Sunt echivalente ecuațiile $$x - 3 = 2$$ și $$4x = 20$$?

Da, ambele au soluția $$x = 5$$

Nu, prima are altă soluție decât a doua

Nu, a doua ecuație nu are soluție

Nu se poate stabili fără desen

De ce se schimbă semnul când mut un termen?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Ecuații echivalente: reguli de aur

Fiindcă mutarea nu este o mutare adevărată, ci o scădere făcută în amândouă părțile. Din $x + 4 = 10$ scazi 4 peste tot: în stânga rămâne litera singură, iar în dreapta apare $10 - 4$ . Pe scurt, termenul pare că sare peste semnul egal și își schimbă semnul. Pasul acesta duce la o ecuație cu exact aceleași soluții, deci nimic nu se pierde și nimic nu se adaugă.

Două ecuații sunt echivalente dacă au exact aceeași mulțime de soluții, indiferent cât de diferit arată. Ca să treci de la o ecuație complicată la una simplă fără să „pierzi” sau să „inventezi” soluții, ai voie doar cu transformări echivalente: (1) aduni sau scazi același număr în ambii membri — de aici vine trecerea unui termen în celălalt membru cu semnul schimbat; (2) înmulțești sau împarți ambii membri cu același număr nenul. Niciodată nu înmulțești sau împarți cu $0$ , altfel „inventezi” soluții false ( $0 = 0$ e mereu adevărat).

Exemplu minimal: $x - 4 = 6 ⟺ x = 6 + 4 ⟺ x = 10$ . Termenul $- 4$ a trecut în dreapta ca $+ 4$ , iar $S = {10}$ este mulțimea soluțiilor pentru ambele ecuații, deci sunt echivalente.

De reținut

ecuații echivalente = aceeași mulțime de soluții
un termen trece în cealaltă parte cu semnul schimbat
înmulțirea și împărțirea cer un număr nenul
ridicarea la pătrat nu păstrează mulțimea soluțiilor

Greșeala tipică

Termenul se mută păstrându-și semnul, așa că din $x + 4 = 10$ iese $x = 14$ . Semnul se schimbă la mutare, deci rezultatul corect este $x = 6$ .

Exerciții din această mini-lecție

Trecând termenul $- 9$ din ecuația $x - 9 = 3$ în membrul drept, ce obții?
- a) $x = 3 - 9$
- b) $x = 3 + 9$
- c) $x = 9 - 3$
- d) $x = - 3 - 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 3 + 9$

Un termen trece în celălalt membru cu semnul schimbat. Cum $- 9$ era scăzut în stânga, în dreapta apare $+ 9$ : $x = 3 + 9 = 12$ .
Sunt echivalente ecuațiile $x - 3 = 2$ și $4 x = 20$ ?
- a) Da, ambele au soluția $x = 5$
- b) Nu, prima are altă soluție decât a doua
- c) Nu, a doua ecuație nu are soluție
- d) Nu se poate stabili fără desen
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, ambele au soluția $x = 5$

$x - 3 = 2 ⟺ x = 5$ , iar $4 x = 20 ⟺ x = 5$ . Cum au aceeași mulțime de soluții $S = {5}$ , ecuațiile sunt echivalente.
Trecând termenul $+ 7$ din ecuația $x + 7 = 15$ în membrul drept, ce obții?
- a) $x = 15 + 7$
- b) $x = 15 - 7$
- c) $x = 7 - 15$
- d) $x = - 15 - 7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 15 - 7$

Un termen trece în celălalt membru cu semnul schimbat. Cum $+ 7$ era adunat în stânga, în dreapta apare $- 7$ : $x = 15 - 7 = 8$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă simbolul cu două săgeți dintre ecuații?

Arată că cele două scrieri au aceleași soluții, deci sunt echivalente. Se citește dacă și numai dacă și se folosește ca să legi pașii unei rezolvări, în locul unei simple săgeți, care ar spune doar că a doua urmează din prima.

Cum trec un termen cu x din dreapta în stânga?

La fel ca pe orice alt termen, schimbându-i semnul. Din $2 x = 8 - 3 x$ obții $2 x + 3 x = 8$ , adică $5 x = 8$ . Se obișnuiește să aduni necunoscutele într-o parte și numerele în cealaltă, ca să iasă forma simplă.

Ce se întâmplă cu ecuația dacă înmulțesc cu minus 1?

Toate semnele se schimbă, în amândouă părțile, iar soluțiile rămân aceleași, fiindcă $- 1$ nu este zero. Pasul este folositor când necunoscuta rămâne cu semn negativ: din $- x = 7$ iese $x = - 7$ .

Am voie să împart o ecuație la necunoscuta x?

Nu, decât dacă știi sigur că $x$ nu este zero, altfel pierzi soluții. Din $x^{2} = 3 x$ , împărțind la $x$ , rămâne doar $x = 3$ și dispare rădăcina $x = 0$ . Drumul sigur este să treci totul într-o parte și să descompui în factori: $x (x - 3) = 0$ .

Pot schimba între ele membrul stâng cu cel drept?

Da, fiindcă semnul egal nu are o direcție. Din $12 = 3 x$ scrii liniștit $3 x = 12$ . Schimbarea aceasta ajută când necunoscuta a rămas în dreapta și vrei să lucrezi în felul obișnuit.

De ce nu se poate înmulți o ecuație cu zero?

Pentru că amândouă părțile ar deveni zero și ai rămâne cu o egalitate adevărată pentru orice valoare. Toată informația s-ar șterge, iar ecuația obținută nu ar mai avea nimic în comun cu cea dinainte.

Oamenii mai întreabă și: de ce se schimbă semnul · trecerea unui termen în celălalt membru · ecuații echivalente · transformări echivalente · mutarea termenilor la ecuații