Un triunghi are date trei laturi $$a$$, $$b$$, $$c$$ (fără niciun unghi cunoscut). Ce caz de rezolvare este acesta și cu ce teoremă se începe?

Cazul LLL, cu teorema cosinusului pentru primele două unghiuri

Cazul ULU, cu teorema sinusurilor

Cazul LUL, cu teorema cosinusului pentru a treia latură

Cazul LLU, cu teorema sinusurilor și discuție

De ce este preferabil, la aflarea unui unghi al unui triunghi, să folosești teorema cosinusului în locul teoremei sinusurilor?

Pentru că semnul cosinusului distinge unghiul ascuțit de cel obtuz, în timp ce sinusul nu deosebește un unghi de suplementarul lui

Pentru că teorema cosinusului nu implică rădăcini pătrate

Pentru că teorema sinusurilor nu se poate aplica niciodată la unghiuri obtuze

Pentru că cosinusul dă rezultate exclusiv în grade întregi

Care dintre următoarele NU este una dintre cele trei verificări recomandate după rezolvarea unui triunghi?

Aria triunghiului este mai mare decât perimetrul său

Suma unghiurilor este $$180^\circ$$

Cea mai mare latură se opune celui mai mare unghi

Fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două

Ce înseamnă să rezolvi un triunghi?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Rezolvarea triunghiurilor: cazuri și strategie

Înseamnă să afli toate cele șase mărimi ale figurii, adică laturile împreună cu unghiurile, plecând de la trei informații, printre care trebuie să apară măcar o lungime. Trei unghiuri singure nu ajung, fiindcă fixează doar forma, nu și mărimea. Alegerea instrumentului se face după o singură întrebare: ai deja o latură împreună cu unghiul din fața ei?

A rezolva un triunghi înseamnă a afla toate cele șase elemente — laturile $a, b, c$ și unghiurile $A, B, C$ — pornind de la trei date, dintre care cel puțin una trebuie să fie o latură (unghiurile singure fixează doar forma, prin asemănare). Datele se împart în patru cazuri: LLL (trei laturi), LUL (două laturi și unghiul dintre ele), ULU/LUU (o latură și două unghiuri) și LLU (două laturi și un unghi care nu e între ele).

Alegerea uneltei se decide printr-o singură întrebare: există o pereche completă latură–unghi opus? Dacă da, pornește teorema sinusurilor (ULU, LUU, LLU); dacă nu, teorema cosinusului (LLL, LUL). La aflarea unghiurilor este preferabil cosinusul, pentru că semnul lui distinge unghiul ascuțit de cel obtuz — sinusul nu deosebește un unghi de suplementarul său.

Cazul LLU cere o discuție: cu $h = b sin A$ și unghiul $A$ ascuțit, avem nicio soluție dacă $a < h$ , o soluție dacă $a = h$ sau $a \geq b$ , și două soluții dacă $h < a < b$ ; dacă $A$ este drept sau obtuz, soluție există (și e unică) doar când $a > b$ . Aceeași discuție reiese algebric din teorema cosinusului privită ca ecuație de gradul al doilea în latura necunoscută, prin semnele sumei și produsului rădăcinilor (Viète).

Orice rezolvare se verifică prin trei controale: suma unghiurilor $18 0^{\circ}$ , latura cea mai mare opusă unghiului cel mai mare și inegalitatea triunghiului.

De reținut

ai nevoie de trei elemente, printre care măcar o lungime
cu pereche latură-unghi opus: teorema sinusurilor; fără ea: teorema cosinusului
verifici cu suma unghiurilor, ordinea latură-unghi și inegalitatea triunghiului

Greșeala tipică

Unghiurile se caută cu sinusul, iar unul obtuz este luat drept ascuțit; folosește cosinusul, al cărui semn negativ arată fără dubiu un unghi mai mare decât cel drept.

Exerciții din această mini-lecție

Un triunghi are date trei laturi $a$ , $b$ , $c$ (fără niciun unghi cunoscut). Ce caz de rezolvare este acesta și cu ce teoremă se începe?
- a) Cazul ULU, cu teorema sinusurilor
- b) Cazul LUL, cu teorema cosinusului pentru a treia latură
- c) Cazul LLL, cu teorema cosinusului pentru primele două unghiuri
- d) Cazul LLU, cu teorema sinusurilor și discuție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Cazul LLL, cu teorema cosinusului pentru primele două unghiuri

Cu trei laturi cunoscute suntem în cazul LLL. Nu există nicio pereche latură–unghi opus, deci teorema sinusurilor nu poate porni; se aplică teorema cosinusului de două ori (pentru două unghiuri), iar al treilea unghi rezultă din suma $18 0^{\circ}$ .
De ce este preferabil, la aflarea unui unghi al unui triunghi, să folosești teorema cosinusului în locul teoremei sinusurilor?
- a) Pentru că teorema cosinusului nu implică rădăcini pătrate
- b) Pentru că semnul cosinusului distinge unghiul ascuțit de cel obtuz, în timp ce sinusul nu deosebește un unghi de suplementarul lui
- c) Pentru că teorema sinusurilor nu se poate aplica niciodată la unghiuri obtuze
- d) Pentru că cosinusul dă rezultate exclusiv în grade întregi
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Pentru că semnul cosinusului distinge unghiul ascuțit de cel obtuz, în timp ce sinusul nu deosebește un unghi de suplementarul lui

Cosinusul unui unghi este negativ exact pentru unghiurile obtuze, deci determină unghiul fără ambiguitate pe $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ . Sinusul, în schimb, satisface $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ , așa că $sin C = k$ poate corespunde fie unui unghi ascuțit, fie suplementarului său obtuz.
Care dintre următoarele NU este una dintre cele trei verificări recomandate după rezolvarea unui triunghi?
- a) Suma unghiurilor este $18 0^{\circ}$
- b) Cea mai mare latură se opune celui mai mare unghi
- c) Fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două
- d) Aria triunghiului este mai mare decât perimetrul său
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) Aria triunghiului este mai mare decât perimetrul său

Cele trei controale standard sunt: suma unghiurilor $18 0^{\circ}$ , ordinea latură-unghi (latura cea mai mare opusă unghiului cel mai mare) și inegalitatea triunghiului. Compararea ariei cu perimetrul nu are sens dimensional și nu figurează printre verificări.

Întrebări conexe

Ce date îmi trebuie ca să pot rezolva un triunghi?

Îți trebuie trei elemente, printre care măcar o lungime de latură. Cu trei unghiuri obții o infinitate de triunghiuri asemenea, deci mărimea rămâne nedeterminată. Combinațiile posibile sunt trei laturi, două laturi cu un unghi sau o latură cu două unghiuri.

Cum rezolv un triunghi când știu cele trei laturi?

Nu ai nicio pereche completă, deci pornești cu teorema cosinusului, aplicată de două ori, pentru două dintre unghiuri. Al treilea unghi iese din suma de $18 0^{\circ}$ . Semnul cosinusului îți spune direct dacă unghiul este ascuțit sau obtuz.

Cum rezolv un triunghi când știu două laturi și unghiul dintre ele?

Afli a treia latură cu teorema cosinusului, apoi cauți unghiurile rămase. Este mai sigur să continui tot cu cosinusul, fiindcă sinusul nu deosebește un unghi de suplementarul lui. Ultimul unghi se obține prin scădere din $18 0^{\circ}$ .

Cum rezolv un triunghi când știu o latură și două unghiuri?

Completezi al treilea unghi din suma de $18 0^{\circ}$ , apoi aplici teorema sinusurilor de două ori, pentru celelalte laturi. Este cazul cel mai comod, fiindcă răspunsul este mereu unul singur. Verifici la final ordinea dintre laturi și unghiuri.

Ce fac dacă datele nu formează niciun triunghi?

Scrii că problema nu are soluție. Semnele sunt clare: un sinus care iese peste unu, o sumă de unghiuri care depășește $18 0^{\circ}$ sau o latură mai mare decât suma celorlalte două. Fiecare dintre ele arată că figura nu poate exista.

Oamenii mai întreabă și: rezolvarea unui triunghi oarecare · ce înseamnă a rezolva un triunghi · cazurile LLL, LUL, ULU și LLU · cum aflu toate laturile și unghiurile