Când folosesc cmmdc și când cmmmc?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Probleme reale cu cmmdc și cmmmc

Prima întrebare este dacă rezultatul așteptat coboară sub valorile din enunț sau urcă peste ele. Când desfaci o cantitate pe care o ai deja în porții egale, cât se poate de mari, calculezi cmmdc. Când două lucruri se repetă din timp în timp și cauți momentul în care se suprapun din nou, calculezi cmmmc. Panglicile de 20 și de 28 de metri tăiate în bucăți egale cer cmmdc, adică 4 metri; două autobuze plecate din 18 și din 24 de minute cer cmmmc, adică 72 de minute.

Multe probleme din viața reală se rezolvă cu $cmmdc$ sau $cmmmc$ , în funcție de ce se întâmplă în situația dată.

cmmdc — pentru grupare/împărțire a unor cantități existente în părți egale cât mai mari, fără rest. Indiciu: „cel mai mare", „grupez", „tai". Rezultatul este mai mic sau egal cu numerele date.
cmmmc — pentru evenimente care se repetă periodic și te întrebi când se întâlnesc din nou, sau cel mai mic număr care se împarte exact la mai multe numere. Indiciu: „din x în x", „se întâlnesc", „cel mai mic care intră exact". Rezultatul este mai mare sau egal cu numerele date.

Exemplu. O croitoreasă are 20 m și 28 m de panglică; vrea bucăți identice, cât mai lungi, fără rest. Este cmmdc: divizorii lui 20 sunt $1, 2, 4, 5, 10, 20$ , iar ai lui 28 sunt $1, 2, 4, 7, 14, 28$ ; divizorii comuni sunt $1, 2, 4$ , deci $cmmdc (20, 28) = 4$ . O bucată are 4 m.

Pașii mereu aceiași: recunoști familia, modelezi, calculezi prin enumerarea divizorilor sau a multiplilor, apoi interpretezi răspunsul cu cuvinte, în contextul problemei.

De reținut

grupare, tăiere, părți egale cât mai mari: cmmdc
repetare periodică, întâlnire, cel mai mic care intră exact: cmmmc
rezultatul de la cmmdc nu depășește numerele din enunț, iar cel de la cmmmc nu coboară sub ele
răspunsul se scrie cu cuvinte, în contextul problemei

Greșeala tipică

Se calculează corect, dar se răspunde cu numărul gol, fără să se spună ce reprezintă el. Un 12 nu este răspuns; 12 coșulețe cu câte 5 mere și 3 portocale fiecare este.

Exerciții din această mini-lecție

Un grădinar are 45 de trandafiri și 27 de lalele. Vrea să facă buchete identice, fiecare cu același număr de trandafiri și același număr de lalele, fără flori rămase, în număr maxim de buchete. Ce metodă folosești și care este numărul maxim de buchete?
- a) cmmmc; 135 buchete
- b) cmmdc; 9 buchete
- c) cmmdc; 15 buchete
- d) cmmmc; 9 buchete
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) cmmdc; 9 buchete

Grupăm cantități existente în părți egale cât mai mari, fără rest → cmmdc. Enumerăm divizorii: ai lui 45 sunt $1, 3, 5, 9, 15, 45$ , iar ai lui 27 sunt $1, 3, 9, 27$ . Divizorii comuni sunt $1, 3, 9$ , iar cel mai mare este $9$ . Deci sunt 9 buchete, fiecare cu $45 : 9 = 5$ trandafiri și $27 : 9 = 3$ lalele.
La un depozit sunt 96 de cutii de suc și 72 de cutii de apă. Se formează paleți identici, fiecare cu același număr de cutii de suc și același număr de cutii de apă, fără rest, folosind numărul maxim de paleți. Câte cutii în total (suc și apă) sunt pe UN palet?
- a) 24 de cutii
- b) 4 cutii
- c) 3 cutii
- d) 7 cutii
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) 7 cutii

