Pentru punctele $$A(2, 1)$$, $$B(5, 3)$$ și $$C(8, 4)$$, valoarea determinantului $$\Delta$$ este:

$$-3$$, deci punctele formează un triunghi

$$0$$, deci punctele sunt coliniare

$$3$$, deci punctele formează un triunghi

$$-1$$, deci punctele formează un triunghi

Ecuația dreptei care trece prin $$M_0(-2, 5)$$ și are panta $$m = -\dfrac34$$ este:

$$y = -\dfrac34 x + \dfrac{13}{2}$$

Dreptele $$d_1: 3x - 2y + 4 = 0$$ și $$d_2: 6x - 4y - 5 = 0$$ sunt:

confundate, adică aceeași dreaptă

Acasă · Exerciții rezolvate · clasa a XI-a · Exerciții rezolvate — Drepte în planul cartezian (clasa a XI-a)

Exerciții rezolvate — Drepte în planul cartezian (clasa a XI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Drepte în planul cartezian", clasa a XI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

Aria triunghiului cu vârfurile $A (- 2, 3)$ , $B (6, 1)$ și $C (2, 9)$ este egală cu:
- a) $56$
- b) $14$
- c) $112$
- d) $28$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: d) $28$

Cu forma scurtă, $Δ = (6 - (- 2)) (9 - 3) - (2 - (- 2)) (1 - 3) = 48 + 8 = 56 \neq = 0$ , deci punctele formează un triunghi, iar $S = \frac{1}{2} \cdot 56 = 28$ . Varianta $56$ este chiar determinantul, adică dublul ariei — jumătatea se uită des.
Lecția: Aria unui triunghi cu ajutorul determinantului →
Pentru punctele $A (2, 1)$ , $B (5, 3)$ și $C (8, 4)$ , valoarea determinantului $Δ$ este:
- a) $0$ , deci punctele sunt coliniare
- b) $3$ , deci punctele formează un triunghi
- c) $- 1$ , deci punctele formează un triunghi
- d) $- 3$ , deci punctele formează un triunghi
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: d) $- 3$ , deci punctele formează un triunghi

Dezvoltând după prima linie: $Δ = 2 (3 - 4) - 1 (5 - 8) + (5 \cdot 4 - 8 \cdot 3) = - 2 + 3 - 4 = - 3$ . Cum $Δ \neq = 0$ , punctele nu sunt coliniare, deci sunt vârfurile unui triunghi — deși pe desen par aliniate. Control prin pante: $m_{A B} = \frac{2}{3}$ , iar $m_{A C} = \frac{1}{2}$ .
Lecția: Condiția de coliniaritate a trei puncte →
Distanța de la punctul $M (- 2, 5)$ la dreapta $h : 3 x - 4 y + 1 = 0$ este egală cu:
- a) $\frac{25}{7}$
- b) $- 5$
- c) $25$
- d) $5$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: d) $5$

Numărătorul este $∣ 3 \cdot (- 2) - 4 \cdot 5 + 1 ∣ = ∣ - 25 ∣ = 25$ , iar numitorul $9 + 16 = 5$ , deci $d = 5$ . Varianta $\frac{25}{7}$ apare dacă la numitor se scrie $∣ a ∣ + ∣ b ∣$ în loc de $a^{2} + b^{2}$ , iar $- 5$ dacă se uită modulul — o distanță nu poate fi negativă.
Lecția: Distanța de la un punct la o dreaptă →
Ecuația generală a dreptei determinate de punctele $A (- 1, 6)$ și $B (3, - 2)$ este:
- a) $2 x - y + 8 = 0$
- b) $2 x - y - 4 = 0$
- c) $2 x + y - 4 = 0$
- d) $2 x + y + 4 = 0$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: c) $2 x + y - 4 = 0$

Cu formulele din dezvoltarea determinantului: $a = 6 - (- 2) = 8$ , $b = 3 - (- 1) = 4$ , $c = (- 1) (- 2) - 3 \cdot 6 = - 16$ , deci $8 x + 4 y - 16 = 0$ , adică $2 x + y - 4 = 0$ . Verificare pe ambele puncte: $- 2 + 6 - 4 = 0$ ✓ și $6 - 2 - 4 = 0$ ✓. Prima variantă trece prin $A$ , dar nu și prin $B$ — de aceea se verifică amândouă.
Lecția: Ecuația dreptei determinate de două puncte. Forma cu determinant →
Ecuația dreptei care trece prin $M_{0} (- 2, 5)$ și are panta $m = - \frac{3}{4}$ este:
- a) $y = - \frac{3}{4} x + \frac{7}{2}$
- b) $y = - \frac{3}{4} x + \frac{13}{2}$
- c) $y = - \frac{4}{3} x + \frac{7}{3}$
- d) $y = - \frac{3}{4} x - \frac{7}{2}$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $y = - \frac{3}{4} x + \frac{7}{2}$

Scriem întâi formula cu paranteze: $y - 5 = - \frac{3}{4} (x - (- 2)) = - \frac{3}{4} (x + 2)$ , deci $y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{2} + 5 = - \frac{3}{4} x + \frac{7}{2}$ . Varianta a doua apare dacă se scrie $x - 2$ în loc de $x + 2$ , iar a treia dacă se răstoarnă panta.
Lecția: Ecuația dreptei prin punct și pantă, cu aplicații →
Dreapta $d : y = - \frac{3}{4} x + 6$ intersectează axa $O x$ în punctul:
- a) $(0, 6)$
- b) $(- \frac{3}{4}, 0)$
- c) $(- 8, 0)$
- d) $(8, 0)$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: d) $(8, 0)$

