Ce este o progresie geometrică și rația?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Progresia geometrică și rația

Este șirul construit înmulțind mereu cu același număr termenul dinainte; acel factor constant poartă numele de rație și se notează cu $q$ . Rația se află împărțind un termen la cel dinaintea lui: în $3$ , $6$ , $12$ , $24$ ea este $2$ , iar în $80$ , $40$ , $20$ este $\frac{1}{2}$ . Niciun termen nu are voie să fie zero și nici rația, altfel raportul nu s-ar mai putea calcula. Pentru $q$ negativ, semnele termenilor alternează.

O progresie geometrică este un șir în care fiecare termen se obține din cel dinaintea lui înmulțind mereu cu același număr. Numărul acela se numește rație și se notează $q$ : $b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$ .

Rația se află împărțind doi termeni vecini: $q = \frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ . În șirul $3, 6, 12, 24$ avem $q = 2$ ; în $80, 40, 20$ avem $q = \frac{1}{2}$ .

Ca împărțirea să aibă sens, primul termen și rația trebuie să fie nenule. Dacă un termen ar fi $0$ , toți cei de după el ar fi tot $0$ și rația n-ar mai putea fi calculată.

Semnul și mărimea rației spun cum arată șirul: pentru $q > 1$ creșterea se accelerează, pentru $0 < q < 1$ termenii se apropie tot mai lent de zero, iar pentru $q < 0$ semnele alternează — de exemplu $2, - 6, 18, - 54$ are $q = - 3$ .

Proprietatea termenului din mijloc este aici cu pătrat: $b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}$ . Iar când problema dă produsul a trei termeni consecutivi, scrie-i sub forma $\frac{b}{q}$ , $b$ , $b \cdot q$ — produsul devine $b^{3}$ și $q$ dispare.

De reținut

$b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$
$q = \frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ , adică termenul nou împărțit la cel dinainte
$b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}$

Greșeala tipică

Rația este calculată împărțind termenul mai vechi la cel nou, deci iese răsturnată, $\frac{1}{2}$ în locul lui $2$ . Se împarte mereu termenul de rang mai mare la cel dinaintea lui.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele șiruri este progresie geometrică?
- a) $2, 5, 8, 11$
- b) $1, 3, 9, 27$
- c) $2, 4, 6, 12$
- d) $5, 10, 15, 20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1, 3, 9, 27$

La $1, 3, 9, 27$ fiecare termen este de $3$ ori mai mare decât cel dinainte, deci $q = 3$ . Șirurile $2, 5, 8, 11$ și $5, 10, 15, 20$ sunt aritmetice, iar la $2, 4, 6, 12$ rapoartele sunt $2$ , $1, 5$ și $2$ — nu toate egale.
Cât este rația progresiei geometrice $162, 54, 18, 6, \dots$ ?
- a) $- 3$
- b) $3$
- c) $\frac{1}{3}$
- d) $\frac{1}{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{1}{3}$

Rația se obține împărțind un termen la cel dinaintea lui: $\frac{54}{162} = \frac{1}{3}$ . Șirul scade, deci rația trebuie să fie subunitară — $3$ ar fi ieșit dacă împărțeam invers.
Într-o progresie geometrică, $b_{2} = 12$ și $b_{3} = 36$ . Cât este $b_{1}$ ?
- a) $3$
- b) $4$
- c) $6$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4$

Rația: $q = \frac{36}{12} = 3$ . Un pas înapoi înseamnă împărțire: $b_{1} = \frac{12}{3} = 4$ . Verificare: $4, 12, 36$ .

Întrebări conexe

Ce formă comodă au trei termeni consecutivi cu produsul dat?

Îi scrii ca $\frac{b}{q}$ , $b$ , $b \cdot q$ . Produsul lor devine $b^{3}$ , iar rația dispare, deci termenul din mijloc se află direct. Dacă produsul este $216$ , atunci $b = 6$ , iar celelalte date din problemă dau apoi rația.

Cum completez un termen lipsă dintr-o progresie geometrică?

Folosești relația $b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}$ : pătratul termenului din mijloc este produsul vecinilor. În șirul $4$ , $x$ , $25$ obții $x^{2} = 100$ , deci $x = 10$ sau $x = - 10$ , iar semnul se alege după restul șirului.

Ce se întâmplă cu termenii dacă rația este între 0 și 1?

Termenii scad și se apropie tot mai mult de zero, fără să îl atingă vreodată. Din $80$ cu rația $\frac{1}{2}$ ies $40$ , $20$ , $10$ , $5$ și tot așa. Scăderea este rapidă la început și tot mai lentă pe urmă.

Ce progresie descrie o populație care se dublează?

Una geometrică, cu rația $2$ . Dacă la început sunt $500$ de indivizi, se ajunge la $1000$ , $2000$ , $4000$ și tot așa. Creșterea nu este cu aceeași cantitate, ci cu același factor, ceea ce o face mult mai rapidă decât una aritmetică.

Cum se comportă o progresie geometrică cu rația mai mare ca 1?

Termenii cresc din ce în ce mai repede, fiindcă fiecare pas înmulțește o valoare deja mai mare. Din $2$ cu rația $3$ ies $6$ , $18$ , $54$ , $162$ . Diferența față de un șir aritmetic devine uriașă după numai câțiva pași.

De ce puterile lui 2 formează o progresie geometrică?

Pentru că fiecare putere se obține din cea dinainte prin înmulțire cu $2$ : $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ . Raportul a doi termeni vecini este mereu $2$ , deci rația este constantă. La fel se comportă puterile oricărui număr nenul.

Oamenii mai întreabă și: progresie geometrică · rația progresiei geometrice · rație progresie geometrică · cum aflu rația q · șir cu raport constant