Exerciții rezolvate — Sisteme de ecuații liniare (clasa a XI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Sisteme de ecuații liniare", clasa a XI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. La calculul inversei prin metoda lui Gauss, tabloul de lucru este:

   • a) un singur tablou cu $n$ linii și $2n$ coloane, format din $A$ și, la dreapta, $I_n$, fără bară despărțitoare
   • b) matricea extinsă $\overline{A}$ a unui sistem
   • c) un tablou format din $A$ și, la dreapta, coloana termenilor liberi
   • d) două tablouri separate, $A$ și $I_n$, transformate independent
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) un singur tablou cu $n$ linii și $2n$ coloane, format din $A$ și, la dreapta, $I_n$, fără bară despărțitoare

   Tabloul rămâne o singură matrice de tip $n\times 2n$, iar transformările se aplică pe linii întregi; împărțirea în „primele $n$ coloane" și „ultimele $n$ coloane" este doar un ajutor de citire, descris în cuvinte. Notația $\overline{A}$ rămâne rezervată matricei extinse a unui sistem, cu coloana termenilor liberi — altceva decât tabloul dublu. Transformate independent, cele două jumătăți nu ar mai reprezenta același pachet de sisteme.

   Lecția: Metoda lui Gauss pentru inversa unei matrice și pentru ecuații matriceale →

2. În forma eșalonată a matricei extinse a unui sistem apare linia $\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 5\end{array}\right)$. Sistemul este:

   • a) compatibil determinat
   • b) compatibil nedeterminat
   • c) incompatibil
   • d) omogen
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) incompatibil

   Linia corespunde ecuației $0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=5$, adică $0=5$ — o egalitate falsă, pe care niciun triplet nu o poate verifica. Sistemul echivalent nu are soluții, deci nici cel inițial. Atenție la deosebire: o linie complet nulă înseamnă $0=0$, adevărată mereu, și arată doar că o ecuație era consecința celorlalte.

   Lecția: Metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor liniare →

3. Un model practic corect scris duce la un sistem incompatibil. În context, aceasta înseamnă:

   • a) că s-a greșit un calcul la rezolvarea sistemului
   • b) că soluția va ieși negativă
   • c) că sistemul are prea multe necunoscute
   • d) că datele din enunț se contrazic — de regulă o eroare de măsurare sau de transcriere
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) că datele din enunț se contrazic — de regulă o eroare de măsurare sau de transcriere

   Incompatibilitatea este o proprietate a datelor, nu a calculului: două informații cer aceleiași expresii valori diferite. Într-o problemă reală, verdictul trimite înapoi la enunț — o cifră greșit citită de pe un bon, o cântărire imprecisă. Un rezultat negativ este cu totul altceva: acolo sistemul are soluție, dar ea nu are sens în context.

   Lecția: Modelarea situațiilor practice cu sisteme de ecuații liniare →

4. Care dintre următoarele NU este o transformare elementară pe linii?

   • a) $L_1\leftrightarrow L_3$
   • b) $L_2\leftarrow 0\cdot L_2$
   • c) $L_3\leftarrow L_3-4L_1$
   • d) $L_2\leftarrow \frac{1}{2}{L}_2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $L_2\leftarrow 0\cdot L_2$

   Transformarea $L_i\leftarrow \alpha L_i$ cere $\alpha \ne 0$. Înmulțirea cu $0$ face linia nulă, deci poate coborî rangul ($I_2$ are rangul $2$, dar cu prima linie anulată ajunge la $1$) și nu este reversibilă. Celelalte trei sunt transformări elementare corecte; la a treia, condiția $i\ne j$ este respectată.

