Ecuația $$\sin 3x=\sin x$$ este echivalentă cu:

$$3x=x+2k\pi$$ sau $$3x=\pi-x+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$$

$$3x=x$$ (simplificare prin sinus)

Ecuația $$\operatorname{tg}2x=\operatorname{tg}x$$ trebuie rezolvată cu condiția suplimentară:

$$\cos x\ne0$$ și $$\cos 2x\ne0$$

Nicio condiție, tangenta e definită peste tot

Cum rezolv ecuația a sinus x plus b cosinus x?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Ecuații trigonometrice reductibile și unghiul auxiliar

Folosești unghiul auxiliar: scoți factor comun radicalul din suma pătratelor coeficienților și expresia devine acel număr înmulțit cu sinusul unei sume. Ecuația se reduce astfel la una elementară. Ea are soluții doar dacă suma pătratelor coeficienților ajunge cel puțin la pătratul membrului drept. Pentru $2 sin x + cos x = 3$ condiția cade, deci nu există soluții.

Orice ecuație trigonometrică se aduce la cele patru forme elementare. Ecuațiile $sin f (x) = sin g (x)$ și $cos f (x) = cos g (x)$ nu se simplifică prin funcția trigonometrică (aceasta nu e injectivă), ci se rezolvă cu $f (x) = g (x) + 2 k π$ sau $f (x) = π - g (x) + 2 k π$ , respectiv $f (x) = \pm g (x) + 2 k π$ . Pentru $tg f (x) = tg g (x)$ și $ctg f (x) = ctg g (x)$ , formula e $f (x) = g (x) + k π$ , dar condițiile de existență sunt esențiale și pot elimina jumătate din „soluțiile" formale. Când apare o singură funcție la puteri diferite, se face substituția $t = sin x$ (sau $cos x$ ), cu condiția obligatorie $t \in [- 1, 1]$ — rădăcinile din afara intervalului se elimină; la $t = tg x$ nu există restricție. Ecuația liniară $a sin x + b cos x = c$ (cu $a, b$ nenuli) se transformă prin metoda unghiului auxiliar în $R sin (x + φ) = c$ , unde $R = a^{2} + b^{2}$ este amplitudinea (valoarea maximă a expresiei), iar $cos φ = \frac{a}{R}$ , $sin φ = \frac{b}{R}$ . Ecuația are soluții dacă și numai dacă are loc condiția de compatibilitate $a^{2} + b^{2} \geq c^{2}$ ; la egalitate rămâne o singură familie de soluții. Greșeala cea mai des întâlnită: pierderea rădăcinii $t = \pm 1$ la ecuațiile de gradul al doilea.

De reținut

$a sin x + b cos x = R sin (x + φ)$ , cu $R = a^{2} + b^{2}$
soluții doar dacă $a^{2} + b^{2} \geq c^{2}$
la substituția $t = sin x$ se cere $t \in [- 1, 1]$

Greșeala tipică

Se taie funcția din ambele părți la o ecuație de forma sinus de o expresie egal sinus de alta, ca și cum ar fi un factor comun; sinusul nu este injectiv, deci se scriu ambele familii de soluții.

Exerciții din această mini-lecție

Ecuația $sin 3 x = sin x$ este echivalentă cu:
- a) $3 x = x + 2 k π$ sau $3 x = π - x + 2 k π, k \in Z$
- b) $3 x = x + 2 k π$
- c) $x = \frac{k π}{3}$
- d) $3 x = x$ (simplificare prin sinus)
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3 x = x + 2 k π$ sau $3 x = π - x + 2 k π, k \in Z$

Pentru $sin f (x) = sin g (x)$ trebuie scrise ambele familii: $f (x) = g (x) + 2 k π$ sau $f (x) = π - g (x) + 2 k π$ . Aici $f = 3 x$ , $g = x$ , deci $3 x = x + 2 k π$ (dă $x = k π$ ) sau $3 x = π - x + 2 k π$ (dă $x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ ) — varianta a, cu ambele familii. Varianta b păstrează doar prima familie, pierzând jumătate din soluții. Varianta c nu corespunde niciunui calcul corect din ecuație. Varianta d este eroarea clasică: sinusul nu e un factor care se poate „simplifica”, fiindcă nu e injectiv.
Ecuația $tg 2 x = tg x$ trebuie rezolvată cu condiția suplimentară:
- a) $x \in [- 1, 1]$
- b) $sin x \neq = 0$
- c) $cos x \neq = 0$ și $cos 2 x \neq = 0$
- d) Nicio condiție, tangenta e definită peste tot
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $cos x \neq = 0$ și $cos 2 x \neq = 0$

