Exerciții rezolvate — Studiul variației funcțiilor cu derivate (clasa a XI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Studiul variației funcțiilor cu derivate", clasa a XI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Un mobil se deplasează pe o dreaptă după legea $x(t)=2t^3-9t^2+12t$ metri, cu $t\in [0,3]$ secunde. Distanța parcursă este:

   • a) $9$ m
   • b) $5$ m
   • c) $13$ m
   • d) $11$ m
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $11$ m

   $v(t)=6t^2-18t+12=6(t-1)(t-2)$ se anulează în $t=1$ și $t=2$, deci intervalul se taie acolo. Valorile sunt $x(0)=0$, $x(1)=5$, $x(2)=4$, $x(3)=9$, iar distanța este $|5-0|+|4-5|+|9-4|=11$ m. Deplasarea, adică $x(3)-x(0)=9$ m, este alt număr: mobilul a mers înainte, s-a întors un metru, apoi a pornit din nou.

   Lecția: Aplicații ale derivatelor în fizică și în alte domenii →

2. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3+6x^2-5$, este convexă pe:

   • a) $(-\infty ,-1]$
   • b) $\mathbb{R}$
   • c) $[-1,+\infty )$
   • d) $[-2,+\infty )$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $[-1,+\infty )$

   $f^{\prime }(x)=6x^2+12x$, iar $f^{\prime \prime }(x)=12x+12=12(x+1)$, cu zeroul $-1$: semnul este negativ înainte și pozitiv după. Deci $f$ este concavă pe $(-\infty ,-1]$ și convexă pe $[-1,+\infty )$. Valoarea $-2$ este zeroul derivatei întâi, deci ține de monotonie, nu de curbură — exact confuzia pe care o pândește acest tip de exercițiu.

   Lecția: Convexitatea și semnul derivatei a doua →

3. Graficul unei funcții convexe pe un interval se află:

   • a) deasupra oricărei coarde și deasupra tangentelor
   • b) sub orice coardă și sub tangente
   • c) deasupra coardelor și sub tangente
   • d) sub orice coardă și deasupra tangentelor
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) sub orice coardă și deasupra tangentelor

   Inegalitatea din definiție spune că valoarea funcției nu depășește ordonata coardei, deci curba trece pe dedesubtul ei. Față de tangentă poziția se răstoarnă: la $y=x^2$, tangenta în punctul de abscisă $1$ este $y=2x-1$, iar diferența $x^2-(2x-1)=(x-1{)}^2\ge 0$ arată că graficul stă deasupra ei. Coarda și tangenta sunt de o parte și de alta a curbei.

   Lecția: Funcții convexe și funcții concave →

4. Imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{x^2+3}$, este:

   • a) $[0,1)$
   • b) $[0,1]$
   • c) $(0,1)$
   • d) $[0,+\infty )$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $[0,1)$

   $f^{\prime }(x)=\frac{6x}{{\left(x^2+3\right)}^2}$ are semnul lui $x$, deci $f$ scade pe $(-\infty ,0]$ și crește pe $[0,+\infty )$, cu minimul $f(0)=0$. La $\pm \infty$ limita este $1$, dar nicio valoare nu o atinge, pentru că $x^2<x^2+3$. Capătul care vine dintr-o valoare se scrie închis, cel care vine dintr-o limită — deschis.

   Lecția: Imaginea unei funcții stabilită cu derivata →

5. Pentru a demonstra că $x^3+16\ge 12x$ pentru orice $x\ge 0$ se folosește funcția auxiliară $h(x)=x^3-12x+16$. Minimul global al lui $h$ pe $[0,+\infty )$ este:

   • a) $16$, atins în $x=0$
   • b) $-2$, atins în $x=-2$
   • c) $0$, atins în $x=2$
   • d) nu există, pentru că $h$ nu este mărginită inferior
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $0$, atins în $x=2$

   $h^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$, iar pe $[0,+\infty )$ rămâne doar rădăcina $2$: derivata este negativă pe $(0,2)$ și pozitivă după. Deci $2$ este punct de minim, cu $h(2)=8-24+16=0$. Valoarea $16$ este $h(0)$, dintr-un capăt în care funcția abia începe să coboare. Inegalitatea are loc, cu egalitate exact în $x=2$.

   Lecția: Demonstrarea inegalităților cu ajutorul derivatelor →

6. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$. Pe care dintre mulțimi este $f$ strict descrescătoare?

   • a) $(-\infty ,1]$
   • b) $[1,3]$
   • c) $[3,+\infty )$
   • d) $\mathbb{R}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $[1,3]$

   $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$, cu zerourile $1$ și $3$. Probele $f^{\prime }(0)=9>0$, $f^{\prime }(2)=-3<0$, $f^{\prime }(4)=9>0$ arată că derivata este negativă doar între rădăcini, deci $f$ scade strict pe $[1,3]$ și crește pe celelalte două intervale.