   Lecția: Rangul unei matrice prin transformări elementare →

5. Pentru o matrice $A$ de tip $3\times 4$, ca să demonstrezi că $\mathrm{rang}A=2$ trebuie să arăți că:

   • a) există un minor nenul de ordin $2$ și toți minorii de ordin $3$ sunt nuli
   • b) există un minor nenul de ordin $2$
   • c) toți minorii de ordin $3$ sunt nuli
   • d) toți minorii de ordin $2$ sunt nenuli
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) există un minor nenul de ordin $2$ și toți minorii de ordin $3$ sunt nuli

   Definiția cere cel mai mare ordin al unui minor nenul, deci două condiții deodată. Numai existența unui minor nenul de ordin $2$ dă $\mathrm{rang}A\ge 2$, iar numai anularea celor de ordin $3$ dă $\mathrm{rang}A\le 2$; adevărul se obține din amândouă. Nu se cere ca toți minorii de ordin $2$ să fie nenuli — e suficient unul singur.

   Lecția: Rangul unei matrice: definiția cu minori →

6. Un sistem cu $4$ ecuații și $5$ necunoscute are $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=3$. Mulțimea soluțiilor se scrie cu:

   • a) doi parametri — sistemul este dublu nedeterminat
   • b) trei parametri — sistemul este triplu nedeterminat
   • c) un singur parametru
   • d) niciun parametru, soluția fiind unică
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) doi parametri — sistemul este dublu nedeterminat

   Gradul de nedeterminare este $n-r=5-3=2$, deci apar exact doi parametri, $\alpha$ și $\beta$. Numărul $3$ ar veni din rang, nu din $n-r$, iar soluție unică ar însemna $r=n$. Numărul ecuațiilor, $4$, nu intervine în această numărătoare: el dă numărul determinanților caracteristici, nu al parametrilor.

   Lecția: Sisteme compatibile nedeterminate: necunoscute secundare →

7. Pentru a calcula un determinant de ordinul al patrulea, procedeul corect este:

   • a) regula lui Sarrus, adăugând încă o coloană sub tablou
   • b) regula triunghiului, cu patru diagonale în loc de trei
   • c) fabricarea zerourilor pe o linie sau o coloană, urmată de dezvoltarea după ea
   • d) înmulțirea elementelor de pe diagonala principală
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) fabricarea zerourilor pe o linie sau o coloană, urmată de dezvoltarea după ea

   Un determinant de ordin $4$ are $4!=24$ de termeni, iar orice schemă cu diagonale de tip Sarrus produce cel mult $8$: regula lui Sarrus și regula triunghiului rămân valabile numai la ordinul $3$. Produsul elementelor de pe diagonala principală dă determinantul doar la matricele triunghiulare, nu în general.

   Lecția: Sisteme de tip Cramer cu patru ecuații și patru necunoscute →

8. Pentru sistemul $2x+y-z=3$, $x-3y+2z=1$, $4x+y+z=9$, determinantul auxiliar ${\Delta }_2$ este:

   • a) $\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 3& 1& 9\\ 4& 1& 1\end{array}\right|$
   • b) $\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 1& 1& 2\\ 4& 9& 1\end{array}\right|$
   • c) $\left|\begin{array}{ccc}3& 1& -1\\ 1& -3& 2\\ 9& 1& 1\end{array}\right|$
   • d) $\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& -3& 1\\ 4& 1& 9\end{array}\right|$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 1& 1& 2\\ 4& 9& 1\end{array}\right|$

   ${\Delta }_2$ se obține din $\Delta$ înlocuind coloana a doua — cea a necunoscutei $y$ — cu coloana termenilor liberi $3$, $1$, $9$. Prima variantă înlocuiește linia a doua, a treia înlocuiește coloana întâi (acela este ${\Delta }_1$), iar ultima înlocuiește coloana a treia (acela este ${\Delta }_3$). Valoarea corectă este ${\Delta }_2=-18$.

