Exerciții rezolvate — Asimptote și reprezentarea grafică a funcțiilor (clasa a XII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Asimptote și reprezentarea grafică a funcțiilor", clasa a XII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Asimptota oblică a graficului funcției $f(x)=\frac{2x^2+5x-1}{x+3}$, spre ambele capete, este:

   • a) $y=2x+5$
   • b) $y=2x+11$
   • c) $y=2x-1+\frac{2}{x+3}$
   • d) $y=2x-1$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $y=2x-1$

   Metoda rapidă este împărțirea cu rest: $2x^2+5x-1=(x+3)(2x-1)+2$, deci $f(x)=2x-1+\frac{2}{x+3}$. Cum restul împărțit la numitor tinde la zero la ambele capete, asimptota este chiar câtul, $y=2x-1$. Varianta c nu este ecuația unei drepte, iar variantele a și b iau coeficienți din enunț fără să facă împărțirea.

   Lecția: Asimptota oblică →

2. Asimptota orizontală a graficului funcției $f(x)=\frac{6x^2-x+1}{3x^2+5}$ este:

   • a) $y=0$
   • b) $y=\frac{1}{5}$
   • c) $y=2$
   • d) nu există
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $y=2$

   Gradele sunt egale, deci limita la ambele capete este raportul coeficienților dominanți: $\frac{6}{3}=2$. Dreapta $y=2$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ și spre $+\infty$. Varianta $y=0$ ar apărea dacă numitorul ar avea grad strict mai mare, iar $\frac{1}{5}$ este raportul termenilor liberi, care nu decide nimic la infinit.

   Lecția: Asimptota orizontală →

3. Dreapta $x=a$ este asimptotă verticală la graficul funcției $f$ dacă:

   • a) cel puțin una dintre limitele laterale ale lui $f$ în $a$ este infinită
   • b) ambele limite laterale ale lui $f$ în $a$ sunt infinite
   • c) $a$ nu aparține domeniului lui $f$
   • d) $f$ este discontinuă în $a$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) cel puțin una dintre limitele laterale ale lui $f$ în $a$ este infinită

   Definiția cere o singură limită laterală infinită — de aceea există asimptote verticale numai la stânga sau numai la dreapta, ca la $e^{\frac{1}{x}}$ în origine. Varianta c descrie doar un candidat, iar varianta d este prea slabă: o discontinuitate de speța I are limite laterale finite și nu produce nicio asimptotă.

   Lecția: Asimptota verticală →

4. Schema asimptotelor în patru pași parcurge, în ordine:

   • a) asimptotele verticale, domeniul, orizontalele, oblicele
   • b) domeniul, asimptotele verticale, comportarea spre $-\infty$, comportarea spre $+\infty$
   • c) orizontalele, oblicele, verticalele, domeniul
   • d) domeniul, derivata întâi, derivata a doua, asimptotele
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) domeniul, asimptotele verticale, comportarea spre $-\infty$, comportarea spre $+\infty$

   Domeniul vine primul, fiindcă el furnizează atât candidații la verticală (capetele finite și deschise), cât și capetele la care se studiază comportarea la infinit. Pașii 3 și 4 se scriu separat, pentru că multe funcții se comportă diferit la cele două capete. Varianta d amestecă schema asimptotelor cu schema în nouă pași a studiului complet.

   Lecția: Asimptotele funcțiilor uzuale: raționale, cu radicali, exponențiale, logaritmice →

5. Dreapta $d$ este asimptotă la graficul funcției $f$ dacă:

   • a) graficul lui $f$ nu intersectează niciodată dreapta $d$
   • b) distanța de la punctul $M(x,f(x))$ la $d$ tinde la zero când $x$ merge spre un capăt al domeniului
   • c) funcția $f$ nu este definită în punctele dreptei $d$
   • d) dreapta $d$ este tangentă la graficul lui $f$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) distanța de la punctul $M(x,f(x))$ la $d$ tinde la zero când $x$ merge spre un capăt al domeniului

   Definiția cere apropierea, nu evitarea: distanța de la punctul curent al graficului la dreaptă tinde la zero. De aceea varianta a este falsă — graficul funcției $\frac{\sin x}{x}$ își taie asimptota $y=0$ de o infinitate de ori. Varianta c confundă asimptota cu valorile interzise, iar varianta d confundă apropierea la infinit cu atingerea într-un punct.

   Lecția: Comportarea graficului la infinit și lângă punctele excluse: ce este o asimptotă →

6. O baterie cu tensiunea electromotoare $E=20$ volți și rezistența interioară $r=5$ ohmi alimentează un rezistor $R$. Puterea maximă transferată și rezistența la care se obține sunt:

   • a) $80$ wați, pentru $R=5$ ohmi
   • b) $20$ wați, pentru $R=10$ ohmi
   • c) $40$ wați, pentru $R=2,5$ ohmi
   • d) $20$ wați, pentru $R=5$ ohmi
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $20$ wați, pentru $R=5$ ohmi

   Din $P(R)=\frac{E^{2}R}{(R+r{)}^2}$ se obține $P^{\prime }(R)=E^2\frac{r-R}{(R+r{)}^3}$, care se anulează doar în $R=r$ și își schimbă acolo semnul din $+$ în $-$: maxim. Valoarea este $P(r)=\frac{E^2}{4r}=\frac{400}{20}=20$ de wați. Varianta $80$ ia $\frac{E^2}{r}$, iar $R=10$ confundă maximul cu punctul de inflexiune $R=2r$.