   Lecția: Monotonia unei funcții dedusă din semnul derivatei întâi →

7. Numărul soluțiilor reale ale ecuației $x^3-12x+4=0$ este:

   • a) $1$
   • b) $3$
   • c) $2$
   • d) $0$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $3$

   Cu $f(x)=x^3-12x+4$ avem $f^{\prime }(x)=3x^2-12$, cu rădăcinile $\pm 2$ și semnele $+$, $-$, $+$. Valorile extreme sunt $f(-2)=20$ și $f(2)=-12$, iar limitele la capete sunt $-\infty$ și $+\infty$. Imaginile ramurilor, $(-\infty ,20]$, $[-12,20]$ și $[-12,+\infty )$, îl conțin toate pe $0$, deci ecuația are câte o soluție pe fiecare ramură.

   Lecția: Numărul soluțiilor unei ecuații studiat cu derivate →

8. Costul total al producerii a $q$ bucăți este $C(q)=q^2+4q+81$ lei. Costul mediu este minim pentru:

   • a) $q=9$, cu $\overline{C}(9)=22$ lei pe bucată
   • b) $q=9$, cu $\overline{C}(9)=13$ lei pe bucată
   • c) $q=81$, cu $\overline{C}(81)=4$ lei pe bucată
   • d) $q=3$, cu $\overline{C}(3)=34$ lei pe bucată
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $q=9$, cu $\overline{C}(9)=22$ lei pe bucată

   $\overline{C}(q)=q+4+\frac{81}{q}$, iar ${\overline{C}}^{\prime }(q)=\frac{q^2-81}{q^2}$ se anulează pe domeniu doar în $q=9$, cu semnele $-$ și $+$: minim global. Valoarea este $\overline{C}(9)=9+4+9=22$ lei pe bucată. Se verifică și Regula costului mediu: $C^{\prime }(q)=2q+4$, deci $C^{\prime }(9)=22$, exact costul mediu minim.

   Lecția: Probleme de optimizare în economie: cost, profit, productivitate →

9. Dintr-un carton pătrat cu latura de $20$ cm se decupează din fiecare colț un pătrat cu latura $x$, iar marginile se îndoaie în sus. Domeniul real al problemei este:

   • a) $(0,20)$
   • b) $[0,10]$
   • c) $(0,10)$
   • d) $\mathbb{R}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $(0,10)$

   Baza cutiei are latura $20-2x$, deci trebuie $x>0$ și $20-2x>0$, adică $x<10$. Capetele se exclud, pentru că acolo figura degenerează: la $x=0$ nu există cutie, iar la $x=10$ baza s-ar reduce la un punct. O rădăcină a derivatei căzută în afara acestui interval se respinge, oricât de frumos ar arăta numărul.

   Lecția: Probleme de extrem în geometrie →

10. Punctul de maxim local al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x+5$, este:

    • a) $x_0=2$
    • b) $x_0=21$
    • c) $x_0=-2$
    • d) $x_0=-11$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $x_0=-2$

    $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$. Semnele sunt $+$, $-$, $+$, deci în $-2$ trecerea este de la $+$ la $-$: punct de maxim local. Valoarea maximă este $f(-2)=21$, iar $-11=f(2)$ este valoarea minimului local — numere care răspund la altă întrebare: punctul de extrem este abscisa, nu valoarea.

    Lecția: Punctele de extrem local și determinarea extremelor →

11. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-3{)}^4+2x$. Despre $x_0=3$ se poate spune că:

    • a) este punct de inflexiune, pentru că $f^{\prime \prime }(3)=0$
    • b) nu este punct de inflexiune, pentru că $f^{\prime \prime }$ nu își schimbă semnul acolo
    • c) este punct de minim local
    • d) este punct de maxim local
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) nu este punct de inflexiune, pentru că $f^{\prime \prime }$ nu își schimbă semnul acolo

    $f^{\prime }(x)=4(x-3{)}^3+2$ și $f^{\prime \prime }(x)=12(x-3{)}^2$, care se anulează în $3$ și este strict pozitivă în rest: semnul rămâne $+$ de ambele părți, deci funcția e convexă și nu își schimbă curbura. Nu e nici punct de extrem, pentru că $f^{\prime }(3)=2\ne 0$. Este varianta deghizată a capcanei standard $x^4$: anularea lui $f^{\prime \prime }$ e doar condiție necesară.

    Lecția: Puncte de inflexiune →

12. Primul pas al schemei de studiu al variației unei funcții este:

    • a) domeniul maxim de definiție, scris ca reuniune de intervale
    • b) calculul derivatei întâi și al punctelor critice
    • c) calculul limitelor la capete
    • d) alcătuirea tabelului de variație
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) domeniul maxim de definiție, scris ca reuniune de intervale

    Fără domeniu, toți ceilalți pași se pot contamina: ai discuta semnul derivatei în puncte în care funcția nici nu există, iar în tabel ai marca zerouri care nu aparțin domeniului. Cele patru surse de restricții sunt numitorul nenul, radicalul de ordin par, argumentul strict pozitiv al logaritmului și punctele în care tangenta sau cotangenta nu există. Limitele vin abia la pasul $3$, iar derivata la pasul $4$.

    Lecția: Schema completă de studiu al variației unei funcții →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.