Ce reprezintă, prin definiție, notația $$f^{-1}$$ (pentru $$f$$ bijectivă)?

funcția $$g:B\to A$$ unică, astfel încât $$g\circ f=1_A$$ și $$f\circ g=1_B$$

Cum se calculează inversa unei funcții?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția inversă și inversabilitatea

Arăți întâi că funcția este bijectivă, apoi scrii $y = f (x)$ , scoți pe $x$ din egalitatea obținută și schimbi între ele numele literelor. Pentru $f (x) = 5 x - 2$ rezultă $x = \frac{y + 2}{5}$ , deci $f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{5}$ . Controlul se face prin compunere: dacă înlocuiești una în cealaltă și rămâne $x$ , calculul este bun. Domeniul inversei este codomeniul funcției de la care ai pornit.

O funcție $f : A \to B$ este inversabilă dacă există $g : B \to A$ cu $g \circ f = 1_{A}$ și $f \circ g = 1_{B}$ ( $1_{A}$ fiind funcția identică). Teorema fundamentală: $f$ este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă, iar $g$ este unică — este chiar funcția inversă $f^{- 1}$ , definită prin $f^{- 1} (y) = x ⟺ f (x) = y$ . Existența antecedentului vine din surjectivitate, unicitatea lui din injectivitate. Atenție: $f^{- 1}$ nu înseamnă $\frac{1}{f}$ .

Relațiile fundamentale $(f^{- 1} \circ f) (x) = x$ pentru orice $x \in A$ și $(f \circ f^{- 1}) (y) = y$ pentru orice $y \in B$ sunt și metoda de verificare a oricărui calcul de inversă.

Algoritmul de calcul: (1) demonstrezi bijectivitatea, (2) scrii $y = f (x)$ , (3) rezolvi în raport cu $x$ , (4) redenumești variabila. Pentru $f (x) = a x + b$ cu $a \neq = 0$ : $f^{- 1} (x) = \frac{x - b}{a}$ .

Graficele lui $f$ și $f^{- 1}$ sunt simetrice față de prima bisectoare $y = x$ ; punctele fixe ale lui $f$ (soluțiile $f (x) = x$ ) sunt puncte comune ambelor grafice. În plus, $(f^{- 1})^{- 1} = f$ , monotonia crescătoare se păstrează prin inversare, iar $(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ — cu ordinea inversată, ca la descălțat: întâi pantoful, apoi șoseta.

De reținut

inversabilă $⟺$ bijectivă
$f^{- 1} (y) = x ⟺ f (x) = y$
$f^{- 1}$ nu înseamnă $\frac{1}{f}$
graficele lui $f$ și $f^{- 1}$ sunt simetrice față de $y = x$

Greșeala tipică

Se citește $f^{- 1}$ ca invers aritmetic și se scrie $\frac{1}{f ( x )}$ ; notația arată funcția care desface efectul lui $f$ , obținută rezolvând ecuația în raport cu variabila.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x - 2$ . Care este inversa $f^{- 1}$ ?
- a) $f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{5}$
- b) $f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{5}$
- c) $f^{- 1} (x) = 5 x + 2$
- d) $f^{- 1} (x) = \frac{x + 5}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{5}$

Din $y = 5 x - 2$ rezultă $5 x = y + 2$ , deci $x = \frac{y + 2}{5}$ , adică $f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{5}$ . Verificare: $(f^{- 1} \circ f) (x) = \frac{( 5 x - 2 ) + 2}{5} = \frac{5 x}{5} = x$ ✓.
Ce reprezintă, prin definiție, notația $f^{- 1}$ (pentru $f$ bijectivă)?
- a) $\frac{1}{f ( x )}$
- b) funcția $g : B \to A$ unică, astfel încât $g \circ f = 1_{A}$ și $f \circ g = 1_{B}$
- c) derivata funcției $f$
- d) $f (x) - 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) funcția $g : B \to A$ unică, astfel încât $g \circ f = 1_{A}$ și $f \circ g = 1_{B}$

