Studiați semnul funcției $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^2-3x-10$$, și determinați pentru ce valori ale lui $$x$$ avem $$f(x)<0$$.

$$x\in(-\infty,-2)\cup(5,\infty)$$

$$x\in(-\infty,-2]\cup[5,\infty)$$

Studiați semnul funcției $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=-2x^2+x+3$$. Pentru ce valori ale lui $$x$$ este $$f(x)>0$$?

$$x\in\left(-1,\tfrac32\right)$$

$$x\in(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac32,\infty\right)$$

$$x\in\left(-\tfrac32,1\right)$$

Se dă funcția $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^2-10x+25$$. Care dintre afirmațiile despre semnul ei este corectă?

$$f(x)\ge 0$$ pentru orice $$x$$ real, cu egalitate doar în $$x=5$$

$$f(x)$$ este negativă pentru $$x 5$$

$$f(x)=0$$ pe tot intervalul $$(-\infty,5)$$

Cum stabilesc semnul funcției de gradul doi?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Semnul funcției de gradul doi pe grafic

Te uiți la coeficientul dominant și la discriminant. Când $Δ > 0$ , funcția are semnul lui $a$ în afara rădăcinilor și semn contrar între ele. Când $Δ = 0$ , păstrează semnul lui $a$ peste tot, afară de rădăcina dublă, unde se anulează. Când $Δ < 0$ , are semnul lui $a$ pe toată axa. Pentru $x^{2} - 3 x - 10$ rădăcinile sunt $- 2$ și $5$ , deci funcția iese negativă între ele.

Semnul funcției $f (x) = a x^{2} + b x + c$ (cu $a \neq = 0$ ) se citește pe grafic: $f (x) > 0$ când curba e deasupra axei $O x$ , $f (x) < 0$ când e **sub** ea, $f (x) = 0$ în punctele de intersecție. Totul se decide din semnul lui $a$ (orientarea ramurilor) și semnul discriminantului $Δ = b^{2} - 4 a c$ (numărul de rădăcini). Dacă $Δ > 0$ , cu rădăcinile ordonate $x_{1} < x_{2}$ : funcția are semnul lui $a$ pentru $x < x_{1}$ și $x > x_{2}$ (în afara rădăcinilor) și semn contrar lui $a$ pentru $x_{1} < x < x_{2}$ (între rădăcini), fiind nulă în $x_{1}$ și $x_{2}$ . Dacă $Δ = 0$ , cu rădăcina dublă $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ : funcția păstrează semnul lui $a$ pe tot $R ∖ {x_{0}}$ , iar în $x_{0}$ este nulă — parabola e tangentă la axă. Dacă $Δ < 0$ : funcția are **semnul lui $a$ pe tot $R$ **, fără excepție, pentru că parabola nu întâlnește deloc axa. Rezultatele se strâng într-un **tabel de semn**, verificat mereu cu o valoare de probă. Condiția „ $f (x) > 0$ pentru orice $x$ real” cere simultan $a > 0$ și $Δ < 0$ ; „ $f (x) < 0$ peste tot” cere $a < 0$ și $Δ < 0$ .

De reținut

$Δ > 0$ : semnul lui $a$ în afara rădăcinilor, contrar între ele
$Δ = 0$ : semnul lui $a$ peste tot, zero în rădăcina dublă
$Δ < 0$ : semnul lui $a$ pe tot $R$
pozitivă mereu $⟺ a > 0$ și $Δ < 0$

Greșeala tipică

Se trec rădăcinile în tabel în ordinea în care au ieșit din formulă, nu crescător, iar zonele de semn ies pe dos; ordonează întotdeauna rădăcinile înainte de a desena tabelul.

Exerciții din această mini-lecție

Studiați semnul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 3 x - 10$ , și determinați pentru ce valori ale lui $x$ avem $f (x) < 0$ .
- a) $x \in (- 2, 5)$
- b) $x \in (- \infty, - 2) \cup (5, \infty)$
- c) $x \in (- \infty, - 2] \cup [5, \infty)$
- d) $x \in [- 2, 5]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x \in (- 2, 5)$

