Exerciții rezolvate — Limite de funcții și continuitate (clasa a XI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Limite de funcții și continuitate", clasa a XI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Determinați numărul real $a$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+a$ pentru $x\le -1$ și $f(x)=x^2-5$ pentru $x>-1$, este continuă în $-1$.

   • a) $a=-2$
   • b) $a=2$
   • c) $a=-6$
   • d) $a=6$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $a=-2$

   Punctul $-1$ verifică $x\le -1$, deci $f(-1)=-2+a=l_s(-1)$. Pe dreapta, $l_d(-1)=(-1{)}^2-5=-4$. Condiția $-2+a=-4$ dă $a=-2$. Verificare: lanțul devine $-4=-4=-4$. Varianta c) apare dacă se uită pătratul din a doua ramură.

   Lecția: Funcții continue definite pe ramuri. Determinarea parametrilor →

2. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2$ pentru $x<3$ și $f(x)=5x-4$ pentru $x\ge 3$. Atunci:

   • a) $f$ nu este continuă în $3$, deoarece $l_s(3)=11$ și $l_d(3)=15$
   • b) $f$ este continuă în $3$
   • c) $f$ nu este continuă în $3$, deoarece $f(3)=11$ și $l_s(3)=9$
   • d) $f$ nu este continuă în $3$, deoarece ramurile au formule diferite
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $f$ este continuă în $3$

   Punctul $3$ verifică $x\ge 3$, deci $f(3)=5\cdot 3-4=11$. Apoi $l_s(3)=3^2+2=11$ și $l_d(3)=5\cdot 3-4=11$. Lanțul $11=11=11$ se închide, deci $f$ este continuă în $3$. Varianta d) confundă forma expresiei cu comportarea funcției — acolada cere doar să verifici racordul.

   Lecția: Continuitatea unei funcții într-un punct →

3. Despre ecuația $x^3+2x-5=0$ se poate afirma că:

   • a) are exact o soluție reală, situată în $(1,2)$
   • b) are cel puțin trei soluții reale
   • c) nu are soluții reale
   • d) are exact o soluție reală, situată în $(0,1)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) are exact o soluție reală, situată în $(1,2)$

   Funcția $f(x)=x^3+2x-5$ este polinomială, deci continuă, și este suma funcțiilor strict crescătoare $x^3$ și $2x$, plus o constantă: e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci are cel mult o soluție. Cum $f(1)=-2<0$ și $f(2)=7>0$, soluția există în $(1,2)$. La d), $f(0)=-5$ și $f(1)=-2$ au același semn.

   Lecția: Existența soluțiilor unei ecuații în mulțimea numerelor reale →

4. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 7x}{x}$.

   • a) $1$
   • b) $7$
   • c) $\frac{1}{7}$
   • d) $0$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $7$

   Sub sinus stă $7x$, deci la numitor trebuie să apară tot $7x$: amplificăm cu $7$ și scriem $\frac{\sin 7x}{x}=7\cdot \frac{\sin 7x}{7x}$. Cu $u(x)=7x$, care tinde la $0$ și se anulează doar în $0$, forma compusă dă $\frac{\sin 7x}{7x}\to 1$, deci limita este $7$. Varianta a) aplică mecanic limita fundamentală, fără să numere factorii.

   Lecția: Limita fundamentală sin x supra x →

5. Calculați $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2+5x+6}{x+2}$.

   • a) $-1$
   • b) $1$
   • c) $0$
   • d) $5$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $1$

   Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, iar $-2$ este punct de acumulare al lui. Cum $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ și șirurile din definiție au $x_n\ne -2$, simplificarea prin $x_n+2$ este legitimă: raportul devine $x_n+3\to 1$. Varianta d) ar rezulta din înlocuirea lui $x$ cu $2$ în loc de $-2$.

   Lecția: Limita unei funcții într-un punct: lectură grafică și definiția cu șiruri →

6. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+5x\right)}^{\frac{1}{x}}$.