Pe axa $O x$ ordonata este nulă, deci $- \frac{3}{4} x + 6 = 0$ , de unde $x = 8$ și punctul este $(8, 0)$ . Punctul $(0, 6)$ este intersecția cu cealaltă axă — acolo se citește ordonata la origine.
Lecția: Ecuația explicită a dreptei →
Panta dreptei de ecuație $5 x + 2 y - 8 = 0$ este:
- a) $\frac{5}{2}$
- b) $- \frac{5}{2}$
- c) $- \frac{2}{5}$
- d) $5$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: b) $- \frac{5}{2}$

Izolăm $y$ : $2 y = - 5 x + 8$ , deci $y = - \frac{5}{2} x + 4$ și panta este $m = - \frac{5}{2}$ . Formula $m = - \frac{a}{b}$ dă același rezultat — cu minus. Varianta $\frac{5}{2}$ este exact greșeala de semn care apare când se citește $\frac{a}{b}$ .
Lecția: Ecuația generală a dreptei →
Panta dreptei determinate de punctele $A (- 4, 7)$ și $B (2, - 5)$ este:
- a) $- \frac{1}{2}$
- b) $2$
- c) $- 2$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: c) $- 2$

$m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{- 5 - 7}{2 - ( - 4 )} = \frac{- 12}{6} = - 2$ . Varianta $- \frac{1}{2}$ apare dacă se răstoarnă raportul, iar $2$ dacă se pierde semnul. Panta fiind negativă, dreapta coboară, iar unghiul ei de înclinare este obtuz.
Lecția: Panta unei drepte: definiție, semn și unghiul cu axa Ox →
Dreapta care trece prin $A (3, - 2)$ și este perpendiculară pe $d : 2 x - 5 y + 7 = 0$ are ecuația:
- a) $2 x - 5 y - 16 = 0$
- b) $5 x - 2 y - 19 = 0$
- c) $5 x + 2 y - 11 = 0$
- d) $2 x + 5 y + 4 = 0$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: c) $5 x + 2 y - 11 = 0$

Panta lui $d$ este $m = \frac{2}{5}$ , deci perpendiculara are panta $- \frac{5}{2}$ : din $y + 2 = - \frac{5}{2} (x - 3)$ rezultă $5 x + 2 y - 11 = 0$ . Toate cele patru variante trec prin $A$ — ele se deosebesc doar prin direcție: prima este paralela la $d$ , a doua folosește panta $\frac{5}{2}$ , iar a treia opusul pantei, nu opusul inversului. Control: $2 \cdot 5 + (- 5) \cdot 2 = 0$ ✓.
Lecția: Condiții de paralelism și de perpendicularitate →
Dreptele $d_{1} : 3 x - 2 y + 4 = 0$ și $d_{2} : 6 x - 4 y - 5 = 0$ sunt:
- a) paralele distincte
- b) concurente într-un punct
- c) confundate, adică aceeași dreaptă
- d) perpendiculare
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) paralele distincte

Determinantul sistemului este $Δ = 3 \cdot (- 4) - 6 \cdot (- 2) = 0$ , deci dreptele nu sunt concurente. Discuția continuă: $Δ_{1} = - 4 5 - 2 - 4 = 26 \neq = 0$ , deci sistemul este incompatibil și dreptele sunt paralele distincte. Control prin pante: ambele au $m = \frac{3}{2}$ .
Lecția: Poziția relativă a două drepte în plan →
Se consideră punctele $A (- 2, 1)$ , $B (4, 3)$ și $C (2, 9)$ . Distanța de la $C$ la dreapta $A B$ este:
- a) $10$
- b) $210$
- c) $10$
- d) $410$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: b) $210$

Forma scurtă dă $Δ = (4 + 2) (9 - 1) - (2 + 2) (3 - 1) = 40$ , iar $A B = 36 + 4 = 210$ . Atunci $d (C, A B) = \frac{∣ Δ ∣}{A B} = \frac{40}{2 10} = 210$ . Varianta $10$ apare dacă la numărător se pune aria $S = 20$ în loc de $∣ Δ ∣ = 2 S$ . Control: $A B : x - 3 y + 5 = 0$ , iar $\frac{∣ 2 - 27 + 5 ∣}{10} = 210$ ✓.
Lecția: Probleme de geometrie analitică: distanțe deduse din arii și optimizare →
Distanța dintre punctele $A (- 2, 5)$ și $B (6, - 1)$ este egală cu:
- a) $42$
- b) $10$
- c) $14$
- d) $27$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: b) $10$

$A B^{2} = (6 - (- 2))^{2} + (- 1 - 5)^{2} = 8^{2} + (- 6)^{2} = 64 + 36 = 100$ , deci $A B = 10$ . Varianta $42$ apare dacă se adună coordonatele în loc să se scadă, iar $14$ dacă se adună pur și simplu $8$ cu $6$ .
Lecția: Reperul cartezian: coordonate, distanța dintre două puncte și mijlocul unui segment →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.

Exerciții rezolvate — Drepte în planul cartezian (clasa a XI-a)

Continuă cu