Prin teorema fundamentală de inversabilitate, $f^{- 1}$ este exact funcția $g$ (unică) care verifică ambele relații $g \circ f = 1_{A}$ și $f \circ g = 1_{B}$ ; existența ei este echivalentă cu bijectivitatea lui $f$ . Nu este inversul aritmetic $\frac{1}{f ( x )}$ : pentru $f (x) = 3 x - 5$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x + 5}{3}$ , complet diferit de $\frac{1}{3 x - 5}$ .
Dacă $f : A \to B$ și $g : B \to C$ sunt bijective, atunci $(g \circ f)^{- 1}$ este egal cu:
- a) $f^{- 1} \circ g^{- 1}$
- b) $g^{- 1} \circ f^{- 1}$
- c) $g \circ f$
- d) $f \circ g$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f^{- 1} \circ g^{- 1}$

Folosind asociativitatea compunerii: $(f^{- 1} \circ g^{- 1}) \circ (g \circ f) = f^{- 1} \circ (g^{- 1} \circ g) \circ f = f^{- 1} \circ 1_{B} \circ f = f^{- 1} \circ f = 1_{A}$ , și analog $(g \circ f) \circ (f^{- 1} \circ g^{- 1}) = 1_{C}$ . Prin unicitatea inversei, $(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ — ordinea se inversează, exact ca la descălțat: întâi pantoful, apoi șoseta.

Întrebări conexe

Este inversa inversei tot funcția de la care am pornit?

Da. Dacă inversezi de două ori, ajungi înapoi la funcția inițială, fiindcă a doua inversare schimbă la loc rolurile dintre variabilă și valoare. Practic, graficele se oglindesc de două ori față de aceeași dreaptă și revin în poziția de start.

Ce domeniu și ce codomeniu are funcția inversă?

Ele se schimbă între ele: domeniul inversei este codomeniul funcției inițiale, iar codomeniul inversei este domeniul ei. De aceea, dacă o funcție duce intervalul $[0, \infty)$ în $[3, \infty)$ , inversa pornește din $[3, \infty)$ și ajunge în $[0, \infty)$ .

Ce inversă are funcția de gradul al doilea pe o singură ramură?

Pe tot domeniul funcția pătratică nu este injectivă, deci nu se poate inversa. Restrânsă la $[0, \infty)$ , funcția $f (x) = x^{2}$ devine bijectivă spre $[0, \infty)$ , iar inversa ei este radicalul. Pe ramura negativă inversa ar fi radicalul cu semn schimbat.

Cum aflu inversa funcției exponențiale?

Din $y = a^{x}$ trebuie scos exponentul, iar operația care face asta este logaritmul: $x = lo g_{a} y$ . Deci inversa funcției exponențiale de bază $a$ este funcția logaritmică de aceeași bază. Graficele lor se oglindesc față de dreapta $y = x$ .

Ce înseamnă că o funcție strict monotonă este inversabilă?

Strict monotonă înseamnă că valorile cresc mereu sau scad mereu, deci două numere diferite nu pot da același rezultat: funcția este injectivă. Luând drept codomeniu chiar mulțimea valorilor, ea devine bijectivă, deci se poate inversa, iar inversa păstrează sensul de variație.

Care este inversa funcției radical de ordinul 2?

Radicalul duce $[0, \infty)$ tot în $[0, \infty)$ , iar operația care îl desface este ridicarea la pătrat, tot pe numere nenegative. Așadar inversa lui este funcția $g (x) = x^{2}$ definită pe $[0, \infty)$ . Fără restrângerea la numere nenegative, egalitatea nu ar mai fi adevărată.

Oamenii mai întreabă și: cum aflu inversa unei funcții · formula funcției inverse · ce înseamnă f la minus unu · inversa unei funcții de gradul întâi