Cum calculez raza cercului înscris?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Razele cercurilor înscris și circumscris

Orice triunghi are două cercuri „ale sale”, iar confundarea lor este prima sursă de erori. Cercul înscris este tangent celor trei laturi, are centrul $I$ la intersecția bisectoarelor și raza $r$. Cercul circumscris trece prin cele trei vârfuri, are centrul $O$ la intersecția mediatoarelor laturilor și raza $R$.

Unind $I$ cu vârfurile, triunghiul se descompune în trei triunghiuri care au toate înălțimea $r$; adunând ariile lor obții $\mathcal{S}=p\cdot r$, unde $p=\frac{a+b+c}{2}$ este semiperimetrul, deci $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$.

Pornind de la $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$ și înlocuind $\sin C=\frac{c}{2R}$ din teorema sinusurilor, obții $\mathcal{S}=\frac{abc}{4R}$, adică $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$.

Din trei laturi afli totul, în patru pași: existența triunghiului, semiperimetrul $p$, aria cu formula lui Heron $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, apoi cele două raze. Dacă însă cunoști o latură și unghiul opus ei, drumul scurt spre $R$ este $\frac{a}{2\sin A}$.

Cazuri particulare de reținut: în triunghiul dreptunghic $r=\frac{b+c-a}{2}$ și $R=\frac{a}{2}$, pentru că ipotenuza este diametrul; în cel echilateral de latură $\ell$, $r=\frac{\ell \sqrt{3}}{6}$ și $R=\frac{\ell \sqrt{3}}{3}$.

Controlul final gratuit este inegalitatea lui Euler, $R\ge 2r$, cu egalitate numai la triunghiul echilateral: dacă îți iese $R<2r$, sigur ai greșit undeva.

De reținut

• $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$, cu $p$ semiperimetrul
• $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$
• în triunghiul dreptunghic $R$ este jumătate din ipotenuză
• control rapid: $R\ge 2r$

Greșeala tipică

Centrele celor două cercuri se confundă, iar raza înscrisă este căutată la intersecția mediatoarelor; bisectoarele dau centrul cercului dinăuntru, mediatoarele pe cel al cercului din afară.

Exerciții din această mini-lecție

1. Centrul cercului înscris într-un triunghi este punctul de intersecție al:

   • a) bisectoarelor unghiurilor triunghiului
   • b) mediatoarelor laturilor triunghiului
   • c) medianelor triunghiului
   • d) înălțimilor triunghiului
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) bisectoarelor unghiurilor triunghiului

   Cercul înscris este tangent celor trei laturi, deci centrul lui este egal depărtat de laturi — proprietate a punctelor de pe bisectoare. Intersecția mediatoarelor dă centrul $O$ al cercului circumscris (egal depărtat de vârfuri), medianele dau centrul de greutate, iar înălțimile ortocentrul. Reține perechile: înscris — laturi — bisectoare — $r$ și circumscris — vârfuri — mediatoare — $R$.

2. Triunghiul $ABC$ are laturile $6$, $8$ și $10$. Cât este raza cercului circumscris?

   • a) $R=4$
   • b) $R=6$
   • c) $R=5$
   • d) $R=2,5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $R=5$

   Cum $6^2+8^2=36+64=100=10^2$, triunghiul este dreptunghic, iar ipotenuza este diametrul cercului circumscris: $R=\frac{10}{2}=5$. Verificare cu formula generală: $\mathcal{S}=\frac{6\cdot 8}{2}=24$, deci $R=\frac{6\cdot 8\cdot 10}{4\cdot 24}=\frac{480}{96}=5$ ✓.

3. Un triunghi dreptunghic are catetele $9$ și $12$. Cât este raza cercului înscris?

   • a) $r=1,5$
   • b) $r=4,5$
   • c) $r=6$
   • d) $r=3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $r=3$

   Ipotenuza este $\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$. Cu formula scurtă pentru triunghiul dreptunghic, $r=\frac{b+c-a}{2}=\frac{9+12-15}{2}=3$. Verificare pe drumul general: $\mathcal{S}=\frac{9\cdot 12}{2}=54$ și $p=\frac{9+12+15}{2}=18$, deci $r=\frac{54}{18}=3$ ✓.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: formula razei cercului înscris · cum aflu raza cercului înscris · raza înscrisă din arie și semiperimetru · cercul înscris într-un triunghi