Exerciții rezolvate — Pregătire pentru Bacalaureat M1 (clasa a XII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Pregătire pentru Bacalaureat M1", clasa a XII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. „Regula celor trei coloane” din formularul clasei a XII-a spune că orice formulă se citește pe coloanele:

   • a) enunțul / demonstrația / exemplul
   • b) enunțul / condițiile / lecția-sursă
   • c) definiția / teorema / consecința
   • d) formula / exemplul / exercițiul
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) enunțul / condițiile / lecția-sursă

   A doua coloană este cea care aduce sau pierde punctele: „pe un interval”, „$f$ continuă”, „$a>0$”, „$p^2-4q<0$”. A treia coloană salvează formula însăși — dacă ai uitat-o, te întorci la lecție și o refaci în două rânduri. Formularul nu ține locul înțelegerii: el este ceea ce rămâne în mână după ce înțelegerea a fost făcută.

   Lecția: Formularul clasei a XII-a: rezultatele și formulele esențiale →

2. Enunțul complet al teoremei lui Rolle cere ca funcția $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ să fie:

   • a) derivabilă pe $[a,b]$ și cu $f(a)=f(b)$
   • b) continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$ și cu $f(a)=f(b)$
   • c) continuă pe $(a,b)$ și cu $f(a)=f(b)$
   • d) continuă și derivabilă pe $[a,b]$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$ și cu $f(a)=f(b)$

   Cele trei ipoteze se scriu exact așa, cu intervalul închis la continuitate și deschis la derivabilitate. Deosebirea nu e formală: funcția $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ pe $[-1,1]$ e continuă pe intervalul închis, dar nu e derivabilă în capete — și totuși teorema se aplică. Cerința „derivabilă pe $[a,b]$” ar exclude-o inutil, iar „continuă pe $(a,b)$” ar fi prea slabă. Ipoteza se scrie înaintea concluziei.

   Lecția: Redactarea la Bacalaureat M1: ipoteze, justificări, cazuri și ce se depunctează →

3. Într-un grup cu $12$ elemente, din faptul că $6$ divide $12$ rezultă:

   • a) că grupul are un subgrup cu $6$ elemente
   • b) că grupul are un element de ordin $6$
   • c) că grupul este ciclic
   • d) nimic: reciproca teoremei lui Lagrange nu este adevărată în general
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) nimic: reciproca teoremei lui Lagrange nu este adevărată în general

   Teorema lui Lagrange merge într-un singur sens: dacă $H$ e subgrup al lui $G$ finit, atunci $\mathrm{card}H$ divide $\mathrm{card}G$. Reciproca este falsă — un divizor al cardinalului nu garantează existența unui subgrup cu atâtea elemente. Folosirea ei ca teoremă este a treia dintre cele zece capcane ale clasei a XII-a. Existența unui element de ordin $6$ ar da, într-adevăr, un subgrup ciclic cu $6$ elemente, dar tocmai existența lui trebuie demonstrată.

   Lecția: Sinteză finală clasa a XII-a: probleme de tip Bacalaureat M1 →

4. O problemă de la Subiectul al II-lea, cu subpunctele a), b), c), valorează:

   • a) $15$ puncte
   • b) $10$ puncte
   • c) $5$ puncte
   • d) $30$ de puncte
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $15$ puncte

   Fiecare subpunct valorează $5$ puncte, deci problema întreagă valorează $15$. Subiectul al II-lea are două astfel de probleme, adică $2\times 15=30$ de puncte. Varianta $5$ confundă problema cu subpunctul, iar $30$ confundă problema cu întreg subiectul.

   Lecția: Examenul de Bacalaureat M1: structura subiectelor, baremul și strategia de lucru →

5. Câte echipe de trei elevi se pot forma dintr-o clasă cu $11$ elevi?

   • a) $A_{11}^3=990$
   • b) $P_3=6$
   • c) $C_{11}^3=165$
   • d) $11\cdot 3=33$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $C_{11}^3=165$

   Prima întrebare este „contează ordinea?”. O echipă este o submulțime: nu are ordine, deci se numără cu combinări, $C_{11}^3=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{6}=165$. Varianta cu aranjamente numără fiecare echipă de $3!=6$ ori, câte o dată pentru fiecare ordonare a celor trei elevi — exact relația $A_{11}^3=C_{11}^3\cdot 3!$, adică $990=165\cdot 6$.

   Lecția: Subiectul I: combinatorică și probabilități →

6. Despre dreapta determinată de punctele $A(3,-1)$ și $B(3,5)$ se poate afirma că:

   • a) are panta $0$ și ecuația $y=3$
   • b) are panta $2$
   • c) are panta $\frac{1}{3}$
   • d) nu are pantă, iar ecuația ei este $x=3$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) nu are pantă, iar ecuația ei este $x=3$

   Cele două puncte au aceeași abscisă, deci $x_B-x_A=0$: raportul $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ nu are sens, iar dreapta este verticală. Ea se scrie direct $x=3$ și se recunoaște în forma generală după $b=0$. Varianta cu panta $0$ descrie o dreaptă orizontală, adică exact cazul opus; celelalte două împart la zero fără să observe.

