La o demonstrație prin inducție a unei formule de sumă, tehnica standard folosită în pasul inductiv este:

ruperea ultimului termen: $$S_{k+1}=S_k+t_{k+1}$$, cu $$S_k$$ înlocuit din ipoteză

înmulțirea întregii sume cu $$2$$

schimbarea ordinii termenilor din sumă

presupunerea că suma e adevărată pentru toate valorile lui $$n$$

Inegalitatea lui Bernoulli, $$(1+a)^n \ge 1+na$$, este valabilă pentru:

orice număr real $$a$$ și orice $$n\ge1$$

Cum demonstrez o inegalitate prin inducție?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Inducția: sume, inegalități, divizibilitate

Pornești de la ipoteza scrisă pentru rangul $k$ și o transformi până ajungi la forma cerută pentru rangul următor, mărind sau micșorând cu grijă. Un exemplu clasic este inegalitatea lui Bernoulli, $(1 + a)^{n} \geq 1 + na$ pentru $a > - 1$ : înmulțind ipoteza cu $1 + a$ , care este pozitiv, obții pasul următor. Atenție la rangul de pornire: $2^{n} > n^{2}$ este falsă pentru $n$ între $2$ și $4$ și devine adevărată abia de la $5$ .

Această lecție aplică schema inducției la trei familii de probleme, fiecare cu propria mișcare tehnică în pasul inductiv. La sume, rupi ultimul termen: $S_{k + 1} = S_{k} + t_{k + 1}$ , folosind ipoteza pentru $S_{k}$ . La inegalități, pleci de la ipoteză și majorezi sau minorezi până ajungi la forma cerută — ca la inegalitatea lui Bernoulli, $(1 + a)^{n} \geq 1 + na$ pentru $a > - 1$ și $n \geq 1$ , unde condiția $a > - 1$ garantează $1 + a > 0$ la înmulțirea inegalității. La divizibilitate, scrii $a_{k + 1} = m \cdot a_{k} + (multiplu evident al divizorului)$ , forțând adesea același coeficient la două puteri diferite (trucul „ $2 = 9 - 7$ ”).

O noutate importantă: la inegalități, rangul de pornire trebuie căutat, nu presupus egal cu $1$ . De exemplu $2^{n} > n^{2}$ este adevărată la $n = 1$ , falsă la $n = 2, 3, 4$ și adevărată pentru orice $n \geq 5$ ; iar $n! > 2^{n}$ pornește de la $n \geq 4$ .

Redactarea completă cere: enunțarea lui $P (n)$ , verificarea la rangul corect, ipoteza „pentru un $k$ fixat”, calculul cu ipoteza folosită explicit și concluzia standard. Forma enunțului decide metoda: „pentru orice $n$ ” → inducție; „nu există” → reducere la absurd.

De reținut

la sume se rupe ultimul termen: $S_{k + 1} = S_{k} + t_{k + 1}$
la inegalități se pleacă de la ipoteză și se mărește sau se micșorează
primul rang valabil trebuie găsit prin încercări, nu ghicit

Greșeala tipică

Termenul de rang $k + 1$ este scris din ochi, fără înlocuire peste tot: din $\frac{1}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )}$ iese $\frac{1}{( 2 k + 1 ) ( 2 k + 1 )}$ în loc de $\frac{1}{( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 )}$ . Scrie-l separat, cu rangul înlocuit în fiecare paranteză.

