Un șir definit prin relație de recurență este complet determinat doar dacă, pe lângă regula de trecere, se dau și:

termenii de pornire (atâția câți folosește regula)

Șirul lui Fibonacci ($$F_1=1$$, $$F_2=1$$, $$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$$) are nevoie de:

doi termeni de pornire, pentru că regula leagă fiecare termen de doi termeni anteriori

Cum se definește un șir prin recurență?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Șiruri: definire descriptivă, explicită, recurentă

Dai regula prin care fiecare termen îl produce pe următorul și, obligatoriu, termenii de pornire, atâția câți cere regula. La $a_{n + 1} = 3 a_{n}$ ajunge unul singur, iar la șirul lui Fibonacci, unde fiecare termen este suma celor doi dinainte, sunt necesari doi. Fără valorile de start, regula descrie o mulțime întreagă de șiruri, nu unul anume. Ca să ajungi la o formulă directă, calculezi termeni, ghicești forma și o confirmi prin inducție.

Un șir de numere reale este o funcție $f : N^{*} \to R$ , notată $(a_{n})_{n \geq 1}$ , unde $a_{n} = f (n)$ este termenul de rang $n$ . Un șir se poate defini în trei feluri: descriptiv (se spune în cuvinte ce reprezintă termenii, de exemplu „al $n$ -lea număr prim”), prin formula termenului general (o expresie în $n$ , de exemplu $a_{n} = 3 n - 1$ ) sau prin relație de recurență (regula de trecere de la un termen la următorul, plus termenii de pornire).

O definiție prin recurență este completă numai împreună cu termenii de pornire — atâția câți termeni anteriori folosește regula: unul singur la $a_{n + 1} = f (a_{n})$ , doi la șirul lui Fibonacci ( $F_{1} = F_{2} = 1$ , $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ ), pentru că regula leagă fiecare termen de doi termeni dinainte. Progresiile aritmetică și geometrică sunt cazuri particulare de șiruri recurente: $a_{n + 1} = a_{n} + r$ , respectiv $b_{n + 1} = b_{n} q$ .

Trecerea de la recurență la formula explicită urmează tiparul: calculezi termeni → conjecturezi formula → demonstrezi prin inducție, folosind chiar recurența în pasul inductiv. Conjectura, oricâți termeni ar acoperi, nu este demonstrație — de aceea formula trebuie confirmată riguros.

De reținut

recurența cere regula plus termenii de pornire
șirul lui Fibonacci are nevoie de două valori de start
formula ghicită se confirmă prin inducție

Greșeala tipică

Se scrie doar regula, de exemplu $a_{n + 1} = 3 a_{n}$ , și se crede că șirul este determinat. Fără primul termen, aceeași regulă descrie o infinitate de șiruri diferite.

Exerciții din această mini-lecție

Un șir definit prin relație de recurență este complet determinat doar dacă, pe lângă regula de trecere, se dau și:
- a) formula termenului general
- b) termenii de pornire (atâția câți folosește regula)
- c) limita șirului
- d) rangul maxim al șirului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) termenii de pornire (atâția câți folosește regula)

Regula de recurență, singură, descrie o infinitate de șiruri diferite — de exemplu $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ e satisfăcută și de $1, 2, 4, \dots$ , și de $5, 10, 20, \dots$ . Doar termenii de pornire (atâția câți termeni anteriori folosește regula) aleg unul singur dintre ele.
Șirul lui Fibonacci ( $F_{1} = 1$ , $F_{2} = 1$ , $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ ) are nevoie de:
- a) un singur termen de pornire
- b) doi termeni de pornire, pentru că regula leagă fiecare termen de doi termeni anteriori
- c) trei termeni de pornire
- d) niciun termen de pornire
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) doi termeni de pornire, pentru că regula leagă fiecare termen de doi termeni anteriori

Regula $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ folosește doi termeni anteriori pentru a calcula termenul următor, deci sunt necesari exact doi termeni de pornire, $F_{1}$ și $F_{2}$ , ca lanțul să poată porni.
Pentru șirul $a_{1} = 1$ , $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ , formula explicită demonstrată prin inducție este:
- a) $a_{n} = 2^{n} - 3$
- b) $a_{n} = 2^{n + 1} - 3$
- c) $a_{n} = 2^{n} + 3$
- d) $a_{n} = 3 \cdot 2^{n} - 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a_{n} = 2^{n + 1} - 3$

Verificăm: pentru $n = 1$ , formula dă $2^{2} - 3 = 1 = a_{1}$ ✓. Pentru $n = 2$ : $a_{2} = 2 \cdot 1 + 3 = 5$ , iar formula dă $2^{3} - 3 = 8 - 3 = 5$ ✓. Formula se obține prin substituția $b_{n} = a_{n} + 3$ , care transformă recurența într-o progresie geometrică de rație $2$ .

Întrebări conexe

Ce șir descrie regula «fiecare termen este dublul celui dinainte»?

O progresie geometrică de rație $2$ , dar numai după ce se dă și primul termen. Pornind din $5$ obții $5$ , $10$ , $20$ , $40$ , iar pornind din $3$ obții cu totul alte numere. Regula singură nu fixează niciun șir.

Câți termeni trebuie calculați ca să ghicesc o formulă?

De obicei patru sau cinci sunt de ajuns pentru a bănui forma, dar niciun număr de termeni nu dovedește nimic. Conjectura obținută trebuie apoi demonstrată prin inducție, folosind chiar regula de recurență în pasul de trecere.

Ce dezavantaj are definirea prin recurență?

Nu poți sări direct la un rang mare: pentru termenul de rang $500$ trebuie parcurse toate treptele dinainte. O formulă explicită dă rezultatul dintr-un singur calcul, de aceea se caută trecerea de la o formă la cealaltă.

Cum arată primii termeni ai șirului lui Fibonacci?

Sunt $1$ , $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $8$ , $13$ , $21$ , fiecare fiind suma celor doi dinainte. Șirul apare în modele de creștere din natură, de la aranjarea semințelor până la ramificarea plantelor. Regula lui folosește doi pași înapoi, nu unul.

Ce recurență descrie o progresie aritmetică?

Relația $a_{n + 1} = a_{n} + r$ , împreună cu primul termen. Ea spune că se adaugă mereu aceeași cantitate, ceea ce este chiar definiția progresiei. Varianta cu înmulțire, $b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$ , descrie progresia geometrică.

De ce conjectura trebuie demonstrată, chiar dacă se potrivește?

Pentru că o formulă poate să se potrivească la primii termeni și să se strice mai departe. Fără demonstrație, rămâne o bănuială bine sprijinită, nu un rezultat. Inducția transformă bănuiala în certitudine, cu doi pași scurți.

Oamenii mai întreabă și: șir definit prin recurență · relație de recurență · șirul lui Fibonacci · moduri de definire a unui șir · de la recurență la formulă