Unde taie parabola axele de coordonate?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Parabola: tăierile cu axele

Cu axa verticală se întâlnește o singură dată, în punctul $(0, c)$ , adică la înălțimea termenului liber. Cu axa orizontală se poate întâlni de două ori, o dată sau deloc: abscisele se află rezolvând $a x^{2} + b x + c = 0$ , iar numărul lor este dat de semnul discriminantului. Pentru $f (x) = x^{2} - 2 x - 8$ , rădăcinile sunt $- 2$ și $4$ , iar tăietura de pe verticală este $(0, - 8)$ .

Parabola taie axa $O y$ o singură dată, iar punctul se citește instantaneu: pui $x = 0$ și obții $(0, c)$ . Termenul liber $c$ e chiar înălțimea la care parabola trece peste axa verticală.

Cu axa $O x$ povestea e mai bogată. Acolo $f (x) = 0$ , deci abscisele tăieturilor sunt soluțiile ecuației $a x^{2} + b x + c = 0$ . Pe desen se văd trei situații, și le deosebești doar privind:

· parabola taie axa în două puncte → ecuația are două soluții; · parabola doar atinge axa, cu vârful chiar pe ea → o singură soluție (dublă); · parabola stă în întregime deasupra sau dedesubtul axei → nicio soluție reală.

Dacă știi rădăcinile $x_{1}$ și $x_{2}$ citite pe grafic, poți reface funcția: $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Cu ea afli orice altă valoare, de pildă $f (0)$ .

Greșeala clasică e amestecul axelor: tăierea cu $O y$ e un punct de forma $(0, c)$ , iar tăierile cu $O x$ sunt puncte de forma $(x, 0)$ .

De reținut

cu axa verticală: punctul $(0, c)$
cu axa orizontală: soluțiile ecuației $f (x) = 0$
$Δ > 0$ dă două puncte, $Δ = 0$ unul, $Δ < 0$ niciunul

Greșeala tipică

Pentru tăietura cu axa verticală se rezolvă o ecuație, iar pentru cea cu axa orizontală se pune argumentul egal cu zero, adică exact invers. Pe verticală se anulează abscisa, pe orizontală se anulează valoarea funcției.

Exerciții din această mini-lecție

În ce punct taie parabola $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ axa $O y$ ?
- a) $(0, 3)$
- b) $(3, 0)$
- c) $(0, - 4)$
- d) $(0, 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(0, 3)$

Pui $x = 0$ : $f (0) = 3$ , deci punctul este $(0, 3)$ — chiar termenul liber. Punctul $(3, 0)$ are aceeași cifră, dar pe axa cealaltă; $- 4$ e coeficientul lui $x$ , nu are treabă cu $O y$ .
Din grafic se citește că parabola ATINGE axa $O x$ într-un singur punct, fără s-o traverseze. Câte soluții reale are ecuația $f (x) = 0$ ?
- a) niciuna
- b) exact una
- c) exact două
- d) o infinitate
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) exact una

Un singur punct comun cu axa $O x$ înseamnă o singură soluție (se numește rădăcină dublă, iar vârful parabolei stă chiar pe axă). Dacă parabola ar traversa axa, ar fi două puncte, deci două soluții.
Parabola $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ taie axa $O x$ în punctele de abscise:
- a) $1$ și $3$
- b) $- 1$ și $- 3$
- c) $0$ și $4$
- d) $2$ și $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1$ și $3$

Se descompune: $x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ , deci rădăcinile sunt $1$ și $3$ . Verificare rapidă: suma lor e $4$ (adică $- b$ ), iar produsul e $3$ (adică $c$ ).

Întrebări conexe

Cum refac funcția dacă știu rădăcinile citite pe grafic?

Scrii $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ și afli coeficientul dintr-un punct în plus, de obicei cel de pe axa verticală. Cu rădăcinile $- 2$ și $4$ și cu $f (0) = - 8$ obții $a \cdot (- 2) \cdot 4 = - 8$ , deci $a = 1$ .

Cât fac suma și produsul rădăcinilor?

Suma este $- \frac{b}{a}$ , iar produsul $\frac{c}{a}$ . Pentru $x^{2} - 2 x - 8$ suma iese $2$ și produsul $- 8$ , ceea ce se potrivește cu rădăcinile $- 2$ și $4$ . Relațiile acestea sunt o verificare rapidă, fără să refaci tot calculul.

Ce se întâmplă dacă termenul liber este zero?

Parabola trece prin origine, deci una dintre rădăcini este chiar $0$ . Ecuația se rezolvă atunci prin factor comun: din $x^{2} - 5 x = 0$ iese $x (x - 5) = 0$ , cu soluțiile $0$ și $5$ . Nu e nevoie de discriminant.

Unde se află vârful față de cele două rădăcini?

Exact la mijlocul lor, fiindcă parabola este simetrică. Cu rădăcinile $- 2$ și $4$ , abscisa vârfului este $\frac{- 2 + 4}{2} = 1$ . Este cea mai rapidă cale de a găsi vârful, atunci când rădăcinile sunt deja cunoscute.

Cât este distanța dintre cele două puncte de pe axa orizontală?

Este diferența rădăcinilor în valoare absolută, adică $\frac{Δ}{∣ a ∣}$ . Cu cât discriminantul este mai mare, cu atât tăieturile sunt mai depărtate. Când el se apropie de zero, cele două puncte se apropie unul de altul până se contopesc.

De ce o parabolă cu vârful deasupra axei nu o mai taie?

Fiindcă, având ramurile în sus, vârful este punctul ei cel mai de jos. Dacă nici acesta nu coboară până la axă, nicio altă porțiune nu ajunge acolo. Algebric, situația corespunde unui discriminant negativ.

Oamenii mai întreabă și: unde taie parabola axele · rădăcinile funcției de gradul doi · discriminant și număr de soluții · intersecția parabolei cu axa orizontală · punctul de pe axa verticală