Exerciții rezolvate — Conice (clasa a XII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Conice", clasa a XII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Centrul și raza cercului $(x+4{)}^2+(y-3{)}^2=36$ sunt:

   • a) $C(4,-3)$ și $r=36$
   • b) $C(4,-3)$ și $r=6$
   • c) $C(-4,3)$ și $r=6$
   • d) $C(-4,3)$ și $r=36$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $C(-4,3)$ și $r=6$

   Forma canonică conține scăderi, deci $(x+4{)}^2=(x-(-4){)}^2$ și abscisa centrului este $-4$, iar $(y-3{)}^2$ dă ordonata $3$. Membrul drept este $r^2=36$, deci $r=6$. Cele două greșeli tipice sunt exact distractorii: uitarea schimbării de semn și confundarea razei cu pătratul ei.

   Lecția: Cercul: definiția geometrică și ecuația canonică →

2. Poziția dreptei $3x+4y-30=0$ față de cercul $x^2+y^2=36$ este:

   • a) tangentă
   • b) exterioară
   • c) trece prin centrul cercului
   • d) secantă
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) tangentă

   Distanța de la centrul $O(0,0)$ la dreaptă este $\delta =\frac{|-30|}{\sqrt{9+16}}=\frac{30}{5}=6$, iar raza este $r=\sqrt{36}=6$. Cum $\delta =r$, dreapta este tangentă. Dacă am fi comparat $\delta =6$ cu $r^2=36$, am fi conchis greșit „exterioară” — de aceea comparația se face între mărimi de același fel.

   Lecția: Cercul și dreapta: poziții relative, tangenta la cerc →

3. Un plan care nu trece prin vârful conului taie amândouă pânzele acestuia. Curba obținută este:

   • a) o parabolă
   • b) o hiperbolă
   • c) un cerc
   • d) o elipsă
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) o hiperbolă

   Planul prinde ambele pânze numai când unghiul $\beta$ pe care îl face cu axa este mai mic decât unghiul $\alpha$ al conului; secțiunea are atunci două bucăți separate, adică cele două ramuri ale hiperbolei. Cercul și elipsa taie o singură pânză și se închid, iar parabola apare exact la $\beta =\alpha$, când o generatoare scapă neintersectată.

   Lecția: Conicele: secțiuni ale conului și exemple din lumea reală →

4. Panta tangentei la cercul $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=25$ în punctul $M(4,2)$ este:

   • a) $-\frac{4}{3}$
   • b) $\frac{4}{3}$
   • c) $-\frac{3}{4}$
   • d) $\frac{3}{4}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $-\frac{3}{4}$

   Punctul aparține cercului: $(4-1{)}^2+(2+2{)}^2=9+16=25$. Panta este $-\frac{x_0-a}{y_0-b}=-\frac{4-1}{2+2}=-\frac{3}{4}$. Valoarea $\frac{4}{3}$ este panta razei $CM$, iar tangenta este perpendiculară pe rază, deci pantele lor au produsul $-1$.

   Lecția: Conicele și analiza matematică: tangente cu derivata și pregătirea calculului de arii →

5. Asimptotele unei hiperbole sunt dreptele $y=\pm \frac{5}{2}x$. Ce se poate afirma despre hiperbolă?

   • a) este unic determinată: $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{25}=1$
   • b) există o infinitate de hiperbole cu aceste asimptote
   • c) există exact două astfel de hiperbole
   • d) nu există nicio hiperbolă cu aceste asimptote
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) există o infinitate de hiperbole cu aceste asimptote

   Asimptotele fixează numai raportul $\frac{b}{a}=\frac{5}{2}$, adică o singură condiție, în timp ce hiperbola are două necunoscute. Toate perechile $(a,b)=(2t,5t)$ cu $t>0$ dau aceleași asimptote, deci soluțiile sunt o infinitate; varianta $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{25}=1$ este doar una dintre ele, cea cu $t=1$.

   Lecția: Determinarea conicelor din condiții date →

6. Centrul și raza cercului $x^2+y^2-6x+8y-11=0$ sunt:

   • a) $C(-3,4)$ și $r=6$
   • b) $C(6,-8)$ și $r=6$
   • c) $C(3,-4)$ și $r=36$
   • d) $C(3,-4)$ și $r=6$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $C(3,-4)$ și $r=6$

   Din $2m=-6$ rezultă $m=-3$, iar din $2n=8$ rezultă $n=4$; centrul este $C(-m,-n)=(3,-4)$. Apoi $r^2=m^2+n^2-p=9+16+11=36$, deci $r=6$. Varianta $C(6,-8)$ ia coeficienții drept $m$ și $n$, iar $C(-3,4)$ uită schimbarea de semn.

