Fie $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=4-|x-2|$$. Care dintre afirmațiile următoare este adevărată?

$$f$$ are maximul $$4$$, atins în $$x=2$$, dar nu este mărginită inferior.

$$f$$ este mărginită doar inferior, cu minorantul $$4$$.

$$f$$ are minimul $$4$$, atins în $$x=2$$.

$$f$$ este mărginită atât superior, cât și inferior.

Fie $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\begin{cases}x+2, & x\le 1\\ 3x, & x>1\end{cases}$$. Ce se poate spune despre convexitatea ei?

Este convexă, deoarece pantele $$1$$ și $$3$$ sunt crescătoare, iar funcția este continuă în $$x=1$$.

Este concavă, deoarece pantele scad.

Nu este nici convexă, nici concavă, din cauza punctului de racord.

Nu se poate decide, deoarece $$f$$ nu este continuă în $$x=1$$.

Fie $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=|x-1|+|x+2|$$. Care dintre afirmațiile următoare este corectă?

$$f$$ este convexă pe $$\mathbb{R}$$, iar valoarea minimă este $$3$$, atinsă pe intervalul $$[-2,1]$$.

$$f$$ este concavă pe $$\mathbb{R}$$, cu maximul $$3$$.

$$f$$ nu este nici convexă, nici concavă, deoarece are trei ramuri.

$$f$$ este convexă, dar minimul ei este $$0$$, atins în $$x=-2$$.

Ce este o funcție convexă și una concavă?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcții mărginite, convexe și concave

O funcție este convexă pe un interval dacă, între oricare două puncte ale graficului, curba rămâne sub segmentul care le unește; forma seamănă cu o vale. Dacă graficul stă deasupra segmentului, funcția este concavă și seamănă cu o cupolă. Parabola $y = x^{2}$ și funcția modul sunt convexe, iar $y = - x^{2}$ este concavă. Orice funcție de gradul întâi le îndeplinește pe amândouă, cu egalitate.

O funcție $f : D \to R$ este mărginită superior dacă există un majorant $M$ cu $f (x) \leq M$ pentru orice $x \in D$ , și mărginită inferior dacă există un minorant $m$ cu $f (x) \geq m$ . Este mărginită dacă are ambele proprietăți, echivalent (criteriul modulului) dacă există $M > 0$ cu $∣ f (x) ∣ \leq M$ pentru orice $x$ . Atenție: un majorant nu e neapărat maxim — maximul este un majorant atins efectiv (există $x_{0}$ cu $f (x_{0}) = M$ ); o funcție mărginită poate să nu aibă nici maxim, nici minim.

O funcție $f : I \to R$ este convexă dacă pentru orice $x_{1}, x_{2} \in I$ și $t \in [0, 1]$ : $f ((1 - t) x_{1} + t x_{2}) \leq (1 - t) f (x_{1}) + t f (x_{2})$ — graficul stă sub coardă (formă de vale). Inegalitatea inversă definește o funcție concavă (graficul deasupra coardei, formă de cupolă). Orice funcție afină este simultan convexă și concavă (egalitate). Funcțiile de tip $∣ x - a ∣$ sunt convexe, iar suma a două funcții convexe rămâne convexă.

La funcțiile afine pe ramuri (continue), decide criteriul pantelor: pante crescătoare $\Rightarrow$ convexă, pante descrescătoare $\Rightarrow$ concavă, pante nemonotone $\Rightarrow$ niciuna. O singură verificare pe mijloc poate doar infirma convexitatea, niciodată să o demonstreze.

De reținut

convexă: graficul sub coardă, formă de vale
concavă: graficul deasupra coardei, formă de cupolă
un majorant atins efectiv se numește maxim
suma a două funcții convexe rămâne convexă

Greșeala tipică

Se confundă majorantul cu maximul: o barieră pe care valorile nu o depășesc devine maxim doar dacă este atinsă efectiv într-un punct al domeniului.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 4 - ∣ x - 2∣$ . Care dintre afirmațiile următoare este adevărată?
- a) $f$ este mărginită doar inferior, cu minorantul $4$ .
- b) $f$ are maximul $4$ , atins în $x = 2$ , dar nu este mărginită inferior.
- c) $f$ are minimul $4$ , atins în $x = 2$ .
- d) $f$ este mărginită atât superior, cât și inferior.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f$ are maximul $4$ , atins în $x = 2$ , dar nu este mărginită inferior.

Din $∣ x - 2∣ \geq 0$ rezultă $f (x) \leq 4$ pentru orice $x$ , deci $4$ este majorant. Egalitatea are loc pentru $x = 2$ (unde $∣ x - 2∣ = 0$ ), deci maximul $4$ este efectiv atins, nu doar o barieră teoretică. Funcția nu este mărginită inferior: pentru $x = 1002$ obținem $f (1002) = 4 - 1000 = - 996$ , iar valorile coboară oricât de mult când $x \to \pm \infty$ . Deci singura afirmație corectă este b).
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = {x + 2, 3 x, x \leq 1 x > 1$ . Ce se poate spune despre convexitatea ei?
- a) Este convexă, deoarece pantele $1$ și $3$ sunt crescătoare, iar funcția este continuă în $x = 1$ .
- b) Este concavă, deoarece pantele scad.
- c) Nu este nici convexă, nici concavă, din cauza punctului de racord.
- d) Nu se poate decide, deoarece $f$ nu este continuă în $x = 1$ .
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Este convexă, deoarece pantele $1$ și $3$ sunt crescătoare, iar funcția este continuă în $x = 1$ .

În $x = 1$ , prima ramură dă $f (1) = 1 + 2 = 3$ , iar limita din dreapta este $3 \cdot 1 = 3$ : graficul este o linie frântă neîntreruptă, deci criteriul pantelor se poate aplica. Pantele sunt $m_{1} = 1$ pe $(- \infty, 1]$ și $m_{2} = 3$ pe $(1, \infty)$ ; cum $1 < 3$ (pante crescătoare), $f$ este convexă. Verificare pe mijloc, cu $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 3$ : $f (- 3) = - 1$ , $f (3) = 9$ , mijlocul $0$ cu $f (0) = 2 \leq \frac{- 1 + 9}{2} = 4$ ✓.
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = ∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣$ . Care dintre afirmațiile următoare este corectă?
- a) $f$ este convexă pe $R$ , iar valoarea minimă este $3$ , atinsă pe intervalul $[- 2, 1]$ .
- b) $f$ este concavă pe $R$ , cu maximul $3$ .
- c) $f$ nu este nici convexă, nici concavă, deoarece are trei ramuri.
- d) $f$ este convexă, dar minimul ei este $0$ , atins în $x = - 2$ .
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f$ este convexă pe $R$ , iar valoarea minimă este $3$ , atinsă pe intervalul $[- 2, 1]$ .

$f$ este sumă a două funcții convexe de tip $∣ x - a ∣$ (cu $a = 1$ și $a = - 2$ ), deci este convexă. Explicitată pe ramuri: $f (x) = - 2 x - 1$ pentru $x < - 2$ (pantă $- 2$ ), $f (x) = 3$ pentru $- 2 \leq x \leq 1$ (pantă $0$ ) și $f (x) = 2 x + 1$ pentru $x > 1$ (pantă $2$ ); pantele $- 2, 0, 2$ cresc, confirmând convexitatea prin criteriul pantelor. Pe porțiunea din mijloc valoarea constantă $3$ este cea mai mică (pentru $x < - 2$ și $x > 1$ valorile depășesc $3$ ), deci minimul este $3$ , atins pe tot intervalul $[- 2, 1]$ .

Întrebări conexe

Ce funcții cunoscute nu sunt mărginite nici într-o parte?

Funcția de gradul întâi cu panta nenulă, funcția cub și tangenta pe domeniul ei. Toate iau valori oricât de mari și oricât de mici, deci nu au nici margine de sus, nici de jos. Graficele lor pleacă spre infinit la amândouă capetele.

Cum arăt că funcția de gradul al doilea este mărginită inferior?

Scrii funcția în forma cu pătrat, de tipul $a (x - v)^{2} + w$ . Când $a$ este pozitiv, primul termen nu coboară sub zero, deci valorile nu coboară sub $w$ . Numărul $w$ este chiar ordonata vârfului și este atins efectiv, deci este minim, nu doar minorant.

Este parabola cu a pozitiv convexă sau concavă?

Este convexă. Coeficientul pozitiv deschide ramurile în sus, iar coarda dintre două puncte ale ei trece pe deasupra curbei. Când coeficientul dominant este negativ, ramurile coboară și funcția devine concavă, cu vârful în punctul cel mai de sus.

Ce este un punct de inflexiune, pe scurt?

Este punctul în care graficul trece de la formă de vale la formă de cupolă, adică schimbă convexitatea cu concavitatea. Înainte de el coarda stă deasupra curbei, după el dedesubt. Curba $y = x^{3}$ are un astfel de punct în origine.

Este funcția sinus mărginită și între ce valori?

Da, este mărginită. Pe cercul trigonometric sinusul este ordonata unui punct aflat la distanța unu de centru, deci nu poate ieși din intervalul de la $- 1$ la $1$ . Ambele capete sunt atinse, deci sunt chiar maximul și minimul funcției.

La ce folosește convexitatea în probleme de optim?

La o funcție convexă valoarea cea mai mică se atinge într-un singur loc, iar la una concavă la fel se întâmplă cu valoarea cea mai mare. De aceea, la problemele cu parabolă, vârful decide răspunsul fără să mai fie nevoie de alte încercări.

Oamenii mai întreabă și: funcție convexă și concavă · ce înseamnă convexitate · grafic sub coardă sau deasupra ei · cum recunosc o funcție concavă