Ce fel de dreaptă determină punctele $$M(-3, 8)$$ și $$N(5, 8)$$?

Dreaptă orizontală, $$y = 8$$

Dreaptă verticală, $$x = -3$$

Nu se poate determina, pentru că panta nu există

Un elev vrea să scrie ecuația dreptei prin $$A(1, 3)$$ și $$B(4, 9)$$, dar calculează greșit panta $$m=1$$ (corect ar fi $$m=2$$) și scrie $$y - 3 = 1 \cdot (x-1)$$, adică $$y = x+2$$. Verifică apoi doar punctul $$A$$: pentru $$x=1$$, $$y=3$$ ✓, și conchide că ecuația e corectă. De ce este greșită concluzia lui?

Pentru că punctul $$A$$ verifică orice ecuație scrisă pornind chiar de la $$A$$, indiferent de pantă; trebuie verificat și $$B$$ — pentru $$x=4$$ obține $$y=6\neq 9$$, deci ecuația e greșită

Pentru că trebuie verificat un al treilea punct, diferit de $$A$$ și $$B$$, nu punctul $$B$$

Pentru că panta trebuie verificată separat printr-un desen, nu prin calcul algebric

Pentru că formula punct-pantă nu se poate aplica atunci când ambele puncte au abscisă pozitivă

Cum scriu ecuația dreptei prin două puncte?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Ecuația dreptei determinate de două puncte

În doi pași. Întâi calculezi panta, $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ , adusă la forma cea mai simplă; apoi scrii $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , folosind oricare dintre cele două puncte, fiindcă rezultatul iese la fel. Pentru $A (1, 3)$ și $B (5, 11)$ panta este $2$ , iar ecuația devine $y = 2 x + 1$ . Dacă abscisele sunt egale, dreapta este verticală; dacă ordonatele sunt egale, ea este orizontală.

Două puncte distincte $A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$ determină o singură dreaptă, deci și o singură ecuație. Rețeta are doi pași: întâi calculezi panta, $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ (simplificată!), apoi scrii ecuația cu formula punct-pantă, $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , folosind oricare dintre cele două puncte — rezultatul nu depinde de alegere, pentru că ambele puncte sunt pe aceeași dreaptă.

Există și o formulă directă, sub formă de proporție: $\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}}$ , valabilă doar când $x_{1} \neq = x_{2}$ și $y_{1} \neq = y_{2}$ .

Cele două cazuri speciale se recunosc prin simpla comparare a coordonatelor: dacă $y_{1} = y_{2}$ , dreapta este orizontală, $y = y_{1}$ ; dacă $x_{1} = x_{2}$ , panta nu există, iar dreapta este verticală, $x = x_{1}$ — în ambele situații formula-proporție nu se poate folosi.

Verificarea corectă cere înlocuirea ambelor puncte în ecuația găsită, nu doar a unuia, pentru că punctul folosit la scrierea ecuației o va verifica automat chiar dacă panta e greșită. Metoda se aplică direct la deducerea unei dependențe liniare din două măsurători — două facturi, două citiri de temperatură — pentru a obține ritmul (panta) și valoarea inițială (termenul liber).

De reținut

întâi panta, apoi formula punct-pantă
$\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}}$
abscise egale dau $x = x_{1}$ , ordonate egale dau $y = y_{1}$

Greșeala tipică

Ecuația găsită este verificată doar cu punctul folosit la scrierea ei, care o confirmă oricum. Verificarea reală cere înlocuirea celuilalt punct, singurul care poate arăta o pantă greșită.

Exerciții din această mini-lecție

Ecuația dreptei determinate de punctele $A (- 2, 6)$ și $B (2, - 2)$ este:
- a) $y = - 2 x + 2$
- b) $y = 2 x + 10$
- c) $y = - 2 x + 10$
- d) $y = - 2 x - 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y = - 2 x + 2$

Panta: $m = \frac{- 2 - 6}{2 - ( - 2 )} = \frac{- 8}{4} = - 2$ . Ecuația cu punctul $A$ : $y - 6 = - 2 (x + 2) \Rightarrow y - 6 = - 2 x - 4 \Rightarrow y = - 2 x + 2$ . Verificare pe $B$ : $- 2 \cdot 2 + 2 = - 2$ ✓.

Varianta a este corectă.

Varianta b ( $y = 2 x + 10$ ) apare dintr-o eroare de ordine la calculul pantei — scăderile sunt făcute în ordini diferite sus și jos, $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{1} - x _{2}} = \frac{- 8}{- 4} = 2$ în loc de $- 2$ .

Varianta c ( $y = - 2 x + 10$ ) apare dacă se pierde semnul lui $x_{0} = - 2$ : se scrie $(x - 2)$ în loc de $(x + 2)$ , deci $y - 6 = - 2 (x - 2) = - 2 x + 4 \Rightarrow y = - 2 x + 10$ .

