Ce poziție au dreptele $$d_1:\ y = 5x - 3$$ și $$d_2:\ y = 5x + 7$$?

paralele distincte, pentru că $$m_1 = m_2 = 5$$ și $$n_1 \neq n_2$$

confundate, pentru că au aceeași pantă

paralele distincte, pentru că $$n_1 = n_2$$

Cum aflu intersecția a două drepte?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Intersecția a două drepte și interpretarea ei

Punctul comun a două drepte se găsește rezolvând sistemul format din ecuațiile lor: coordonatele lui trebuie să verifice amândouă egalitățile deodată. Dacă ambele sunt scrise sub forma $y = m x + n$ , egalezi expresiile, afli $x$ , apoi înlocuiești ca să obții $y$ . De exemplu, din $y = 3 x - 2$ și $y = - 2 x + 8$ rezultă $5 x = 10$ , deci $x = 2$ și $y = 4$ , adică punctul $(2, 4)$ . Controlul final: pui perechea în fiecare ecuație.

Punctul de intersecție a două drepte este soluția sistemului format din ecuațiile lor: $P$ aparține ambelor drepte dacă și numai dacă coordonatele lui verifică simultan ambele ecuații. Când ambele drepte sunt explicite, $y = m x + n$ , se folosește metoda substituției (se egalează cei doi membri drepți); când sunt sub forma generală, e mai comodă metoda reducerii. Verificarea soluției în ambele ecuații este obligatorie. Un sistem liniar are trei situații posibile, cu interpretare geometrică precisă: soluție unică $\Leftrightarrow$ drepte secante; sistem incompatibil (o egalitate falsă, de tipul $3 = - 1$ ) $\Leftrightarrow$ drepte paralele distincte; o infinitate de soluții (o egalitate de tipul $0 = 0$ ) $\Leftrightarrow$ drepte confundate. Fără să rezolvi sistemul, din pante: $m_{1} \neq = m_{2} \Rightarrow$ secante; $m_{1} = m_{2}$ , $n_{1} \neq = n_{2} \Rightarrow$ paralele; $m_{1} = m_{2}$ și $n_{1} = n_{2} \Rightarrow$ confundate. Din forma generală se compară rapoartele $\frac{a _{1}}{a _{2}}$ , $\frac{b _{1}}{b _{2}}$ , $\frac{c _{1}}{c _{2}}$ . Când o dreaptă e verticală sau orizontală, nu se compară pante: se înlocuiește direct coordonata fixată. Pentru trei drepte concurente, se află întâi intersecția celor două drepte fără parametru, apoi se impune ca a treia să treacă prin acel punct. În probleme practice, punctul de intersecție este momentul sau valoarea la care două mărimi devin egale — un prag de rentabilitate, un moment al întâlnirii.

De reținut

soluția sistemului = coordonatele punctului comun
pante diferite: drepte secante; pante egale: paralele sau suprapuse
orice soluție se verifică în ambele ecuații

Greșeala tipică

Se află doar abscisa și rezolvarea se oprește acolo, deși intersecția este o pereche de numere; după ce ai găsit $x$ , întoarce-te într-una dintre ecuații și calculează și $y$ .

Exerciții din această mini-lecție

Determinați punctul de intersecție al dreptelor $d_{1} : y = 3 x - 2$ și $d_{2} : y = - 2 x + 8$ .
- a) $P (2, 4)$
- b) $P (2, - 4)$
- c) $P (- 2, 4)$
- d) $P (10, 28)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $P (2, 4)$

Egalăm ordonatele: $3 x - 2 = - 2 x + 8 \Rightarrow 5 x = 10 \Rightarrow x = 2$ . Înlocuim în $d_{1}$ : $y = 3 \cdot 2 - 2 = 4$ ; verificare în $d_{2}$ : $- 2 \cdot 2 + 8 = 4$ ✓, deci $P (2, 4)$ . Varianta b păstrează abscisa corectă, dar greșește semnul la calculul lui $y$ din $d_{1}$ . Varianta c păstrează ordonata corectă, dar greșește semnul la rezolvarea ecuației $5 x = 10$ . Varianta d provine din a nu împărți la $5$ la finalul rezolvării — s-a citit $5 x = 10$ ca și cum ar însemna direct $x = 10$ , apoi $y = 3 \cdot 10 - 2 = 28$ .
Sistemul format din ecuațiile a două drepte conduce, prin calcul, la egalitatea $0 = 0$ . Ce poziție au cele două drepte?
- a) confundate
- b) paralele distincte
- c) secante, cu soluție unică
- d) perpendiculare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) confundate

