Cum raționalizez numitorul unei fracții?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Radicali: proprietăți și conjugate

Amplifici fracția cu o expresie aleasă astfel încât la numitor radicalii să dispară. Când numitorul are forma unei sume sau diferențe cu radicali, folosești conjugata, adică aceeași expresie cu semnul din mijloc schimbat, fiindcă produsul lor dă o diferență de pătrate. Din $\frac{4}{3 - 5}$ obții $\frac{4 ( 3 + 5 )}{9 - 5}$ , adică $3 + 5$ .

Totul pornește din două definiții: pentru $a \geq 0$ , $a$ este unicul număr nenegativ cu pătratul $a$ ; pentru orice $a$ real, $3 a$ este unicul număr cu cubul $a$ . De aici rezultă $a^{2} = ∣ a ∣$ (nu $a$ !), în timp ce $3 a^{3} = a$ , fără modul, pentru orice $a$ .

Proprietățile produsului și câtului, $a \cdot b = a \cdot b$ și $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ , cer $a, b \geq 0$ (respectiv $b > 0$ ); la ordinul 3 aceleași formule merg fără nicio condiție. Scoaterea factorilor de sub radical caută pătrate perfecte (ordin 2) sau cuburi perfecte (ordin 3): $72 = 62$ . Radicalii se adună doar dacă sunt asemenea.

Cea mai folosită identitate este cea a expresiilor conjugate: $(a - b) (a + b) = a - b$ , care scapă complet de radicali. Ea stă la baza raționalizării numitorului (amplificare cu conjugata) și a sumelor telescopice, de tipul $\frac{1}{k + k + 1} = k + 1 - k$ , folosite des la exerciții „arătați că numărul este natural". Conjugatele mai rezolvă comparări fine între numere iraționale apropiate: pentru a compara $3 - 2$ cu $101 - 100$ , rescriem fiecare diferență ca $\frac{1}{a + b}$ — numărătorii sunt egali, iar numitorul mai mare dă fracția mai mică. La radicalul de ordinul 3, raționalizarea amplifică astfel încât la numitor să se completeze un cub perfect, de exemplu $\frac{5}{3 25} = \frac{5 3 5}{3 125} = 35$ .

De reținut

$a^{2} = ∣ a ∣$ , iar $3 a^{3} = a$
$(a - b) (a + b) = a - b$
radicalii se adună doar dacă sunt asemenea

Greșeala tipică

Se scrie că radicalul dintr-o sumă ar fi suma radicalilor, ceea ce nu este adevărat; proprietatea funcționează doar la produs și la cât, nu la adunare sau scădere.

Exerciții din această mini-lecție

Scoțând factorii de sub radical (ca produs de pătrate perfecte, ca în lecție), cât este $72$ ?
- a) $62$
- b) $83$
- c) $38$
- d) $362$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $62$

Descompunem $72 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2$ , deci $72 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2 = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 62$ .
Folosind identitatea conjugatelor, cât este $(23 - 5) (23 + 5)$ ?
- a) $7$
- b) $1$
- c) $17$
- d) $- 7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $7$

Produsul conjugatelor este o diferență de pătrate: $(23)^{2} - (5)^{2} = 4 \cdot 3 - 5 = 12 - 5 = 7$ .
Raționalizați numitorul expresiei $\frac{4}{3 - 5}$ .
- a) $3 + 5$
- b) $\frac{3 + 5}{4}$
- c) $12 + 45$
- d) $3 - 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3 + 5$

Amplificăm cu conjugata $3 + 5$ : $\frac{4 ( 3 + 5 )}{( 3 - 5 ) ( 3 + 5 )} = \frac{4 ( 3 + 5 )}{9 - 5} = 3 + 5$ .

Întrebări conexe

Cât face radical din 8 scris cât mai simplu?

Descompui numărul de sub radical căutând pătrate: $8 = 4 \cdot 2$ , iar patru iese ca doi. Rezultatul este $22$ . Aceeași metodă dă $72 = 62$ , fiindcă $72 = 36 \cdot 2$ , iar șase iese în față. Scoaterea factorilor scurtează orice calcul cu radicali.

Cum înmulțesc doi radicali cu ordine diferite?

Îi aduci la același ordin, scriindu-i ca puteri cu exponent fracționar și folosind cel mai mic multiplu comun al ordinelor. Astfel $2 \cdot 32$ devine radical de ordinul șase din $2^{3} \cdot 2^{2}$ , adică din $32$ . La ordin par, numerele de sub radical trebuie să fie nenegative.

Cum compar radical din 3 cu radical de ordinul 3 din 5?

Îi ridici pe amândoi la puterea a șasea, adică la cel mai mic multiplu comun al ordinelor. Primul dă $27$ , al doilea dă $25$ . Cum ridicarea la putere păstrează ordinea la numere pozitive, primul număr este mai mare.

De ce produsul unei expresii cu conjugata ei nu mai are radicali?

Fiindcă se obține o diferență de pătrate, iar pătratul desface radicalul de ordinul doi. Din suma și diferența acelorași doi termeni rămâne primul la pătrat minus al doilea la pătrat, deci numere fără radicali. Pe asta se sprijină toată raționalizarea.

Cum introduc un număr sub radical?

Ridici numărul la puterea egală cu ordinul radicalului și îl înmulțești cu ce se află deja sub radical. Astfel $32$ devine radicalul din $9 \cdot 2$ , adică din $18$ . La ordin par, numărul introdus trebuie să fie nenegativ, altfel semnul se pierde.

Cum adun doi radicali care au același număr sub radical?

Îi tratezi ca termeni asemenea și aduni doar coeficienții din față. Astfel doi radicali din cinci plus trei radicali din cinci fac cinci radicali din cinci. Dacă numerele de sub radical diferă, adunarea se poate face doar după scoaterea factorilor, când apare același radical.

Oamenii mai întreabă și: raționalizarea numitorului · cum scap de radical de la numitor · amplificare cu conjugata · fracție cu radical la numitor