Grupare maximă în părți egale → cmmdc(96, 72). Enumerăm divizorii comuni: $96$ și $72$ se împart amândouă exact la $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ , iar cel mai mare este $24$ → 24 de paleți. Pe fiecare palet: $96 : 24 = 4$ cutii de suc și $72 : 24 = 3$ cutii de apă, deci $4 + 3 = 7$ cutii în total. Atenție: întrebarea cere totalul pe un palet, nu numărul de paleți (24) și nici doar un tip de cutie (4 sau 3).
Un cofetar are 60 de mere și 36 de portocale. Vrea să facă coșulețe identice, fiecare cu același număr de mere și același număr de portocale, fără fructe rămase, în număr maxim de coșulețe. Ce metodă folosești și câte coșulețe obții?
- a) cmmmc; 180 coșulețe
- b) cmmdc; 42 coșulețe
- c) cmmdc; 12 coșulețe
- d) cmmdc; 22 coșulețe
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) cmmdc; 12 coșulețe

Grupăm cantități existente în părți egale cât mai mari, fără rest → cmmdc. Enumerăm divizorii: ai lui 60 sunt $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$ , iar ai lui 36 sunt $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ . Divizorii comuni sunt $1, 2, 3, 4, 6, 12$ , iar cel mai mare este $12$ . Deci sunt 12 coșulețe, fiecare cu $60 : 12 = 5$ mere și $36 : 12 = 3$ portocale. Variantele (b) și (d) sunt calcule greșite, iar (a) confundă metoda — cmmmc(60,36)=180, un număr prea mare pentru o grupare din cantități existente.

Întrebări conexe

Cum aflu câte flori intră într-un buchet?

Împarți fiecare cantitate la numărul de buchete. La 45 de trandafiri și 27 de lalele, cmmdc este 9, deci ies 9 buchete cu $45 : 9 = 5$ trandafiri și $27 : 9 = 3$ lalele fiecare. Enunțul cere uneori numărul de buchete, alteori câte flori sunt într-unul singur.

Cum împart o cameră de 240 pe 180 cm în plăci pătrate?

Latura plăcii este cel mai mare divizor comun al celor două lungimi. Din $240 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5$ și $180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$ păstrezi factorii comuni la puterea cea mai mică și obții $60$ cm. Pe lungime intră patru plăci, pe lățime trei, deci 12 plăci întregi.

Ce înseamnă că nu rămâne rest într-o problemă?

Înseamnă că împărțirea se face exact, deci numărul de grupe este divizor al cantității. Dacă din 96 de cutii rămâneau câteva pe dinafară, gruparea nu ar fi respectat enunțul. De aceea se caută printre divizorii comuni, nu printre numere alese la întâmplare.

Cum îmi dau seama din enunț că se cere cmmmc?

Cauți cuvinte care arată o repetare la intervale: „din câte în câte”, „când se întâlnesc din nou”, „prima dată când coincid”. Dacă în schimb se cere o tăiere în bucăți la fel de mari sau o grupare fără rest, atunci enunțul duce la cmmdc.

Ce formulă leagă cmmdc de cmmmc?

Produsul celor două numere este egal cu produsul dintre cmmdc și cmmmc: pentru 12 și 18 ies $12 \cdot 18 = 216$ , iar $6 \cdot 36 = 216$ . Așa poți afla una dintre ele când o cunoști pe cealaltă, fără să mai enumeri liste.

Ce fac dacă enunțul cere câte obiecte sunt într-un grup?

Calculezi întâi numărul de grupe, cu cmmdc, apoi împarți cantitatea la el. La 96 de sucuri și 72 de ape grupate în 24 de paleți ies $96 : 24 = 4$ sucuri și $72 : 24 = 3$ ape, adică 7 cutii pe un palet. Răspunsul cerut nu este mereu numărul calculat prima dată.

Oamenii mai întreabă și: cmmdc sau cmmmc · când se folosește cmmmc · probleme cu cmmdc și cmmmc · cum știu dacă folosesc cmmdc sau cmmmc · cmmdc și cmmmc în probleme