   • a) $e$
   • b) $5e$
   • c) $e^5$
   • d) $1$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $e^5$

   Baza tinde la $1$, exponentul la $\pm \infty$: caz $1^{\infty }$. Scriem ${\left(1+5x\right)}^{\frac{1}{x}}={\left[{\left(1+5x\right)}^{\frac{1}{5x}}\right]}^5$; paranteza tinde la $e$ (forma compusă cu $u(x)=5x$), exponentul este constant $5$, deci limita este $e^5\approx 148,41$. Cu rețeta: $c=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\cdot 5x=5$. Varianta d) ar rezulta din a citi $1^{\infty }$ ca $1$.

   Lecția: Limitele fundamentale care duc la numărul e. Nedeterminarea unu la infinit →

7. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5^x-1}{x}$.

   • a) $\ln 5$
   • b) $1$
   • c) $5$
   • d) $\frac{1}{\ln 5}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\ln 5$

   Este chiar limita fundamentală cu exponențială, pentru $a=5$: valoarea este $\ln 5\approx 1,609$. Varianta b) este greșeala clasică a lecției — răspunsul $1$ e corect numai pentru baza $e$; varianta d) este limita corolarului cu ${\log }_a$.

   Lecția: Limitele fundamentale cu exponențială și logaritm →

8. Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x^2-x+1}{2x^2+5}$.

   • a) $2$
   • b) $0$
   • c) $+\infty$
   • d) $\frac{1}{5}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $2$

   Împărțim numărătorul și numitorul la $x^2$, puterea dominantă: $\frac{4-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x^2}}\to \frac{4}{2}=2$. Gradele fiind egale, limita este raportul coeficienților dominanți. Verificare: la $x=1000$ valoarea este $\approx 1,9995$.

   Lecția: Limita unei funcții la plus infinit și la minus infinit →

9. Pentru $f(x)=\frac{-3}{x+1}$, limitele laterale $l_s(-1)$ și $l_d(-1)$ sunt, în această ordine:

   • a) $-\infty$ și $+\infty$
   • b) $+\infty$ și $+\infty$
   • c) $-\infty$ și $-\infty$
   • d) $+\infty$ și $-\infty$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $+\infty$ și $-\infty$

   Numărătorul este constant, $-3<0$; decide semnul numitorului. Pentru $x<-1$ avem $x+1<0$, deci numitorul tinde la $0^{-}$ și $\frac{-3}{0^{-}}=+\infty$. Pentru $x>-1$, numitorul tinde la $0^{+}$ și $\frac{-3}{0^{+}}=-\infty$. Cele două diferă, deci funcția nu are limită în $-1$.

   Lecția: Limite laterale →

10. Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2}{5}\right)}^x$.

    • a) $+\infty$
    • b) $\frac{2}{5}$
    • c) $1$
    • d) $0$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: d) $0$

    Baza $\frac{2}{5}$ este subunitară, deci funcția este strict descrescătoare, iar la $+\infty$ limita este $0$ (valorile rămân pozitive și devin oricât de mici). Varianta a) ar fi corectă la $-\infty$, iar c) confundă limita cu valoarea din $0$.

    Lecția: Limitele funcțiilor exponențială și logaritmică →

11. Fie $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^6}$. Despre limita lui $f$ în $0$ se poate spune că:

    • a) nu există, pentru că $0$ nu aparține domeniului
    • b) există și este $+\infty$
    • c) există și este $0$
    • d) nu există, pentru că $l_s(0)=-\infty$ și $l_d(0)=+\infty$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) există și este $+\infty$

    Exponentul $6$ este par, deci $x^6>0$ pentru orice $x\ne 0$: numitorul tinde la $0^{+}$ din ambele părți. Prin urmare $l_s(0)=l_d(0)=+\infty$, cele două laterale sunt egale și limita există, fiind $+\infty$. Apartenența la domeniu nu contează — contează doar ca $0$ să fie punct de acumulare, ceea ce este.

    Lecția: Limitele funcțiilor putere și radical →

12. Calculați $\underset{x\to 2\pi /3}{\lim }\sin x$.

    • a) $\frac{1}{2}$
    • b) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
    • c) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
    • d) $-\frac{1}{2}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

    Sinusul este definit pe tot $\mathbb{R}$, deci punctul aparține domeniului și limita este valoarea funcției: $\sin \frac{2\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (unghi din cadranul al doilea, unde sinusul este pozitiv). Varianta b) ar fi valoarea cosinusului cu semn schimbat, nu a sinusului.

    Lecția: Limitele funcțiilor trigonometrice →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.