Funcția $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^2$$, NU este surjectivă pentru că:

există valori negative (de exemplu $$y=-1$$) care nu sunt atinse de niciun $$x$$ real

$$f$$ este o funcție continuă

Dacă $$|A|=5$$ și $$|B|=3$$, o funcție $$f:A\to B$$:

nu poate fi injectivă, conform principiului cutiei

Ce înseamnă funcție injectivă și surjectivă?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcții injective, surjective, bijective

O funcție este injectivă când elemente diferite din domeniu ajung la valori diferite; în demonstrații se folosește forma echivalentă: din $f (x_{1}) = f (x_{2})$ rezultă $x_{1} = x_{2}$ . Este surjectivă când fiecare element al codomeniului este atins de măcar un argument, deci imaginea acoperă tot codomeniul. Când are amândouă proprietățile se numește bijectivă și abia atunci admite inversă. Pe grafic, o orizontală taie curba cel mult o dată la prima proprietate și cel puțin o dată la a doua.

O funcție $f : A \to B$ este injectivă dacă elemente diferite din domeniu au mereu imagini diferite; echivalent (formularea utilă în demonstrații): din $f (x_{1}) = f (x_{2})$ rezultă $x_{1} = x_{2}$ . Este surjectivă dacă orice $y \in B$ este atins de cel puțin un $x \in A$ , adică $Im f = B$ — se demonstrează rezolvând ecuația $f (x) = y$ și verificând că soluția aparține domeniului. Este bijectivă dacă este și injectivă, și surjectivă — o corespondență perfectă, unu-la-unu, singura situație în care funcția admite inversă.

Testul dreptei orizontale citește ambele proprietăți pe grafic: injectivă dacă orice orizontală $y = m$ taie graficul în cel mult un punct; surjectivă dacă îl taie în cel puțin un punct, pentru orice $m$ din codomeniu. Orice funcție strict monotonă este injectivă (reciproca e falsă). Surjectivitatea depinde de codomeniu: $f (x) = x^{2}$ nu e surjectivă spre $R$ , dar este spre $[0, \infty)$ .

Pe mulțimi finite decide principiul cutiei: dacă $∣ A ∣ > ∣ B ∣$ , nicio funcție nu poate fi injectivă; dacă $∣ A ∣ < ∣ B ∣$ , nicio funcție nu poate fi surjectivă; o bijecție forțează $∣ A ∣ = ∣ B ∣$ .

De reținut

injectivă: din $f (x_{1}) = f (x_{2})$ rezultă $x_{1} = x_{2}$
surjectivă: imaginea coincide cu codomeniul
bijectivă înseamnă și injectivă, și surjectivă, deci inversabilă

Greșeala tipică

Se încearcă trei sau patru valori, nu se repetă nimic și funcția este declarată injectivă. Proprietatea cere un raționament valabil pentru orice pereche; doar respingerea ei se poate face cu un singur exemplu.

Exerciții din această mini-lecție

O funcție $f : A \to B$ este injectivă dacă:
- a) orice element din $B$ are cel puțin o preimagine
- b) din $f (x_{1}) = f (x_{2})$ rezultă $x_{1} = x_{2}$
- c) $f$ este strict descrescătoare
- d) $A$ și $B$ au același număr de elemente
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) din $f (x_{1}) = f (x_{2})$ rezultă $x_{1} = x_{2}$

Definiția (în forma utilă la demonstrații) este: dacă două valori coincid, $f (x_{1}) = f (x_{2})$ , atunci ele provin obligatoriu din același element, $x_{1} = x_{2}$ . Varianta a) descrie surjectivitatea, iar c) și d) nu sunt condiții echivalente cu injectivitatea.
Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2}$ , NU este surjectivă pentru că:
- a) există valori negative (de exemplu $y = - 1$ ) care nu sunt atinse de niciun $x$ real
- b) $f$ nu este injectivă
- c) $f (0) = 0$
- d) $f$ este o funcție continuă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) există valori negative (de exemplu $y = - 1$ ) care nu sunt atinse de niciun $x$ real

Surjectivitatea spre $R$ ar cere ca orice $y$ real să fie atins. Dar ecuația $x^{2} = - 1$ nu are soluții reale, deci $y = - 1$ (ca orice valoare negativă) rămâne neatins — surjectivitatea pică. (Faptul că $f$ nu e nici injectivă, la b), este adevărat, dar este un motiv diferit, pentru o altă proprietate.)
Dacă $∣ A ∣ = 5$ și $∣ B ∣ = 3$ , o funcție $f : A \to B$ :
- a) poate fi injectivă
- b) nu poate fi injectivă, conform principiului cutiei
- c) este automat surjectivă
- d) este automat bijectivă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) nu poate fi injectivă, conform principiului cutiei

Cum $∣ A ∣ = 5 > 3 = ∣ B ∣$ , cele cinci săgeți nu pot ajunge toate în puncte diferite din $B$ (care are doar trei) — după principiul cutiei, cel puțin două elemente din $A$ ajung în aceeași imagine, deci injectivitatea este imposibilă.

Întrebări conexe

Este funcția x la pătrat injectivă pe toate numerele reale?

Nu, fiindcă $f (- 2) = f (2) = 4$ , deci două argumente diferite dau aceeași valoare. Un singur astfel de exemplu este de ajuns pentru a respinge proprietatea. Pe grafic se vede imediat: orizontala $y = 4$ taie parabola în două puncte.

Ce se schimbă dacă restrâng domeniul la numerele pozitive?

Funcția devine injectivă, fiindcă pe această porțiune ea urcă mereu, iar valorile nu se mai repetă. Restrângerea domeniului este metoda obișnuită prin care o funcție capătă inversă, cum se întâmplă la trecerea de la pătrat la radical.

Cum arăt că o funcție de gradul întâi este bijectivă?

Pornești de la $a x_{1} + b = a x_{2} + b$ ; scăzând termenul liber și împărțind la coeficientul nenul obții egalitatea argumentelor, deci este injectivă. Apoi rezolvi $a x + b = y$ și găsești $x = \frac{y - b}{a}$ , care există pentru orice $y$ , deci este și surjectivă.

Ce spune principiul cutiei despre funcțiile între mulțimi finite?

Dacă domeniul are mai multe elemente decât codomeniul, injectivitatea devine imposibilă, fiindcă două argumente ajung obligatoriu în același loc. Dacă are mai puține, nu se poate acoperi tot codomeniul. O corespondență unu la unu cere ca cele două mulțimi să aibă exact același număr de elemente.

De ce doar funcțiile bijective au inversă?

Pentru că inversa trebuie să întoarcă fiecare valoare la un singur argument. Fără injectivitate ar exista valori cu două origini, deci întoarcerea ar fi ambiguă; fără surjectivitate ar exista valori fără nicio origine, deci întoarcerea nu ar fi definită peste tot.

Cum infirm surjectivitatea unei funcții?

Arăți un element al codomeniului care nu este atins de niciun argument. Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2}$ , valoarea $- 1$ nu apare niciodată, fiindcă un pătrat nu poate fi negativ. Un singur astfel de martor încheie discuția.

Oamenii mai întreabă și: funcție injectivă · funcție surjectivă · ce este o funcție bijectivă · testul dreptei orizontale · injectivitate și surjectivitate