și de notare).

Pentru părinți și profesori

Acesta nu este un test scris de noi. Este subiectul oficial al simulării naționale pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, anul școlar 2024–2025 — documentul administrat în școli de Ministerul Educației și Cercetării, prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație; este proba pe care o dau, în aceeași zi, toți elevii de a 8-a din țară. Ca toate simulările, ea nu poartă număr de variantă și nu poartă nicio dată: pe fiecare pagină scrie doar „Simulare” și anul școlar, iar acestea sunt singurele semne care o identifică — de aceea nici aici nu se afirmă luna sau ziua probei. Enunțurile urmează documentul publicat: valorile și ordinea variantelor sunt cele de pe subiect, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație. Măsura unghiului se scrie $m(\angle ABC)$ acolo unde documentul folosește simbolul $\sphericalangle$, iar instrucțiunile subiectelor sunt formulate la persoana a doua singular — convenția site-ului, ca să se citească la fel peste tot. Rezolvările, explicațiile și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar structura punctajului urmează baremul oficial, rând cu rând.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Ordinea operațiilor — înmulțirea se face înaintea scăderii; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Procente — $10\%$ dintr-un număr dat; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Numere întregi — diferența a două temperaturi, dintre care una negativă; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Ecuație cu fracții ordinare — necunoscuta se izolează printr-o singură scădere; clasele VI–VII. (Subiectul I, cerința 4)
• Media aritmetică și radicali — media a două numere conjugate, în care radicalul dispare; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Statistică și diagrame — o afirmație verificată prin compararea a două bare; clasele VI–VIII. (Subiectul I, cerința 6)
• Segmente congruente pe o dreaptă — trei segmente egale care compun întregul; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Unghiuri adiacente și semidrepte opuse — un unghi aflat prin scădere din $180^{\circ }$; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Triunghi echilateral: mediană, înălțime, bisectoare — un unghi obținut ca suplement al altuia; clasele VI–VII. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Trapez: linia mijlocie — media aritmetică a celor două baze; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Cerc și disc — două raze și o coardă care formează un triunghi echilateral; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Cub: diagonala feței și muchiile — de la diagonala unei fețe la suma celor $12$ muchii; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Problemă cu părți și procente — o verificare prin sumă, apoi o creștere procentuală; clasele VI–VII. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Fracții algebrice — restrângere la un pătrat, apoi un produs telescopic; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Reper cartezian — distanța dintre două puncte, apoi o distanță punct–dreaptă aflată din arie; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Pătrat, proiecție și mediana ipotenuzei — un perimetru încadrat printr-o estimare de radical; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Centru de greutate și asemănare — aria unui trapez format de două paralele; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Tetraedru regulat — o linie mijlocie și unghiul a două drepte necoplanare; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2025. La Subiectul I, două cerințe se decid dintr-o observație, nu dintr-un calcul: la cerința 5, media aritmetică a numerelor conjugate $a=4-\sqrt{2}$ și $b=4+\sqrt{2}$ face radicalul să dispară, pentru că $a+b=8$ — cine „calculează media pe bucăți” ajunge la $\sqrt{2}$ sau la $\sqrt{14}$, ambele puse în tabel ca momeală; la cerința 6 sunt doar două variante de răspuns, iar afirmația se verifică comparând două bare, $40$ și $45$, nu citind una singură. Subiectul al II-lea este geometrie citită din figură: la cerința 2, totul stă în faptul că $OD$ este opusă semidreptei $OB$, deci $m(\angle BOD)=180^{\circ }$, iar unghiul cerut iese prin scădere; la cerința 3 se folosește că, într-un triunghi echilateral, mediana din $A$ este și înălțime, iar unghiul $DPE$ este suplementul unghiului calculat în triunghiul dreptunghic; la cerința 5, unghiul la centru de $60^{\circ }$ face triunghiul $AOB$ echilateral, deci raza este egală cu coarda, $r=12$ cm, nu jumătate din ea; la cerința 6, $EG$ este diagonala unei fețe, nu diagonala cubului, deci muchia este $4$ cm, iar suma muchiilor $12\cdot 4=48$ cm. La Subiectul al III-lea, două probleme cer o construcție care nu apare în enunț: la cerința 4, punctul $T=AB\cap MC$, fără de care $NA$ nu se poate afla; la cerința 5, raportul $\frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$ al centrului de greutate se folosește împreună cu paralela $MP\parallel AC$, iar aria cerută iese abia după ce patrulaterul $MGEP$ este recunoscut drept trapez.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cele 18 cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Nota se obține împărțind punctajul total la $10$.
• Timp de lucru: două ore, cronometrate. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru al II-lea, $50$ pentru al III-lea, ultimele $10$ pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: întregi, zecimale scurte ($1,8$) sau expresii de forma $10\sqrt{2}$, $15+3\sqrt{5}$, $144\pi$.
• Redactare: la Subiectele I și al II-lea se încercuiește o singură literă; la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg. Un elev de clasa 8 care sare peste justificări pierde, pe această probă, până la jumătate din punctele Subiectului al III-lea.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă zece puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I și la Subiectul al II-lea se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie cinci puncte, fie zero puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această probă: concluzia „Ana nu poate primi $40$ de lei” scrisă fără comparația $120\ne 126$ (cerința 1); produsul $E(2)\cdot E(3)\cdot \dots \cdot E(10)$ dat egal cu $4$ fără simplificarea telescopică scrisă, ori forma $E(x)=\frac{x+2}{x+1}$ fără condițiile $x\ne -2$, $x\ne -1$ și $x\ne 1$ (cerința 2); egalitatea $NA=\frac{TB}{2}$ folosită fără a spune că $NA$ este mediana din vârful unghiului drept în triunghiul $BNT$ (cerința 4); paralelismul $MG\parallel BE$ afirmat fără raportul $\frac{AG}{AE}=\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3}$ (cerința 5); măsura de $45^{\circ }$ dată fără trecerea prin $PN\parallel BD$ (cerința 6).

Interpretarea punctajului: