Care este primul pas într-o demonstrație prin reducere la absurd a faptului că $$\sqrt{3}$$ este irațional?

Presupunem $$\sqrt{3}=\dfrac{m}{n}$$, fracție ireductibilă, cu $$m,n$$ naturale nenule

Presupunem că $$\sqrt{3}$$ este rațional, fără nicio altă precizare

Presupunem direct că $$3$$ divide $$n$$

În demonstrația lui Euclid pentru infinitatea numerelor prime, numărul $$N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1$$ trebuie să fie:

doar un număr care are cel puțin un divizor prim

egal cu suma numerelor prime din listă

Ce înseamnă reducerea la absurd?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Cum demonstrezi prin reducere la absurd

Este demonstrația care pornește de la presupunerea că afirmația de dovedit ar fi falsă și arată că de aici se ajunge la ceva imposibil. Contradicția obținută arată că presupunerea nu putea sta în picioare, deci afirmația este adevărată. Redactarea are patru pași: negi concluzia, deduci consecințe, numești explicit contradicția și închei. Metoda se potrivește la enunțuri care spun „nu există” sau „este imposibil”.

Reducerea la absurd este o metodă de demonstrație în care presupunem că afirmația de demonstrat este falsă și arătăm că această presupunere duce la o contradicție — două afirmații care nu pot fi adevărate simultan. Din contradicție rezultă că presupunerea era falsă, deci afirmația inițială este adevărată. Redactarea are patru părți: negarea concluziei, deducțiile, numirea explicită a contradicției și concluzia finală.

Primul pas, cel mai delicat, este negarea corectă a concluziei: negația lui „sau” este „și” (legile lui De Morgan), negația lui „nu există” este „există”, iar negația lui „ $x$ este irațional” este „ $x = \frac{m}{n}$ , fracție ireductibilă”.

Metoda are două demonstrații clasice de reținut. Iraționalitatea lui $2$ : presupunând $2 = \frac{m}{n}$ ireductibilă, obținem $m^{2} = 2 n^{2}$ , deci $m$ par, apoi $n$ par — contrazicând ireductibilitatea. Infinitatea numerelor prime (Euclid): presupunând o listă finită $p_{1}, \dots, p_{n}$ , numărul $N = p_{1} \dots p_{n} + 1$ are un divizor prim care nu poate fi în listă — fără ca $N$ să fie neapărat prim.

Metoda se alege atunci când concluzia are forma „nu există”, „este imposibil”, „este irațional” sau conține „sau”; pentru implicații simple, contrapoziția e adesea mai scurtă.

De reținut

presupui negația concluziei și cauți o contradicție
primul pas este negarea corectă a concluziei
negația unui enunț cu „sau” se scrie cu „și”

Greșeala tipică

Negația lui „ $a = 0$ sau $b = 0$ ” este scrisă tot cu „sau”, deși legătura se schimbă. Presupunerea corectă este că amândouă numerele sunt nenule; altfel demonstrația pornește pe alt drum.

Exerciții din această mini-lecție

Care este negația propoziției „ $a > 0$ sau $b > 0$ ”?
- a) $a \leq 0$ și $b \leq 0$
- b) $a \leq 0$ sau $b \leq 0$
- c) $a < 0$ și $b < 0$
- d) $a > 0$ și $b > 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a \leq 0$ și $b \leq 0$

Conform legilor lui De Morgan, negația unei disjuncții ("sau") este conjuncția negațiilor ("și"): negația lui „ $a > 0$ sau $b > 0$ ” este „ $a \leq 0$ și $b \leq 0$ ”. Varianta b) păstrează greșit „sau”, iar c) și d) nu neagă corect inegalitățile stricte.
Care este primul pas într-o demonstrație prin reducere la absurd a faptului că $3$ este irațional?
- a) Presupunem $3 = \frac{m}{n}$ , fracție ireductibilă, cu $m, n$ naturale nenule
- b) Presupunem că $3$ este rațional, fără nicio altă precizare
- c) Presupunem direct că $3$ divide $n$
- d) Presupunem că $m$ este par
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Presupunem $3 = \frac{m}{n}$ , fracție ireductibilă, cu $m, n$ naturale nenule

Negarea concluziei „ $3$ este irațional” trebuie tradusă imediat în date concrete cu care poți calcula: o fracție $\frac{m}{n}$ ireductibilă. Precizarea „ireductibilă” este esențială — fără ea, faptul că $m$ și $n$ ar ieși ambele divizibile cu $3$ nu ar contrazice nimic. Variantele b), c), d) sar peste acest pas sau presupun lucruri care nu sunt încă stabilite.
În demonstrația lui Euclid pentru infinitatea numerelor prime, numărul $N = p_{1} p_{2} \dots p_{n} + 1$ trebuie să fie:
- a) neapărat un număr prim
- b) neapărat un număr par
- c) doar un număr care are cel puțin un divizor prim
- d) egal cu suma numerelor prime din listă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) doar un număr care are cel puțin un divizor prim

Demonstrația cere doar ca $N$ (fiind mai mare decât $1$ ) să aibă un divizor prim, iar acel divizor nu poate fi în lista presupusă completă. De exemplu $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1 = 30031 = 59 \cdot 509$ nu este prim, dar demonstrația funcționează la fel de bine, pentru că $59$ și $509$ sunt oricum în afara listei ${2, 3, 5, 7, 11, 13}$ .

Întrebări conexe

De ce se cere fracție ireductibilă în demonstrația cu radical din 2?

Pentru că tocmai acea condiție este cea contrazisă la final. Din egalitate rezultă că numărătorul și numitorul sunt amândoi pari, adică se pot simplifica prin doi, ceea ce nu se poate întâmpla la o fracție deja adusă la forma cea mai simplă. Fără această alegere, calculul nu duce nicăieri.

Cum recunosc din enunț că trebuie folosită metoda?

După formulările care neagă ceva: „nu există”, „este imposibil”, „nu se poate scrie ca fracție”. Ele sunt greu de atacat direct, dar negația lor dă un obiect concret cu care se poate calcula. La fel se procedează când concluzia conține „sau”.

Ce fel de contradicție se acceptă la finalul demonstrației?

Orice pereche de afirmații care nu pot fi adevărate în același timp: un număr par și impar deodată, o fracție ireductibilă care se simplifică, un element care se află și nu se află într-o mulțime. Contradicția trebuie numită explicit, nu doar sugerată.

Cum arăt prin absurd că o ecuație nu are soluții întregi?

Presupui că ar exista o soluție întreagă și lucrezi cu ea până apare o imposibilitate, de obicei legată de resturi sau de paritate. Dacă din presupunere rezultă că un număr par este egal cu unul impar, ecuația nu poate avea astfel de soluții.

Poate o demonstrație prin absurd să fie mai lungă decât una directă?

Da, și de aceea nu se folosește peste tot. Când afirmația se poate deduce direct din ipoteze, calea scurtă este de preferat. Metoda își arată puterea abia la enunțuri care neagă existența a ceva, unde atacul direct nu are de unde porni.

Ce legătură are metoda cu principiul terțului exclus?

Se sprijină exact pe el: din două afirmații care se neagă una pe alta, una este adevărată și cealaltă falsă, fără a treia posibilitate. Odată eliminată una dintre ele prin contradicție, cealaltă rămâne singura variantă.

Oamenii mai întreabă și: reducere la absurd · reducerea la absurd · demonstrație prin absurd · cum arăt că ceva este imposibil · presupunerea contrară în demonstrații