Pentru ca $tg f (x)$ și $tg g (x)$ să aibă sens trebuie $cos f (x) \neq = 0$ și $cos g (x) \neq = 0$ ; aici $f (x) = 2 x$ și $g (x) = x$ , deci condițiile sunt $cos 2 x \neq = 0$ și $cos x \neq = 0$ — varianta c. Formula $2 x = x + k π$ dă $x = k π$ , valori care respectă ambele condiții. Varianta a confundă cu restricția specifică substituției $t = cos x$ sau $t = sin x$ într-o ecuație algebrică, nu cu condiția de existență a tangentei. Varianta b e incompletă și greșit țintită: existența tangentei cere $cos \neq = 0$ , nu $sin \neq = 0$ . Varianta d ignoră exact punctul esențial al lecției: condițiile de existență nu sunt opționale, ele pot elimina jumătate din soluțiile formale.
Pentru ecuația $a sin x + b cos x = c$ (cu $a, b$ nenuli), condiția de existență a soluțiilor este:
- a) $a + b \geq c$
- b) $a^{2} + b^{2} = c^{2}$
- c) $∣ a ∣, ∣ b ∣ \leq 1$
- d) $a^{2} + b^{2} \geq c^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $a^{2} + b^{2} \geq c^{2}$

Ecuația devine $R sin (x + φ) = c$ , cu $R = a^{2} + b^{2}$ , adică $sin (x + φ) = \frac{c}{R}$ . Aceasta are soluții exact când $\frac{c}{R} \leq 1$ , adică $c^{2} \leq a^{2} + b^{2}$ , adică $a^{2} + b^{2} \geq c^{2}$ — varianta d. Varianta b descrie doar cazul-limită (o singură familie de soluții, la maximul sau minimul expresiei), nu condiția generală de existență. Varianta a amestecă greșit $a + b$ cu $a^{2} + b^{2}$ — exact greșeala frecventă a „amplitudinii” semnalată în lecție ( $R = a^{2} + b^{2}$ , nu $a + b$ ). Varianta c nu are nicio justificare în demonstrație.

Întrebări conexe

Ce este unghiul auxiliar și cum îl folosesc?

Este unghiul ale cărui cosinus și sinus sunt coeficienții împărțiți la radicalul din suma pătratelor lor. Cu el, expresia cu sinus și cosinus se strânge într-un singur sinus de sumă. Așa dispare amestecul dintre cele două funcții.

Cum rezolv o ecuație de gradul doi în sinus?

Notezi sinusul cu o literă nouă și rezolvi ecuația algebrică obținută. Păstrezi doar rezultatele aflate între minus unu și unu, apoi revii la ecuații elementare pentru fiecare. Rădăcinile din afara acestui interval se elimină fără altă discuție.

Cum rezolv ecuația sinus de x egal cosinus de x?

Împarți la cosinus, cu grija ca acesta să nu fie zero, și obții o ecuație elementară cu tangenta egală cu unu. Soluțiile sunt $\frac{π}{4}$ plus multipli întregi ai lui $π$ . Verifici că valorile eliminate prin împărțire chiar nu erau soluții.

Cum folosesc formula fundamentală ca să rămân cu o singură funcție?

Înlocuiești pătratul uneia dintre funcții cu unu minus pătratul celeilalte, astfel încât în ecuație să apară un singur nume de funcție. Rezultă de obicei o ecuație de gradul al doilea, pe care o rezolvi prin substituție. Metoda cere ca puterile să fie pare.

Cum verific soluțiile unei ecuații trigonometrice cu numitor?

Scrii de la început condițiile ca numitorul să nu se anuleze, apoi tai din mulțimea găsită valorile care le încalcă. La ecuațiile cu tangentă sau cotangentă acest pas poate elimina o parte însemnată din soluțiile formale. Fără el, răspunsul rămâne greșit.

Oamenii mai întreabă și: ecuația a sin x + b cos x = c · metoda unghiului auxiliar · ecuații trigonometrice reductibile · cum rezolv o ecuație cu sinus și cosinus