   Lecția: Subiectul I: geometrie analitică și trigonometrie →

7. Numărul $i^{115}$ este egal cu:

   • a) $-i$
   • b) $i$
   • c) $-1$
   • d) $1$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $-i$

   Puterile lui $i$ se repetă din patru în patru, deci se împarte exponentul la $4$ și se citește restul: $115=4\cdot 28+3$, iar $i^{115}=i^3=-i$. Fiecare dintre celelalte variante corespunde altui rest: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^4=1$. Control: $i^{112}={\left(i^4\right)}^{28}=1$, deci $i^{115}=i^3$.

   Lecția: Subiectul I: numere complexe, exponențiale și logaritmi →

8. Calculați $\sqrt{{\left(2-\sqrt{7}\right)}^2}$.

   • a) $2-\sqrt{7}$
   • b) $\sqrt{7}-2$
   • c) $\sqrt{7}+2$
   • d) $3$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\sqrt{7}-2$

   Rezultatul unui radical de ordin par este nenegativ, deci $\sqrt{a^2}=|a|$. Cum $\sqrt{7}>2$ (pentru că $7>4$), avem $2-\sqrt{7}<0$ și $|2-\sqrt{7}|=\sqrt{7}-2$. Varianta a) este greșeala clasică: se scoate expresia cu semnul ei, fără să se compare cele două numere.

   Lecția: Subiectul I: numere reale, radicali, logaritmi, ecuații și inecuații →

9. Într-o progresie aritmetică se știe că $a_4=17$ și $a_9=42$. Primul termen al progresiei este:

   • a) $5$
   • b) $2$
   • c) $-3$
   • d) $7$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $2$

   Din $a_1+3r=17$ și $a_1+8r=42$, scăderea dă $5r=25$, deci $r=5$ și $a_1=17-15=2$. Varianta $5$ este rația, nu primul termen. Varianta $-3$ vine din formula greșită $a_n=a_1+nr$, iar $7$ din $a_1=17-2r$, adică din $a_4=a_1+2r$. Control: $2,7,12,17,\dots ,a_9=2+8\cdot 5=42$.

   Lecția: Subiectul I: progresii, funcția de gradul întâi și funcția de gradul al doilea →

10. Pe $\mathbb{R}$ se consideră legile $x\oplus y=x+y-19$ și $x\otimes y=(x-19)(y-19)+19$. Elementul-unitate al corpului $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este:

    • a) $19$
    • b) $1$
    • c) $0$
    • d) $20$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: d) $20$

    Prin transportul de structură cu $f(x)=x-19$, unitatea este $f^{-1}(1)=1+19=20$. Verificare directă: $20\otimes x=(20-19)(x-19)+19=x-19+19=x$ ✓. Varianta $19$ este elementul nul al structurii, $f^{-1}(0)$; variantele $1$ și $0$ sunt unitatea și nulul lui $(\mathbb{R},+,\cdot )$, adică ale structurii de sosire, nu ale celei din enunț.

    Lecția: Subiectul al II-lea: inele, corpuri și polinoame →

11. Pe mulțimea $M=(21,+\infty )$ se consideră legea $x\ast y=xy-21(x+y)+462$. Elementul neutru al grupului $(M,\ast )$ este:

    • a) $e=22$
    • b) $e=21$
    • c) $e=0$
    • d) $e=462$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $e=22$

    Primul gest este forma factorizată: $x\ast y=(x-21)(y-21)+21$, pentru că $21^2+21=462$. Din $(x-21)(e-21)+21=x$ pentru orice $x$ rezultă $e-21=1$, deci $e=22$, iar $22\in M$ — apartenența se scrie, e pasul punctat separat. Regula generală: la $(x-a)(y-a)+a$, neutrul este $a+1$. Varianta $21$ dă chiar valoarea exclusă din mulțime.

    Lecția: Subiectul al II-lea: legi de compoziție și grupuri →

12. Fie $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A=3$. Valoarea lui $\det (-2A)$ este:

    • a) $-6$
    • b) $-24$
    • c) $24$
    • d) $6$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $-24$

    Scalarul se scoate din fiecare dintre cele $3$ linii, deci $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$ pentru $A\in {\mathcal{M}}_n$: aici $\det (-2A)=(-2{)}^3\cdot 3=-24$. Varianta $-6$ scoate factorul o singură dată — greșeala clasică. Varianta $24$ pierde semnul, uitând că $(-2{)}^3<0$, iar $6$ le combină pe amândouă.

    Lecția: Subiectul al II-lea: matrice și determinanți →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.