De unde vine formula ecuației de gradul doi?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Deducerea formulei ecuației de gradul doi

Din completarea unui pătrat. Împarți ecuația la $a$ , muți termenul liber și adaugi în ambii membri pătratul jumătății coeficientului lui $x$ . Rămâne $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{Δ}{4 a ^{2}}$ , cu $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Extragi radicalul și obții $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ . Numitorul fiind un pătrat, semnul discriminantului decide singur câte soluții reale există. Pentru $x^{2} + 8 x + 5 = 0$ adaugi $16$ și ajungi la $(x + 4)^{2} = 11$ .

O ecuație de gradul al doilea are forma $a x^{2} + b x + c = 0$ , cu $a, b, c \in R$ , $a \neq = 0$ ; când $b = 0$ sau $c = 0$ , ecuația e incompletă și se rezolvă direct, prin factorizare sau extragerea rădăcinii. În cazul general, formula rădăcinilor nu se enunță, ci se deduce prin formarea pătratului perfect: împărțim la $a$ , izolăm termenii cu $x$ și adăugăm în ambii membri $(\frac{b}{2 a})^{2}$ , obținând $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{Δ}{4 a ^{2}}$ , unde $Δ = b^{2} - 4 a c$ este discriminantul. Cum $4 a^{2} > 0$ , semnul lui $Δ$ decide totul, inclusiv geometric — câte puncte are parabola în comun cu axa $O x$ : dacă $Δ < 0$ , ecuația **nu are soluții reale**; dacă $Δ = 0$ , există o **rădăcină dublă** $x = - \frac{b}{2 a}$ (tangentă la axă); dacă $Δ > 0$ , există două soluții $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ . La extragerea radicalului, $4 a^{2} = 2∣ a ∣$ , nu $2 a$ — detaliu esențial în demonstrație, chiar dacă formula finală rămâne valabilă pentru orice $a \neq = 0$ . Când $b = 2 b^{'}$ este par, folosim formula redusă: $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ și $x_{1, 2} = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ , mai comodă la numere mari. Dacă $Δ \geq 0$ , trinomul se factorizează: $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ; dacă $Δ < 0$ , el este ireductibil peste $R$ , pentru că nu are rădăcini reale care să anuleze factorii.

De reținut

$Δ = b^{2} - 4 a c$ decide numărul soluțiilor reale
$x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$
$4 a^{2} = 2∣ a ∣$ , nu $2 a$
dacă $Δ \geq 0$ : $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Greșeala tipică

La completarea pătratului se adaugă jumătatea coeficientului, nu pătratul ei, iar egalitatea se strică; numărul adăugat este întotdeauna pătratul jumătății coeficientului lui $x$ .

Exerciții din această mini-lecție

Aplicând metoda formării pătratului perfect pentru ecuația $x^{2} + 8 x + 5 = 0$ , ce număr trebuie adăugat în ambii membri, după izolarea termenilor cu necunoscută, pentru a completa pătratul?
- a) $8$
- b) $16$
- c) $4$
- d) $64$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $16$

Izolăm: $x^{2} + 8 x = - 5$ . Regula generală spune să adaugi pătratul jumătății coeficientului lui $x$ : jumătatea lui $8$ este $4$ , iar $4^{2} = 16$ . Adunând $16$ în ambii membri obținem $x^{2} + 8 x + 16 = 11$ , adică $(x + 4)^{2} = 11$ — un pătrat perfect. Opțiunea a) confundă jumătatea cu numărul căutat; c) este chiar jumătatea, nu pătratul ei; d) ar corespunde pătratului lui $8$ , nu al jumătății lui.
Ecuația incompletă $2 x^{2} + 8 = 0$ are, în $R$ :
- a) soluțiile ${- 2, 2}$
- b) soluțiile ${- 2, 2, 0}$
- c) soluția ${0}$
- d) nicio soluție reală
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) nicio soluție reală