   Lecția: Ecuația generală a cercului; cercul determinat de condiții →

7. Excentricitatea elipsei $\frac{x^2}{625}+\frac{y^2}{576}=1$ este:

   • a) $\frac{7}{24}$
   • b) $\frac{24}{25}$
   • c) $\frac{7}{25}$
   • d) $\frac{25}{7}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\frac{7}{25}$

   Semiaxele sunt $a=25$ și $b=24$, iar $c=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7$. Excentricitatea este $e=\frac{c}{a}=\frac{7}{25}$, valoare mică, deci elipsa e aproape circulară. Varianta $\frac{25}{7}$ inversează raportul și ar da $e>1$, imposibil la elipsă; $\frac{24}{25}$ este raportul $\frac{b}{a}$.

   Lecția: Elementele elipsei și reprezentarea ei grafică →

8. Asimptotele hiperbolei $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{25}=1$ sunt:

   • a) $y=\pm \frac{5}{6}x$
   • b) $y=\pm \frac{25}{36}x$
   • c) $y=\pm x$
   • d) $y=\pm \frac{6}{5}x$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $y=\pm \frac{5}{6}x$

   Asimptotele sunt $y=\pm \frac{b}{a}x$, cu $a=6$ și $b=5$, deci $y=\pm \frac{5}{6}x$. Scurtătura: înlocuiește $1$ cu $0$ în ecuație și factorizează, $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{25}=0$. Panta se citește din dreptunghiul fundamental: diagonala urcă $b=5$ pe verticală când înaintează $a=6$ pe orizontală.

   Lecția: Elementele hiperbolei: focare, vârfuri, asimptote; reprezentarea grafică →

9. Parabola $x^2=-12y$:

   • a) se deschide la stânga
   • b) se deschide la dreapta
   • c) se deschide în sus
   • d) se deschide în jos, cu focarul $(0,-3)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) se deschide în jos, cu focarul $(0,-3)$

   Pătratul spune axa: variabila $x$ este la pătrat, deci axa de simetrie este $Oy$. Semnul spune sensul: coeficientul lui $y$ fiind negativ, curba se deschide în jos. Din $2p=12$ rezultă $p=6$, deci focarul este $\left(0,-\frac{p}{2}\right)=(0,-3)$, iar directoarea $y=3$.

   Lecția: Elementele parabolei și reprezentarea ei grafică →

10. Elipsa cu focarele $(\pm 6,0)$ și cu $2a=20$ are ecuația canonică:

    • a) $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1$
    • b) $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$
    • c) $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{136}=1$
    • d) $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{6}=1$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$

    Din $2a=20$ rezultă $a=10$, iar focarele dau $c=6$. Atunci $b^2=a^2-c^2=100-36=64$, deci ecuația este $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$. Varianta cu $136$ folosește $a^2+c^2$, formula hiperbolei; varianta cu numitorii schimbați între ei ar așeza axa mare pe $Oy$, contrazicând poziția focarelor.

    Lecția: Elipsa: definiția geometrică și deducerea ecuației canonice →

11. Mulțimea punctelor $M$ care verifică $MF-M{F}^{\prime }=2a$, fără modul, unde $0<2a<F{F}^{\prime }$, este:

    • a) o elipsă
    • b) mulțimea vidă
    • c) toată hiperbola
    • d) o singură ramură a hiperbolei
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: d) o singură ramură a hiperbolei

    Condiția fără modul fixează semnul diferenței, deci selectează punctele mai apropiate de un focar decât de celălalt: exact o ramură. Modulul din definiție reunește cele două cazuri, $MF-M{F}^{\prime }=2a$ și $M{F}^{\prime }-MF=2a$, adică cele două ramuri simetrice față de axa $Oy$.

    Lecția: Hiperbola: definiția geometrică și deducerea ecuației canonice →

12. Prin rotația de unghi $\frac{\pi }{4}$ în sens trigonometric, cu centrul în origine, hiperbola $x^2-y^2=50$ devine:

    • a) $xy=100$
    • b) $xy=25$
    • c) $xy=\frac{50}{\sqrt{2}}$
    • d) $xy=50$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $xy=25$

    Formula fixată este $x^2-y^2=a^2\to xy=\frac{a^2}{2}$, deci aici $xy=\frac{50}{2}=25$. Factorul $\frac{1}{2}$ vine din identitatea $(X+Y{)}^2-(Y-X{)}^2=4XY$, împărțită la $2$. Greșeala tipică este păstrarea constantei neschimbate, care ar dubla toate elementele curbei.

    Lecția: Hiperbola echilateră raportată la asimptote →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.