Ce spune teorema împărțirii cu rest?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Teorema împărțirii cu rest

Ea pune într-o singură egalitate deîmpărțitul, împărțitorul, câtul și restul: $D = \hat{I} \cdot C + R$ , adică deîmpărțitul este împărțitorul înmulțit cu câtul, plus restul. Alături de ea merge o condiție fără de care nimic nu ține: restul trebuie să rămână sub împărțitor, deci $R < \hat{I}$ . La $29 : 4$ câtul este 7 și restul 1, iar proba se face în doi pași: $4 \cdot 7 + 1 = 29$ și $1 < 4$ .

La împărțirea cu rest, deîmpărțitul $D$ , împărțitorul $\hat{I}$ , câtul $C$ și restul $R$ sunt legate prin teorema împărțirii cu rest:

$D = \hat{I} \cdot C + R .$

Această relație este obligatorie, dar nu e suficientă — trebuie verificată și condiția fundamentală a restului:

$R < \hat{I} .$

Dacă restul ar fi egal sau mai mare decât împărțitorul, ar mai putea fi format cel puțin un grup întreg, deci câtul nu ar fi cel corect. La împărțirea cu $\hat{I}$ , restul poate lua doar valorile $0, 1, 2, \dots, \hat{I} - 1$ ; dacă $R = 0$ , împărțirea este exactă.

Exemplu: La $29 : 4$ , caut cel mai mare multiplu de 4 care nu depășește 29: $4 \cdot 7 = 28$ . Deci câtul este $7$ , iar restul $R = 29 - 28 = 1$ . Verific: $1 < 4$ ✓. Proba: $4 \cdot 7 + 1 = 29$ ✓. Deci $29 : 4 = 7 rest 1$ .

De reținut

$D = \hat{I} \cdot C + R$
$R < \hat{I}$ , adică restul rămâne sub împărțitor
la împărțirea cu $\hat{I}$ , restul ia valorile $0, 1, \dots, \hat{I} - 1$
$R = 0$ înseamnă împărțire exactă

Greșeala tipică

Se scrie un rest egal sau mai mare decât împărțitorul, cum ar fi $30 : 4 = 6$ rest 6, iar proba pare să iasă. Din restul 6 se mai poate scoate o grupă de 4, deci câtul corect este 7, iar restul 2.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele împărțiri cu rest respectă atât teorema $D = \hat{I} \cdot C + R$ , cât și condiția $R < \hat{I}$ ?
- a) $34 : 5 = 6 rest 4$
- b) $45 : 6 = 6 rest 9$
- c) $52 : 7 = 8 rest 3$
- d) $29 : 4 = 6 rest 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $34 : 5 = 6 rest 4$

a) $5 \cdot 6 + 4 = 34$ ✓ și $4 < 5$ ✓ — corect. b) $6 \cdot 6 + 9 = 45$ ✓, dar $9 < 6$ ? Nu — restul e mai mare decât împărțitorul, deci greșit. c) $7 \cdot 8 + 3 = 59 \neq = 52$ — teorema nu se verifică, deci greșit. d) $4 \cdot 6 + 5 = 29$ ✓, dar $5 < 4$ ? Nu — restul e mai mare decât împărțitorul, deci greșit. Doar varianta a) respectă ambele condiții.
La o împărțire, împărțitorul este 8, câtul este 5, iar restul este 6 (date care respectă $R < \hat{I}$ ). Care este deîmpărțitul $D$ ?
- a) $46$
- b) $40$
- c) $51$
- d) $34$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $46$

Aplic direct teorema $D = \hat{I} \cdot C + R$ : $D = 8 \cdot 5 + 6 = 40 + 6 = 46$ . Verificare: $46 : 8 = 5 rest 6$ , iar $6 < 8$ ✓, deci datele sunt valide și deîmpărțitul este 46.
La o împărțire, împărțitorul este 9, câtul este 7, iar restul este 5 (date care respectă $R < \hat{I}$ ). Care este deîmpărțitul $D$ ?
- a) 58
- b) 68
- c) 78
- d) 63
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 68

Aplic direct teorema $D = \hat{I} \cdot C + R$ : $D = 9 \cdot 7 + 5 = 63 + 5 = 68$ . Verificare: $68 : 9 = 7 rest 5$ , iar $5 < 9$ ✓, deci deîmpărțitul este 68. Opțiunea a) 58 apare din $9 \cdot 7 - 5$ , scăzând restul în loc să-l adune; c) 78 nu verifică teorema; iar d) 63 este doar produsul $9 \times 7$ , uitând să adune restul.

Întrebări conexe

La ce folosește teorema împărțirii cu rest în problemele cu grupe?

La împărțirea unei cantități în grupe egale, când rămâne ceva pe dinafară. Din 50 de elevi așezați în echipe de câte 6 ies 8 echipe pline și 2 elevi rămași, fiindcă $6 \cdot 8 + 2 = 50$ . Restul spune exact câți nu au încăput nicăieri.

Ce resturi poate da împărțirea la 2?

Doar 0 sau 1, fiindcă restul rămâne mereu sub împărțitor. Restul 0 arată un număr par, iar restul 1 unul impar. De aici vine și împărțirea numerelor naturale în cele două familii, după cum se comportă la împărțirea cu 2.

Ce se întâmplă cu restul dacă măresc deîmpărțitul cu 1?

Crește și el cu 1, până când atinge împărțitorul: atunci se face 0, iar câtul urcă cu o unitate. Pornind de la $47 : 5$ și adunând mereu câte unu, resturile merg 2, 3, 4, apoi 0, iar câtul sare de la 9 la 10.

Câte numere de la 1 la 50 dau restul 3 la împărțirea cu 5?

Sunt cele care se scriu ca $5 \cdot C + 3$ , adică 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43 și 48, deci zece la număr. Ele se termină toate în 3 sau în 8, fiindcă adunând 3 la un multiplu de 5 se ajunge mereu la una dintre aceste cifre.

Ce legătură are restul cu divizibilitatea?

Restul 0 înseamnă că împărțirea a ieșit exact, deci deîmpărțitul se divide cu împărțitorul. Orice alt rest arată că împărțirea nu este exactă. Astfel teorema devine unealta cu care se verifică dacă un număr este divizor al altuia.

Oamenii mai întreabă și: teorema împărțirii cu rest · formula împărțirii cu rest · D = Î · C + R · cum se face proba la împărțirea cu rest