$Δ = 9 + 40 = 49 > 0$ , iar rădăcinile sunt $x_{1, 2} = \frac{3 \pm 7}{2}$ , adică $x_{1} = - 2$ și $x_{2} = 5$ . Cum $a = 1 > 0$ , funcția are semnul lui $a$ (plus) în afara rădăcinilor și semn contrar (minus) între ele. Deci $f (x) < 0$ pentru $x \in (- 2, 5)$ . Control: $f (0) = - 10 < 0$ ✓ ( $0$ e între rădăcini); $f (6) = 36 - 18 - 10 = 8 > 0$ ✓ ( $6$ e în afara rădăcinilor).
Studiați semnul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x^{2} + x + 3$ . Pentru ce valori ale lui $x$ este $f (x) > 0$ ?
- a) $x \in (- 1, \frac{3}{2})$
- b) $x \in (- \infty, - 1) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$
- c) $x \in (- \frac{3}{2}, 1)$
- d) $x \in R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x \in (- 1, \frac{3}{2})$

$Δ = 1 + 24 = 25 > 0$ , iar rădăcinile sunt $x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{- 4}$ , adică $- 1$ și $\frac{3}{2}$ , ordonate $x_{1} = - 1 < x_{2} = \frac{3}{2}$ . Cum $a = - 2 < 0$ , semnul lui $a$ este minus, deci în afara rădăcinilor funcția e negativă, iar între rădăcini e pozitivă (semn contrar lui $a$ ). Deci $f (x) > 0$ pentru $x \in (- 1, \frac{3}{2})$ . Control: $f (0) = 3 > 0$ ✓ ( $0$ e între rădăcini); $f (2) = - 8 + 2 + 3 = - 3 < 0$ ✓ ( $2$ e în afara rădăcinilor).
Se dă funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 10 x + 25$ . Care dintre afirmațiile despre semnul ei este corectă?
- a) $f (x) > 0$ pentru orice $x$ real
- b) $f (x) \geq 0$ pentru orice $x$ real, cu egalitate doar în $x = 5$
- c) $f (x)$ este negativă pentru $x < 5$ și pozitivă pentru $x > 5$
- d) $f (x) = 0$ pe tot intervalul $(- \infty, 5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f (x) \geq 0$ pentru orice $x$ real, cu egalitate doar în $x = 5$

$Δ = 100 - 100 = 0$ , deci rădăcina dublă este $x_{0} = - \frac{- 10}{2} = 5$ , iar $f (x) = (x - 5)^{2}$ . Un pătrat este mereu $\geq 0$ , cu egalitate exact când baza e nulă, adică $x = 5$ . Deci $f (x) \geq 0$ pentru orice $x$ real, cu $f (5) = 0$ — parabola este tangentă la axa $O x$ în $x = 5$ , nu o traversează, deci nu își schimbă semnul (varianta c) e greșită), iar $f$ nu este identic nulă pe niciun interval (varianta d) e greșită).

Întrebări conexe

Ce semn are funcția de gradul doi în afara rădăcinilor?

Are exact semnul coeficientului dominant. Dacă acesta este pozitiv, valorile sunt pozitive și la stânga rădăcinii mici, și la dreapta celei mari. Dacă este negativ, în aceleași zone valorile sunt negative. Regula funcționează atunci când discriminantul este strict pozitiv.

Cum aflu unde este negativă funcția x la pătrat minus 5x plus 6?

Rădăcinile sunt $2$ și $3$ , iar coeficientul dominant este pozitiv, deci valorile negative apar între ele. Răspunsul este intervalul deschis $(2, 3)$ . Verifici cu un număr din interior: pentru $x = 2, 5$ obții $- 0, 25$ , deci semnul minus se confirmă.

Cum citesc semnul unei funcții pătratice direct de pe desen?

Cauți porțiunile în care curba se află deasupra axei orizontale: acolo valorile sunt pozitive. Unde curba coboară sub axă, valorile sunt negative, iar în punctele de întâlnire cu axa funcția se anulează. Practic, proiectezi pe axă bucata care te interesează.

De ce rădăcinile despart axa în trei zone de semn?

Între două rădăcini vecine funcția nu se mai anulează, deci nu are cum să treacă de la plus la minus fără să atingă axa. Așa rămân trei bucăți: la stânga rădăcinii mici, între rădăcini și la dreapta celei mari, fiecare cu un semn constant.

La ce folosește tabelul de semn într-o inecuație cu fracție?

Faci separat tabelul pentru numărător și pentru numitor, apoi le pui pe același desen și înmulțești semnele pe fiecare zonă. Valorile care anulează numitorul se scot din soluție, chiar dacă inegalitatea este nestrictă. Așa afli unde raportul are semnul cerut.

Oamenii mai întreabă și: semnul funcției de gradul 2 · tabelul de semn la gradul doi · când este pozitivă o funcție pătratică · semnul trinomului de gradul doi