Cum aflu vârful unei parabole?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Parabola: vârf și simetrie

Abscisa vârfului se calculează cu $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ , iar ordonata lui se obține înlocuind acest număr în formulă. Pentru $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ iese $x_{V} = 2$ și $y_{V} = - 1$ . Verticala dusă prin vârf este axa de simetrie a parabolei, deci două puncte cu aceeași ordonată stau oglindite față de ea, iar abscisa vârfului cade exact la mijlocul lor.

Graficul funcției de gradul al doilea $f (x) = a x^{2} + b x + c$ (cu $a \neq = 0$ ) se numește parabolă.

Semnul lui $a$ decide încotro sunt ramurile: dacă $a > 0$ ramurile merg în sus (parabola ține apă, ca o cupă), dacă $a < 0$ merg în jos. Asta se vede din prima privire pe desen.

Punctul de cotitură se numește vârf și are abscisa $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ . Verticala $x = x_{V}$ este axa de simetrie: parabola arată la fel de o parte și de alta a ei, ca o oglindă.

Simetria e cea mai folositoare unealtă de lectură. Două puncte de pe parabolă care au aceeași ordonată sunt oglindite față de axă, deci $x_{V}$ este exact la mijlocul absciselor lor: $x_{V} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ . Dacă citești pe grafic $f (1) = f (7)$ , atunci $x_{V} = 4$ , fără nicio formulă.

Ordonata vârfului se află înlocuind: $y_{V} = f (x_{V})$ . Ea e valoarea extremă a funcției — cea mai mică dacă ramurile sunt în sus, cea mai mare dacă sunt în jos.

De reținut

$x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ , iar $y_{V} = f (x_{V})$
axa de simetrie este dreapta verticală $x = x_{V}$
$a > 0$ dă ramuri în sus, $a < 0$ ramuri în jos

Greșeala tipică

La $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ se scrie $x_{V} = \frac{- 4}{2} = - 2$ , cu semnul lui $b$ păstrat. Formula cere opusul lui $b$ , deci rezultatul corect este $2$ .

Exerciții din această mini-lecție

Din grafic se citește că vârful parabolei este $V (2, - 9)$ și că ramurile sunt îndreptate în sus. Care este axa de simetrie?
- a) $y = 2$
- b) $x = 2$
- c) $x = - 9$
- d) $y = - 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 2$

Axa de simetrie e dreapta verticală care trece prin vârf, deci are ecuația $x = x_{V}$ , adică $x = 2$ . Variantele cu $y = \dots$ descriu drepte orizontale, iar $- 9$ este ordonata vârfului, nu abscisa lui.
Vârful parabolei $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ are abscisa:
- a) $3$
- b) $- 3$
- c) $6$
- d) $- 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3$

Aici $a = 1$ și $b = - 6$ , deci $x_{V} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 6}{2} = 3$ . Semnul minus din formulă se anulează cu semnul lui $b$ — de aceea răspunsul e $3$ , nu $- 3$ .
Pe graficul unei funcții de gradul al doilea se citește $f (1) = 4$ și $f (7) = 4$ . Care este abscisa vârfului parabolei?
- a) $4$
- b) $3$
- c) $8$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4$

Cele două puncte au aceeași ordonată, deci sunt oglindite față de axa de simetrie. Abscisa vârfului e la mijlocul lor: $x_{V} = \frac{1 + 7}{2} = 4$ . Numărul $8$ e suma absciselor, nu media lor, iar $3$ e jumătatea distanței dintre ele.

Întrebări conexe

Ce se schimbă la parabolă dacă înlocuiesc $x$ cu $- x$ ?

Curba se oglindește față de axa verticală: vârful trece de cealaltă parte, la abscisa opusă, iar ramurile rămân îndreptate la fel. Din $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ iese $x^{2} + 4 x + 3$ , cu vârful mutat din $2$ în $- 2$ .

Ce parabolă are vârful chiar pe axa orizontală?

Cea care atinge axa într-un singur punct, adică aceea cu discriminantul nul. Ordonata vârfului este atunci zero, iar funcția are o rădăcină dublă. Graficul stă în întregime deasupra axei sau în întregime sub ea, după semnul primului coeficient.

Ce se schimbă dacă mut parabola cu două unități în sus?

Vârful urcă cu două unități, dar abscisa lui rămâne aceeași, deci axa de simetrie nu se mișcă. Formula capătă un plus doi la final, iar forma curbei nu se modifică deloc. Se schimbă doar poziția față de axa orizontală.

Cum recunosc pe desen o parabolă mai îngustă?

După cât de repede urcă ramurile: cu cât coeficientul termenului de gradul al doilea este mai mare în valoare absolută, cu atât curba este mai strânsă. Parabola lui $3 x^{2}$ este mult mai îngustă decât cea a lui $0, 5 x^{2}$ .

Unde se află vârful la o funcție fără termen de gradul întâi?

Chiar pe axa verticală, fiindcă abscisa lui iese zero. Pentru $f (x) = 2 x^{2} - 8$ , vârful este $(0, - 8)$ , iar axa de simetrie este chiar axa verticală. Curba arată la fel în stânga și în dreapta ei.

Cum scriu funcția dacă îi cunosc vârful și încă un punct?

Pornești de la forma cu vârf, $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}$ , și afli coeficientul din condiția ca punctul dat să verifice egalitatea. Cu vârful $(2, - 1)$ și punctul $(0, 3)$ obții $4 a - 1 = 3$ , deci $a = 1$ .

Oamenii mai întreabă și: vârful parabolei · formula abscisei vârfului · axa de simetrie a parabolei · ramuri în sus sau în jos · cum desenez o parabolă