O egalitate banal adevărată, de tipul $0 = 0$ , înseamnă că sistemul are o infinitate de soluții, adică cele două ecuații descriu aceeași dreaptă: dreptele sunt confundate. Varianta b corespunde de fapt cazului unei egalități false (de tipul $3 = - 1$ ), nu lui $0 = 0$ — cele două situații sunt distincte, deși ambele apar când pantele sunt egale. Varianta c ar necesita o soluție unică pentru $x$ și $y$ , nu o identitate mereu adevărată. Varianta d nu are legătură cu numărul de soluții al sistemului: perpendicularitatea se decide din produsul pantelor, nu din faptul că sistemul are $0 = 0$ .
Ce poziție au dreptele $d_{1} : y = 5 x - 3$ și $d_{2} : y = 5 x + 7$ ?
- a) paralele distincte, pentru că $m_{1} = m_{2} = 5$ și $n_{1} \neq = n_{2}$
- b) confundate, pentru că au aceeași pantă
- c) secante, într-un singur punct
- d) paralele distincte, pentru că $n_{1} = n_{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) paralele distincte, pentru că $m_{1} = m_{2} = 5$ și $n_{1} \neq = n_{2}$

Pantele sunt egale ( $5 = 5$ ), dar ordonatele la origine diferă ( $- 3 \neq = 7$ ), deci dreptele sunt paralele distincte; confirmare prin calcul: $5 x - 3 = 5 x + 7 \Rightarrow - 3 = 7$ , fals, sistem incompatibil. Varianta b greșește: pante egale nu înseamnă automat confundate — mai trebuie ca și ordonatele la origine să coincidă. Varianta c este imposibilă aici, pentru că drepte cu aceeași pantă nu pot fi secante (ar fi nevoie de $m_{1} \neq = m_{2}$ ). Varianta d afirmă greșit că $n_{1} = n_{2}$ , când de fapt $- 3 \neq = 7$ .

Întrebări conexe

Ce reprezintă geometric soluția unui sistem de două ecuații de gradul întâi?

Fiecare ecuație de gradul întâi cu două necunoscute descrie o dreaptă în reperul cartezian. A rezolva sistemul înseamnă a căuta punctele aflate pe amândouă. De aceea răspunsul poate fi un singur punct, niciunul sau o infinitate, după cum dreptele se taie, sunt paralele sau se suprapun.

Cum verific dacă punctul găsit chiar este pe ambele drepte?

Înlocuiești abscisa și ordonata în fiecare ecuație și te uiți dacă egalitățile ies adevărate. O verificare doar în prima ecuație nu spune nimic: orice pereche construită din ea o va satisface. Pentru $(3, 2)$ și $3 x + 2 y = 13$ obții $9 + 4 = 13$ , iar în $x - 2 y = - 1$ obții $3 - 4 = - 1$ .

Cum aleg între metoda substituției și metoda reducerii aici?

Când ambele ecuații sunt deja rezolvate în raport cu $y$ , substituția e cea mai scurtă: egalezi cele două expresii. Când ecuațiile arată ca $a x + b y = c$ , e mai comod să înmulțești una dintre ele și să aduni, ca să dispară o necunoscută. Rezultatul iese același, indiferent de drum.

Cum aflu în ce cadran se taie două drepte?

Rezolvi sistemul și obții coordonatele punctului. Semnele lor dau cadranul: ambele pozitive înseamnă cadranul I, abscisă negativă cu ordonată pozitivă înseamnă cadranul al doilea, ambele negative cadranul al treilea, iar abscisă pozitivă cu ordonată negativă cadranul al patrulea. Dacă o coordonată iese zero, punctul cade pe o axă.

Ce arată punctul de întâlnire a doi mobili care pornesc simultan?

Dacă scrii poziția fiecăruia ca funcție de timp, graficele sunt două drepte în reperul timp-poziție. Abscisa punctului lor comun este momentul întâlnirii, iar ordonata arată locul. Pentru $50 t$ și $200 - 30 t$ obții $t = 2, 5$ ore și poziția la $125$ km de primul capăt.

Cum scriu ecuația dreptei care trece prin intersecția a două drepte date?

Afli mai întâi punctul comun al celor două drepte, rezolvând sistemul lor. Apoi folosești acel punct împreună cu a doua informație din problemă: încă un punct, o pantă dată sau o condiție de paralelism. Cu punctul și panta scrii direct $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ .

Oamenii mai întreabă și: punctul de intersecție a două drepte · cum se intersectează două drepte · unde se taie două drepte · rezolvarea sistemului a două drepte