Exerciții din această mini-lecție

La o demonstrație prin inducție a unei formule de sumă, tehnica standard folosită în pasul inductiv este:
- a) ruperea ultimului termen: $S_{k + 1} = S_{k} + t_{k + 1}$ , cu $S_{k}$ înlocuit din ipoteză
- b) înmulțirea întregii sume cu $2$
- c) schimbarea ordinii termenilor din sumă
- d) presupunerea că suma e adevărată pentru toate valorile lui $n$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ruperea ultimului termen: $S_{k + 1} = S_{k} + t_{k + 1}$ , cu $S_{k}$ înlocuit din ipoteză

La sume, mișcarea tehnică standard este să scrii suma până la $k + 1$ ca „suma până la $k$ ” (înlocuită din ipoteza de inducție) plus termenul de rang $k + 1$ , calculat separat prin înlocuirea lui $n$ cu $k + 1$ în termenul general.
Inegalitatea lui Bernoulli, $(1 + a)^{n} \geq 1 + na$ , este valabilă pentru:
- a) orice număr real $a$ și orice $n \geq 1$
- b) $a > - 1$ și orice $n \geq 1$
- c) doar $a > 0$
- d) doar pentru $n$ par
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a > - 1$ și orice $n \geq 1$

Condiția $a > - 1$ este esențială: ea garantează $1 + a > 0$ , ceea ce permite înmulțirea inegalității din ipoteza de inducție cu $1 + a$ fără a schimba sensul ei. Fără această condiție, pasul inductiv s-ar strica.
Care este cel mai mic rang $n_{0}$ de la care inegalitatea $2^{n} > n^{2}$ rămâne adevărată pentru toate valorile $n \geq n_{0}$ ?
- a) $1$
- b) $2$
- c) $4$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $5$

Verificând: $n = 1$ : $2 > 1$ adevărat; $n = 2$ : $4 > 4$ fals; $n = 3$ : $8 > 9$ fals; $n = 4$ : $16 > 16$ fals; $n = 5$ : $32 > 25$ adevărat, și rămâne adevărată pentru orice $n \geq 5$ . Deși inegalitatea e adevărată izolat la $n = 1$ , nu putem porni inducția de acolo, pentru că lanțul s-ar rupe la $n = 2$ ; rangul corect de pornire este $5$ .

Întrebări conexe

De ce apare condiția ca a să fie mai mare decât minus unu?

Pentru că în pasul inductiv se înmulțește o inegalitate cu $1 + a$ , iar sensul se păstrează doar dacă acest factor este pozitiv. La $a \leq - 1$ factorul ar fi nul sau negativ, iar inegalitatea s-ar întoarce sau s-ar prăbuși.

Ce se întâmplă dacă inegalitatea de demonstrat este strictă?

Pașii rămân aceiași, dar trebuie ca fiecare transformare să păstreze semnul strict. Dacă undeva se folosește o inegalitate nestrictă, concluzia se slăbește și nu mai răspunde la ce s-a cerut. Merită urmărit fiecare semn în parte.

Cum verific dacă am folosit ipoteza în pasul inductiv?

Cauți în calcul locul unde ai înlocuit expresia de la rangul $k$ cu forma dată de ipoteză. Dacă nu găsești un astfel de loc, demonstrația nu este prin inducție, ci un calcul direct care poate fi greșit sau incomplet.

Ce fac dacă în pasul inductiv apar termeni în plus?

Îi grupezi și arăți că partea rămasă are semnul potrivit. La inegalități este permis să renunți la termeni pozitivi atunci când vrei să micșorezi o expresie, dar niciodată în direcția opusă. Fiecare renunțare trebuie justificată într-un rând.

Cum aleg ce parte a inegalității transform?

Pornești de la membrul care conține expresia din ipoteză, fiindcă acolo poți înlocui. Apoi mergi spre forma cerută, pas cu pas. Dacă drumul pare blocat, încearcă din cealaltă parte sau rescrie ținta într-o formă echivalentă.

De ce inducția merge și la sume cu foarte mulți termeni?

Fiindcă nu se calculează nimic efectiv: se arată doar că adăugarea unui termen păstrează forma formulei. Numărul de termeni poate fi oricât de mare, iar raționamentul rămâne la fel de scurt. Aici stă puterea metodei.

Oamenii mai întreabă și: inducție la inegalități · inducție matematică inegalități · inegalitatea lui Bernoulli · de la ce rang pornesc inducția · inducție la divizibilitate