Cum scriu un număr în baza 2?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Baza 2 și pătrate perfecte

Îl desfaci în sumă de puteri ale lui 2, luând de fiecare dată cea mai mare putere care încape, apoi pui cifra 1 acolo unde ai folosit o putere și 0 unde nu. Pentru 13 ies $8 + 4 + 1$ , deci scrierea este $110 1_{(2)}$ , fiindcă puterea 2 lipsește din sumă. Verificarea se face invers, adunând valorile pozițiilor cu cifra 1: $8 + 4 + 0 + 1$ dă înapoi 13.

În baza 2 (sistemul binar) se folosesc doar cifrele 0 și 1, iar pozițiile cifrelor sunt puterile lui 2: $2^{0} = 1, 2^{1} = 2, 2^{2} = 4, 2^{3} = 8, 2^{4} = 16, \dots$ . Pentru a citi un număr scris în baza 2, adunăm valorile pozițiilor unde apare cifra 1: $101 1_{(2)} = 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 11$ . Pentru a scrie un număr în baza 2, îl descompunem ca sumă de puteri ale lui 2, luând mereu cea mai mare putere care încape: $13 = 8 + 4 + 1$ , deci $13 = 110 1_{(2)}$ .

Un pătrat perfect este un număr de forma $n^{2}$ , cu $n$ număr natural: $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, \dots$ . Regulă utilă: un pătrat perfect se termină doar în $0, 1, 4, 5, 6$ sau $9$ ; dacă se termină în $2, 3, 7$ sau $8$ , sigur NU este pătrat perfect (însă terminația bună nu garantează — trebuie verificat pe listă).

De reținut

în baza 2 există doar cifrele 0 și 1
pozițiile sunt puterile lui 2: $1, 2, 4, 8, 16, \dots$
pătrat perfect: $n^{2}$ cu $n$ natural, adică $0, 1, 4, 9, 16, 25, \dots$
un pătrat perfect nu se termină niciodată în 2, 3, 7 sau 8

Greșeala tipică

Se ia terminația drept dovadă și se declară că 24 ar fi pătrat perfect, fiindcă se termină în 4. Ultima cifră poate doar respinge un număr, iar confirmarea cere căutarea lui pe lista pătratelor.

Exerciții din această mini-lecție

Ce număr din baza 10 reprezintă scrierea binară $1110 0_{(2)}$ ?
- a) 24
- b) 26
- c) 28
- d) 32
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 28

Pozițiile sunt $2^{4}, 2^{3}, 2^{2}, 2^{1}, 2^{0} = 16, 8, 4, 2, 1$ , iar cifrele sunt $1, 1, 1, 0, 0$ . Adunăm doar pozițiile cu cifra 1: $16 + 8 + 4 = 28$ .
Care dintre numerele $121$ , $168$ , $225$ , $400$ NU poate fi pătrat perfect, folosind doar regula ultimei cifre?
- a) 121
- b) 168
- c) 225
- d) 400
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 168

Ultima cifră a lui 168 este 8, iar un pătrat perfect nu se termină niciodată în 2, 3, 7 sau 8. Celelalte au ultima cifră 1, 5 și 0 (posibile) și chiar sunt pătrate perfecte: $121 = 1 1^{2}$ , $225 = 1 5^{2}$ , $400 = 2 0^{2}$ .
Ce număr din baza 10 reprezintă scrierea binară $1010 1_{(2)}$ ?
- a) 21
- b) 11
- c) 31
- d) 20
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 21

Pozițiile sunt $2^{4}, 2^{3}, 2^{2}, 2^{1}, 2^{0} = 16, 8, 4, 2, 1$ , iar cifrele sunt $1, 0, 1, 0, 1$ . Adunăm doar pozițiile cu cifra 1: $16 + 4 + 1 = 21$ . Varianta c) 31 apare dacă aduni toate puterile fără să ții cont care cifre sunt 0 ( $16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31$ ).

Întrebări conexe

Ce cifre se folosesc în baza 2?

Doar 0 și 1, nimic altceva. O scriere ca $12 0_{(2)}$ este greșită din start, fiindcă cifra 2 nu are ce căuta acolo. Numele bazei arată câte cifre are la dispoziție sistemul, deci baza 10 folosește zece cifre, de la 0 la 9.

Cum se citește $101 1_{(2)}$ ?

Cifrele se rostesc una câte una, urmate de precizarea bazei, nu ca pe un număr zecimal. Valoarea în baza obișnuită se află adunând pozițiile marcate cu 1: $8 + 2 + 1$ , adică 11. O citire de tipul o mie unsprezece duce imediat la un calcul greșit.

De la ce capăt se numără pozițiile unui număr binar?

De la dreapta spre stânga, iar prima poziție are exponentul 0, fiindcă $2^{0} = 1$ . Urmează 2, 4, 8, 16 și tot așa, dublându-se la fiecare pas. Cine începe numărătoarea din stânga obține un rezultat complet diferit.

Câte cifre are numărul 100 scris în baza 2?

Șapte, fiindcă $100 = 64 + 32 + 4$ , deci scrierea este $110010 0_{(2)}$ . Cea mai mare putere care încape este 64, iar de la ea în jos se completează pozițiile. Numerele binare sunt mult mai lungi decât cele zecimale, tocmai fiindcă au doar două cifre la dispoziție.

Se poate scrie un număr și în baza 5?

Da, folosind cifrele de la 0 la 4 și pozițiile $1, 5, 25, 125$ . Numărul 13 devine $2 3_{(5)}$ , fiindcă $13 = 2 \cdot 5 + 3$ . Orice bază mai mare decât 1 funcționează la fel, doar mărimea pozițiilor se schimbă.

Ce legătură are un pătrat perfect cu aria unui pătrat?

Un pătrat perfect este chiar aria unui pătrat cu latura un număr natural. Latura 7 dă aria 49, deci 49 este pătrat perfect. De aici vine și numele: numerele 1, 4, 9, 16 și 25 se pot așeza sub formă de pătrat din bile.

Oamenii mai întreabă și: scrierea în baza 2 · cum transform un număr în binar · numere în sistemul binar · baza 2 la matematică · cum scriu 13 în baza 2