Care dintre următoarele mulțimi este infinită? a) $$\{x \in \mathbb{N} \mid 2 \le x \le 60\}$$ b) mulțimea multiplilor lui 7 c) mulțimea lunilor anului d) mulțimea literelor cuvântului „TABLA"

$$\{x \in \mathbb{N} \mid 2 \le x \le 60\}$$

mulțimea literelor cuvântului „TABLA"

Care dintre următoarele mulțimi este infinită?

mulțimea numerelor naturale pare

$$\{x \in \mathbb{N} \mid 10 \le x \le 80\}$$

mulțimea zilelor săptămânii

Ce este cardinalul unei mulțimi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Mulțimi finite, infinite și cardinal

Cardinalul este numărul elementelor distincte ale unei mulțimi finite, scris $card A$ sau $∣ A ∣$ . Se numără fiecare element o singură dată, oricâte repetări ar apărea în enunț: mulțimea literelor cuvântului CASA are cardinalul $3$ , fiindcă litera A se numără o dată. Mulțimea fără niciun element are cardinalul $0$ . Pentru numere consecutive, socotești diferența capetelor și mai adaugi $1$ .

O mulțime este finită dacă numărarea elementelor ei se termină, și infinită dacă nu se termină niciodată — există mereu un element nou. Mulțimea numerelor naturale $N = {0, 1, 2, 3, \dots}$ este infinită, deoarece oricărui număr natural îi putem adăuga 1 și obținem unul mai mare. Cardinalul unei mulțimi finite $A$ este numărul ei de elemente distincte, notat $card A$ sau $∣ A ∣$ . Mulțimea vidă are $card \emptyset = 0$ . Atenție: elementele repetate se numără o singură dată — de exemplu, mulțimea literelor cuvântului „CASA" are cardinalul 3, nu 4, fiindcă litera A apare de două ori. Exemplu rezolvat: pentru $A = {x \in N ∣ 5 \leq x \leq 11}$ obținem $A = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}$ , deci $∣ A ∣ = 11 - 5 + 1 = 7$ . Două mulțimi au același cardinal dacă putem construi o corespondență unu la unu între elementele lor, fără niciun element rămas nepereche.

De reținut

cardinalul numără elementele distincte ale unei mulțimi finite
$card \emptyset = 0$
numere consecutive de la $a$ la $b$ : $b - a + 1$ elemente

Greșeala tipică

Se numără de mai multe ori elementele care se repetă în enunț, iar cardinalul iese prea mare; fiecare element intră în socoteală o singură dată, oricâte apariții ar avea în textul de plecare.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele mulțimi este infinită?

a) ${x \in N ∣ 2 \leq x \leq 60}$

b) mulțimea multiplilor lui 7

c) mulțimea lunilor anului

d) mulțimea literelor cuvântului „TABLA"
- a) ${x \in N ∣ 2 \leq x \leq 60}$
- b) mulțimea multiplilor lui 7
- c) mulțimea lunilor anului
- d) mulțimea literelor cuvântului „TABLA"
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) mulțimea multiplilor lui 7

Mulțimea multiplilor lui 7 este ${0, 7, 14, 21, \dots}$ : oricărui multiplu îi putem adăuga 7 și obținem un multiplu și mai mare, deci numărarea nu se termină niciodată — este infinită. Celelalte trei mulțimi au un ultim element (60, respectiv luna decembrie, respectiv ultima literă distinctă), deci numărarea se oprește — sunt finite.
Câte elemente distincte are mulțimea literelor cuvântului „BANANA"?
- a) 3
- b) 6
- c) 4
- d) 2
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 3

Literele cuvântului „BANANA" sunt B, A, N, A, N, A. Litera A apare de trei ori și litera N apare de două ori, dar într-o mulțime fiecare element se scrie o singură dată. Mulțimea literelor distincte este ${B, A, N}$ , deci cardinalul este 3, nu 6 (numărul de litere din cuvânt).
Care dintre următoarele mulțimi este infinită?
- a) ${x \in N ∣ 10 \leq x \leq 80}$
- b) mulțimea divizorilor lui 100
- c) mulțimea numerelor naturale pare
- d) mulțimea zilelor săptămânii
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) mulțimea numerelor naturale pare

Mulțimea numerelor naturale pare este ${0, 2, 4, 6, \dots}$ : oricărui număr par îi putem adăuga 2 și obținem un număr par și mai mare, deci numărarea nu se termină niciodată — este infinită. Celelalte trei mulțimi au un ultim element (80, respectiv ultimul divizor al lui 100, respectiv duminica), deci numărarea se oprește — sunt finite.

Întrebări conexe

Cum calculez cardinalul unei mulțimi de numere consecutive?

Scazi capătul mic din cel mare și aduni $1$ , ca să numeri și primul element. Pentru numerele naturale de la $5$ la $11$ obții $11 - 5 + 1 = 7$ . Fără acel $1$ ai număra intervalele dintre numere, nu numerele propriu-zise.

Ce cardinal are mulțimea literelor cuvântului MATEMATICĂ?

Scrii literele distincte: M, A, T, E, I, C și Ă, deci șapte elemente. Literele care se repetă în cuvânt se trec o singură dată. Cardinalul unei astfel de mulțimi este întotdeauna mai mic sau egal cu numărul literelor cuvântului.

Ce cardinal are o mulțime cu un singur element?

Are cardinalul $1$ , iar o astfel de mulțime se numește uneori mulțime cu un element. Nu se confundă cu elementul însuși: mulțimea care conține numărul $7$ nu este totuna cu numărul $7$ , la fel cum o cutie nu este totuna cu obiectul din ea.

Cum arăt că o mulțime este infinită?

Găsești o regulă care produce mereu un element nou, oricâte ai scris deja. La numerele naturale aduni $1$ la ultimul găsit, la multiplii lui $3$ aduni $3$ . Fiindcă procedeul nu se oprește niciodată, numărarea nu se termină, deci mulțimea nu este finită.

Ce legătură are cardinalul cu reuniunea a două mulțimi?

Numărul elementelor reuniunii este suma cardinalelor din care se scade numărul elementelor comune, altfel acestea ar fi numărate de două ori. Dacă două mulțimi au $12$ și $9$ elemente, iar $5$ sunt comune, reuniunea are $16$ elemente.

De ce cardinalul se calculează doar pentru mulțimi finite?

Pentru că la o mulțime infinită numărarea nu se încheie, deci nu există un număr natural care să o descrie. Pentru astfel de mulțimi se compară mărimile prin corespondențe între elemente, o idee studiată mai târziu, dincolo de programa gimnaziului.

Oamenii mai întreabă și: cardinalul unei mulțimi · numărul de elemente al unei mulțimi · mulțimi finite și infinite · cum se numără elementele unei mulțimi