   Lecția: Grafice din fizică și verificarea cu instrumente digitale →

7. Domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}$ este:

   • a) $[2,3]$
   • b) $\mathbb{R}$
   • c) $(-\infty ,2)\cup (3,+\infty )$
   • d) $(-\infty ,2]\cup [3,+\infty )$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $(-\infty ,2]\cup [3,+\infty )$

   Radicalul fiind de ordin par, se cere $x^2-5x+6\ge 0$, adică $(x-2)(x-3)\ge 0$. Trinomul are semnul coeficientului dominant în afara rădăcinilor, deci soluția este $(-\infty ,2]\cup [3,+\infty )$, cu capete închise, fiindcă egalitatea este permisă. Varianta a ia exact intervalul pe care trinomul este negativ.

   Lecția: Graficul funcțiilor cu radicali →

8. Valoarea limitei $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ este:

   • a) $+\infty$
   • b) $0$
   • c) $1$
   • d) limita nu există
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $0$

   Este cazul $\frac{\infty }{\infty }$, iar ierarhia de creștere spune că orice putere a lui $x$, inclusiv $\sqrt{x}=x^{1/2}$, învinge logaritmul. Cu regulile lui L'Hôpital: $\lim \frac{1/x}{1/\left(2\sqrt{x}\right)}=\lim \frac{2}{\sqrt{x}}=0$. Verificarea nedeterminării se scrie înainte de derivare; în afara cazurilor $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$ regula dă rezultate false.

   Lecția: Graficul funcțiilor exponențiale și logaritmice →

9. Graficul funcției polinomiale $f(x)=-2x^4+3x$ are, la cele două capete:

   • a) ambele ramuri urcătoare spre $+\infty$
   • b) o ramură urcătoare și una coborâtoare
   • c) ambele ramuri coborâtoare spre $-\infty$
   • d) asimptotă orizontală
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) ambele ramuri coborâtoare spre $-\infty$

   Comportarea la capete o decide singur termenul dominant $-2x^4$. Gradul fiind par, cele două ramuri merg în aceeași direcție, iar coeficientul dominant fiind negativ, direcția este $-\infty$. Varianta d este exclusă: o funcție polinomială de grad cel puțin $2$ nu are nicio asimptotă.

   Lecția: Graficul funcțiilor polinomiale →

10. Pentru $f(x)=\frac{x+4}{x-3}$, concluzia corectă de monotonie este:

    • a) strict descrescătoare pe $(-\infty ,3)$ și pe $(3,+\infty )$
    • b) strict descrescătoare pe $\mathbb{R}\setminus \{3\}$
    • c) strict crescătoare pe fiecare interval al domeniului
    • d) constantă
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) strict descrescătoare pe $(-\infty ,3)$ și pe $(3,+\infty )$

    Derivata este $f^{\prime }(x)=\frac{(x-3)-(x+4)}{(x-3{)}^2}=\frac{-7}{(x-3{)}^2}<0$ pe tot domeniul, deci funcția scade pe fiecare interval. Concluzia se dă însă pe interval, cu „și”, nu pe reuniune: între cele două ramuri graficul sare, iar $f(2)=-6$ este mai mic decât $f(4)=8$, ceea ce ar contrazice o descreștere globală.

    Lecția: Graficul funcțiilor raționale →

11. Perioada principală a funcției $f:D\to \mathbb{R}$, $f(x)=\mathrm{tg}(2x)$, este:

    • a) $\frac{\pi }{2}$
    • b) $\pi$
    • c) $2\pi$
    • d) $\frac{\pi }{4}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\frac{\pi }{2}$

    Funcția $\mathrm{tg}(ax)$ are perioada principală $\frac{\pi }{|a|}$, deci aici $T=\frac{\pi }{2}$. Varianta $\pi$ vine din uitarea coeficientului $a=2$, varianta $2\pi$ din folosirea formulei pentru sinus și cosinus, iar $\frac{\pi }{4}$ dintr-o înjumătățire nejustificată: $\mathrm{tg}\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)\ne \mathrm{tg}(2x)$.

    Lecția: Graficul funcțiilor trigonometrice, al funcțiilor cu modul și al funcțiilor pe ramuri →

12. Câte soluții reale are ecuația $2x^3+3x^2-12x=20$?

    • a) $1$
    • b) $2$
    • c) $3$
    • d) $4$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $2$

    Pentru $f(x)=2x^3+3x^2-12x$ avem $f^{\prime }(x)=6(x+2)(x-1)$, cu maximul local $f(-2)=20$ și minimul local $f(1)=-7$. Valoarea $m=20$ este chiar maximul local, deci dreapta $y=20$ este tangentă la grafic în vârful din stânga și îl mai taie o dată pe ramura crescătoare din dreapta: două soluții. Răspunsul $3$ apare când se ia $m$ strict între $-7$ și $20$.

    Lecția: Rezolvarea grafică a ecuației f(x) = m; numărul soluțiilor în funcție de parametru →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.