   Lecția: Sisteme de tip Cramer: teorema și formulele lui Cramer →

9. Într-o discuție după parametru, pentru o valoare critică (adică o valoare care anulează $\Delta$):

   • a) sistemul este sigur incompatibil
   • b) sistemul este sigur compatibil nedeterminat
   • c) sistemul nu mai este de tip Cramer, iar natura lui se stabilește separat, cu rangul sau cu teorema lui Rouché
   • d) formulele lui Cramer se aplică după simplificarea fracțiilor
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) sistemul nu mai este de tip Cramer, iar natura lui se stabilește separat, cu rangul sau cu teorema lui Rouché

   Un $\Delta$ nul spune doar că nu mai avem voie să împărțim la el. Valoarea critică se înlocuiește în sistem, se obține un sistem numeric și acesta se studiază separat: poate ieși incompatibil, dar la fel de bine poate ieși compatibil nedeterminat. Simplificarea fracțiilor $\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$ este legitimă numai pe cazul general, tocmai pentru că acolo factorul comun este nenul.

   Lecția: Sisteme de ecuații liniare cu parametru: discuția completă →

10. Se consideră sistemul $3x-y+2z=5$, $x+4z=-2$, $2y-z=6$. Matricea extinsă $\overline{A}$ este:

    • a) $\left(\begin{array}{cccc}3& -1& 2& 5\\ 1& 0& 4& -2\\ 0& 2& -1& 6\end{array}\right)$
    • b) $\left(\begin{array}{cccc}3& -1& 2& 5\\ 1& 4& 0& -2\\ 2& -1& 0& 6\end{array}\right)$
    • c) $\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 2\\ 1& 0& 4\\ 0& 2& -1\end{array}\right)$
    • d) $\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 5\\ -1& 0& 2& -2\\ 2& 4& -1& 6\end{array}\right)$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\left(\begin{array}{cccc}3& -1& 2& 5\\ 1& 0& 4& -2\\ 0& 2& -1& 6\end{array}\right)$

    Pe linia $i$ stau coeficienții ecuației $i$, pe coloana $j$ coeficienții lui $x_j$, iar ultima coloană este cea a termenilor liberi. În ecuația a doua lipsește $y$, în a treia lipsește $x$: pe locurile lor se scrie $0$, nu se sare peste coloană (aceasta e greșeala din a doua variantă). Tabloul fără ultima coloană este matricea sistemului $A$, nu $\overline{A}$, iar citirea coeficienților pe coloane descrie cu totul alt sistem.

    Lecția: Sisteme de ecuații liniare: forma matriceală, matricea sistemului și matricea extinsă →

11. Un sistem de ecuații liniare omogen:

    • a) poate fi incompatibil, dacă $\det A=0$
    • b) este întotdeauna compatibil, având cel puțin soluția banală
    • c) are întotdeauna o infinitate de soluții
    • d) are soluții nebanale dacă și numai dacă $\det A\ne 0$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) este întotdeauna compatibil, având cel puțin soluția banală

    Tripletul $(0,0,\dots ,0)$ verifică orice ecuație cu termen liber nul, deci compatibilitatea este garantată — cuvântul „incompatibil" nu se aplică niciodată aici. Infinitatea de soluții apare numai când $\mathrm{rang}A<n$; iar la un sistem pătratic soluțiile nebanale apar exact când $\det A=0$, nu invers.

    Lecția: Sisteme liniare omogene →

12. Fie $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ cu $\det A\ne 0$. Soluția sistemului $AX=B$ este:

    • a) $X=B{A}^{-1}$
    • b) $X=A{B}^{-1}$
    • c) $X=A^{-1}{B}^{-1}$
    • d) $X=A^{-1}B$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: d) $X=A^{-1}B$

    Se înmulțește la stânga cu $A^{-1}$, singura parte în care apare $A^{-1}A=I_n$. Scrierea $B{A}^{-1}$ nu se poate nici măcar efectua: $B$ are tipul $n\times 1$, iar $A^{-1}$ tipul $n\times n$, deci numărul de coloane ale lui $B$ nu se potrivește cu numărul de linii ale lui $A^{-1}$ pentru $n\ge 2$. Matricea $B$ nici nu are inversă, fiind o coloană.

    Lecția: Rezolvarea sistemelor cu ajutorul matricei inverse →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.