Din $2 x^{2} + 8 = 0$ obținem $2 x^{2} = - 8$ , adică $x^{2} = - 4$ . Pătratul oricărui număr real este $\geq 0$ , deci nu există niciun $x$ real cu $x^{2} = - 4$ : ecuația nu are soluții reale. Este exact cazul $b = 0$ al ecuațiilor incomplete $a x^{2} + c = 0$ , cu $k = - c / a < 0$ . Opțiunile a) și b) ar fi corecte pentru $x^{2} = 4$ (adică pentru $2 x^{2} - 8 = 0$ ); c) ar corespunde lui $x^{2} = 0$ .
Care dintre următoarele trinoame este ireductibil peste $R$ (nu se poate scrie ca produs de doi factori de gradul întâi cu coeficienți reali)?
- a) $x^{2} - 5 x + 6$
- b) $x^{2} + 2 x + 1$
- c) $x^{2} + x + 1$
- d) $x^{2} - 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x^{2} + x + 1$

Un trinom se factorizează peste $R$ exact când $Δ \geq 0$ . a) $Δ = 25 - 24 = 1 > 0$ , deci $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ . b) $Δ = 4 - 4 = 0$ , rădăcină dublă $- 1$ , deci $x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$ — tot o factorizare peste $R$ . c) $Δ = 1 - 4 = - 3 < 0$ : nu există rădăcini reale, deci $x^{2} + x + 1$ este **ireductibil** — aceasta e concluzia corectă. d) $Δ = 0 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 16 > 0$ , deci $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .

Întrebări conexe

Ce este discriminantul și cum îl calculez?

Este numărul $Δ = b^{2} - 4 a c$ , format doar din coeficienții ecuației. Semnul lui arată câte soluții reale există: două pentru valori pozitive, una dublă pentru zero și niciuna pentru valori negative. La $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ obții $100 - 84 = 16$ .

Cum rezolv ecuația x la pătrat minus 6x plus 5 egal zero?

Discriminantul este $36 - 20 = 16$ , iar radicalul lui este $4$ . Rădăcinile ies $\frac{6 \pm 4}{2}$ , adică $5$ și $1$ . Verificarea e imediată: $25 - 30 + 5 = 0$ și $1 - 6 + 5 = 0$ . Ecuația se putea rezolva și prin descompunere, ca $(x - 5) (x - 1) = 0$ .

De ce se împarte ecuația la a înainte de deducerea formulei?

Ca termenul cu pătrat să rămână curat, cu coeficient egal cu unu, altfel completarea pătratului nu mai iese la fel de simplu. Împărțirea este permisă, fiindcă acest coeficient nu poate fi zero. La final, revenirea la coeficienții inițiali dă formula obișnuită.

Cum verific rădăcinile găsite fără să reiau tot calculul?

Aduni cele două rezultate și compari suma cu opusul raportului dintre coeficientul mijlociu și cel dominant, apoi înmulțești și compari produsul cu raportul dintre termenul liber și coeficientul dominant. Dacă amândouă se potrivesc, calculul este bun.

Ce fac dacă ecuația de gradul doi nu are termen liber?

Dai factor comun variabila: din $a x^{2} + b x = 0$ obții $x (a x + b) = 0$ . Un produs se anulează când unul dintre factori se anulează, deci o soluție este zero, iar cealaltă iese din ecuația de gradul întâi rămasă. Formula cu discriminant ar da același rezultat, dar cu mai mult calcul.

Ce fac dacă ecuația de gradul doi nu are termenul cu x?

Izolezi pătratul: din $a x^{2} + c = 0$ obții $x^{2} = - \frac{c}{a}$ . Dacă rezultatul este pozitiv, soluțiile sunt cele două numere opuse cu acel pătrat; dacă este negativ, nu există soluții reale. Din $2 x^{2} + 8 = 0$ ar ieși $x^{2} = - 4$ , deci mulțimea soluțiilor este vidă.

Oamenii mai întreabă și: deducerea formulei rădăcinilor · de unde vine delta la ecuația de gradul 2 · metoda cu pătrat perfect la ecuații · demonstrația formulei ecuației de gradul doi