Două drepte $$m$$ și $$n$$ din spațiu nu au niciun punct comun. Ce putem afirma cu certitudine?

Sunt paralele dacă sunt coplanare, sau necoplanare dacă nu sunt coplanare

Două drepte $$m$$ și $$n$$ din spațiu sunt CONCURENTE (au un punct comun). Ce se poate afirma cu certitudine despre ele?

Sunt automat coplanare, deoarece două drepte concurente determină un plan unic care le conține

Nu se poate preciza dacă sunt coplanare

Cum pot sta două drepte în spațiu?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Poziții relative ale dreptelor în spațiu

În trei feluri. Se pot tăia într-un punct, pot merge în aceeași direcție fără să se atingă sau pot fi necoplanare, adică niciun plan nu le poate cuprinde pe amândouă. Primele două situații se numesc coplanare. Întrebarea care le desparte este dacă cele două drepte încap într-un singur plan. Într-o cutie, latura de jos a unei fețe și marginea verticală dintr-un colț depărtat nu se ating și nici nu merg la fel, deci sunt necoplanare.

În plan, două drepte sunt fie concurente (se taie într-un punct), fie paralele. În spațiu mai apare o a treia posibilitate: necoplanare — nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă. Cheia e întrebarea „încap într-un plan?”: dacă da, sunt coplanare (concurente sau paralele); dacă nu, sunt necoplanare.

Truc rapid, în ordine: 1) au punct comun? → concurente; 2) dacă nu, au aceeași direcție? → paralele; 3) dacă nici punct comun, nici aceeași direcție → necoplanare.

Exemplu. Pe un cub $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , muchia $A B$ (în baza de jos) și muchia $C C^{'}$ (verticală, în colțul $C$ ) nu au niciun punct comun, dar nici nu sunt paralele (una orizontală, alta verticală) — deci sunt necoplanare. Atenție: „fără punct comun” NU înseamnă automat „paralele”!

De reținut

trei poziții: concurente, paralele, necoplanare
concurente și paralele = coplanare
lipsa punctelor comune nu înseamnă automat paralelism

Greșeala tipică

Se spune că două drepte care nu se intersectează sunt paralele, ca în geometria plană. În spațiu ele pot fi necoplanare, adică fără punct comun și fără aceeași direcție.

Exerciții din această mini-lecție

Două drepte $m$ și $n$ din spațiu nu au niciun punct comun. Ce putem afirma cu certitudine?
- a) Sunt sigur paralele
- b) Sunt sigur necoplanare
- c) Sunt paralele dacă sunt coplanare, sau necoplanare dacă nu sunt coplanare
- d) Sunt sigur concurente
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Sunt paralele dacă sunt coplanare, sau necoplanare dacă nu sunt coplanare

„Fără punct comun” nu decide singur situația în spațiu. Mai trebuie verificat dacă dreptele încap într-un plan comun: dacă da, sunt paralele; dacă nu, sunt necoplanare. Concurente e exclus, căci concurentele au un punct comun.
Pe cubul $K L M N K^{'} L^{'} M^{'} N^{'}$ (baza de jos $K L M N$ , $K$ sub $K^{'}$ ș.a.m.d.), care pereche de muchii este formată din drepte necoplanare?
- a) $K L$ și $L M$
- b) $K L$ și $N M$
- c) $K L$ și $K^{'} L^{'}$
- d) $K L$ și $M M^{'}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $K L$ și $M M^{'}$

$K L$ e o muchie în baza de jos, iar $M M^{'}$ e verticală în colțul $M$ , care nu aparține dreptei $K L$ : nu au punct comun și au direcții diferite (orizontală vs. verticală) → necoplanare. Celelalte perechi sunt concurente ( $K L$ , $L M$ în $L$ ) sau paralele ( $K L$ – $N M$ , laturi opuse; $K L$ – $K^{'} L^{'}$ , muchii omoloage).
Două drepte $m$ și $n$ din spațiu sunt CONCURENTE (au un punct comun). Ce se poate afirma cu certitudine despre ele?
- a) Sunt automat coplanare, deoarece două drepte concurente determină un plan unic care le conține
- b) Sunt necoplanare
- c) Sunt paralele
- d) Nu se poate preciza dacă sunt coplanare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Sunt automat coplanare, deoarece două drepte concurente determină un plan unic care le conține

Două drepte concurente determină un plan unic care le conține pe amândouă (planul dus prin punctul lor comun și prin cele două direcții) — deci concurentele sunt întotdeauna un caz particular de drepte coplanare.

Întrebări conexe

Câte perechi de muchii necoplanare pot arăta pe un cub?

Fiecare muchie este necoplanară cu patru dintre celelalte, cele care nu o ating și nu merg în aceeași direcție. Cu douăsprezece muchii în total ies douăzeci și patru de perechi, numărând fiecare pereche o singură dată.

Ce plan conțin două drepte care se taie?

Unul singur, determinat chiar de ele. Punctul comun și încă un punct de pe fiecare dreaptă dau trei puncte necoliniare, iar acestea fixează planul. De aceea două drepte care se taie sunt întotdeauna coplanare.

Cum arăt că două muchii ale unui corp sunt paralele?

Cauți fața pe care se află amândouă și folosești proprietățile acelei figuri plane. La un cub, două muchii opuse ale aceleiași fețe sunt laturi opuse ale unui pătrat, deci paralele. Fără o față comună, demonstrația cere alt drum.

Prin ce diferă situația din spațiu de cea din plan?

În plan există doar două posibilități, fiindcă orice două drepte încap oricum în aceeași suprafață. În spațiu apare a treia, cea a dreptelor care se ocolesc. Tocmai de aceea concluzia că lipsa punctelor comune înseamnă paralelism nu se mai poate trage.

Cum desenez două drepte necoplanare pe hârtie?

Trasezi un corp de referință, de pildă o cutie, și îngroși două muchii care nu se ating și nu merg în aceeași direcție. Desenul plat singur ar induce în eroare, fiindcă liniile par să se intersecteze. Corpul dă adâncimea necesară.

Cum se numesc dreptele care au un singur punct comun?

Concurente, iar punctul acela se numește punct de intersecție. Ele se află întotdeauna în același plan. Dacă unghiul dintre ele este drept, li se spune în plus perpendiculare.

Oamenii mai întreabă și: poziții relative a două drepte în spațiu · drepte necoplanare · drepte coplanare · drepte concurente sau paralele · cum stau două drepte în spațiu