Varianta d ( $y = - 2 x - 4$ ) apare dacă, după ce se desface corect paranteza ( $y - 6 = - 2 x - 4$ ), se uită să se adune $y_{0} = 6$ în membrul drept.
Ce fel de dreaptă determină punctele $M (- 3, 8)$ și $N (5, 8)$ ?
- a) Dreaptă orizontală, $y = 8$
- b) Dreaptă verticală, $x = 8$
- c) Dreaptă verticală, $x = - 3$
- d) Nu se poate determina, pentru că panta nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Dreaptă orizontală, $y = 8$

$M$ și $N$ au aceeași ordonată ( $8$ ), deci $m = \frac{8 - 8}{5 - ( - 3 )} = 0$ și ecuația este $y - 8 = 0$ , adică $y = 8$ : dreaptă orizontală.

Varianta a este corectă.

Variantele b și c confundă acest caz cu cel al punctelor cu aceeași abscisă (care ar da o dreaptă verticală); aici coordonata care se repetă este ordonata, nu abscisa, deci dreapta este orizontală, nu verticală.

Varianta d este greșită: panta există aici și este $0$ (numitorul $x_{2} - x_{1} = 8 \neq = 0$ ); doar în cazul absciselor egale panta n-ar exista.
Un elev vrea să scrie ecuația dreptei prin $A (1, 3)$ și $B (4, 9)$ , dar calculează greșit panta $m = 1$ (corect ar fi $m = 2$ ) și scrie $y - 3 = 1 \cdot (x - 1)$ , adică $y = x + 2$ . Verifică apoi doar punctul $A$ : pentru $x = 1$ , $y = 3$ ✓, și conchide că ecuația e corectă. De ce este greșită concluzia lui?
- a) Pentru că punctul $A$ verifică orice ecuație scrisă pornind chiar de la $A$ , indiferent de pantă; trebuie verificat și $B$ — pentru $x = 4$ obține $y = 6 \neq = 9$ , deci ecuația e greșită
- b) Pentru că trebuie verificat un al treilea punct, diferit de $A$ și $B$ , nu punctul $B$
- c) Pentru că panta trebuie verificată separat printr-un desen, nu prin calcul algebric
- d) Pentru că formula punct-pantă nu se poate aplica atunci când ambele puncte au abscisă pozitivă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Pentru că punctul $A$ verifică orice ecuație scrisă pornind chiar de la $A$ , indiferent de pantă; trebuie verificat și $B$ — pentru $x = 4$ obține $y = 6 \neq = 9$ , deci ecuația e greșită

Ecuația scrisă pornind de la $A$ (adică $y - 3 = m (x - 1)$ ) verifică automat punctul $A$ pentru orice valoare a lui $m$ , pentru că la $x = 1$ paranteza se anulează. Singurul test care prinde o pantă greșită este verificarea celuilalt punct, $B$ : cu ecuația greșită $y = x + 2$ , pentru $x = 4$ obținem $y = 6$ , dar ordonata reală a lui $B$ este $9$ — discrepanța arată eroarea la calculul pantei (corect: $m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = 2$ ).

Varianta a este corectă.

Varianta b este greșită: nu are rost să inventezi un al treilea punct — $B$ este chiar punctul cunoscut, dat în enunț, și trebuie verificat el.

Varianta c este greșită: verificarea corectă este tot algebrică (înlocuirea coordonatelor în ecuație), nu grafică.

Varianta d este un nonsens legat greșit de lecție: formula punct-pantă se aplică indiferent de semnul absciselor punctelor; problema aici e alta — verificarea incompletă.

Întrebări conexe

Ce ecuație are dreapta prin punctele de coordonate 0, 4 și 2, 0?

Panta este $\frac{0 - 4}{2 - 0} = - 2$ , iar punctul de pe axa verticală dă direct termenul liber $4$ , deci ecuația este $y = - 2 x + 4$ . Verificarea cu al doilea punct confirmă: $- 2 \cdot 2 + 4 = 0$ .

De ce se preferă punctul cu un zero printre coordonate?

Fiindcă scurtează calculul: paranteza devine mai simplă, iar termenul liber se citește uneori direct. Alegerea nu schimbă rezultatul, doar numărul de operații. Când amândouă punctele au numere incomode, se alege oricare.

Câte drepte trec prin două puncte distincte?

Una singură, ceea ce face ca ecuația găsită să fie și ea unic determinată. Prin trei puncte trece o dreaptă numai dacă ele sunt coliniare. Un punct singur, în schimb, lasă o infinitate de drepte posibile.

Ce se întâmplă dacă cele două puncte coincid?

Nu se mai poate calcula panta, fiindcă amândouă diferențele devin zero, iar problema nu are un răspuns anume: prin acel punct trec nenumărate drepte. Enunțurile cer de aceea, explicit, ca punctele să fie distincte.

Cum simplific panta înainte de a scrie ecuația?

Împarți numărătorul și numitorul la cel mai mare divizor comun. Din $\frac{9}{6}$ obții $\frac{3}{2}$ , iar calculele următoare devin mult mai ușoare. Nesimplificarea nu dă rezultat greșit, dar duce la fracții inutil de mari.

Ce formă are ecuația dacă dreapta trece prin origine?

Termenul liber este zero, deci ecuația se reduce la $y = m x$ . Situația apare ori de câte ori unul dintre cele două puncte date este chiar originea. Modelul descrie mărimi direct proporționale, unde la argument zero valoarea este tot zero.

Oamenii mai întreabă și: ecuația dreptei prin două puncte · cum aflu dreapta care trece prin două puncte · formula sub formă de proporție · dreapta determinată de două puncte · din două măsurători la o formulă