Inele de matrice remarcabile: pe scurt

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Mulțimea $M$ a matricelor $A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$, cu $a,b\in \mathbb{R}$, este parte stabilă față de adunare și față de înmulțire, iar produsul respectă regula $A(a,b)A(c,d)=A(ac-bd,ad+bc)$ — exact regula de înmulțire a numerelor complexe. Funcția $\phi (a+bi)=A(a,b)$ este izomorfism de inele de la $\mathbb{C}$ la $M$: se verifică cele două condiții cu operațiile și, obligatoriu, $\phi (1)=I_2$. Prin izomorfism se transportă totul: $\det A(a,b)=a^2+b^2$ este pătratul modulului, transpusa corespunde conjugatului, iar ecuațiile $X^n=A$ se rezolvă trecând la ecuația $z^n={\phi }^{-1}(A)$ și la rădăcinile de ordinul $n$ ale unui număr complex. Deși ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ este necomutativ și are divizori ai lui zero, $M$ este corp comutativ. Pentru orice mulțime de matrice funcționează rețeta $a{I}_2+bJ$: scrii elementul generic sub această formă și calculezi $J^2$. Dacă $J^2=d{I}_2$, mulțimea se comportă ca numerele $a+b\sqrt{d}$, iar structura este corp exact atunci când determinantul se anulează numai pentru $a=b=0$.

Exerciții din această mini-lecție

1. În inelul $M$ al matricelor $A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$, produsul $A(3,2)\cdot A(1,-4)$ este:

   • a) $A(-5,-10)$
   • b) $A(11,-10)$
   • c) $A(11,10)$
   • d) $A(3,-8)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $A(11,-10)$

   Trecem prin numere complexe: $(3+2i)(1-4i)=3-12i+2i-8i^2=3-10i+8=11-10i$, deci produsul este $A(11,-10)$. Varianta $A(-5,-10)$ apare când se scrie $i^2=1$ în loc de $i^2=-1$; $A(11,10)$ vine din greșirea semnului din colțul de jos-stânga; $A(3,-8)$ este înmulțirea „pe componente”, care nu are nicio legătură cu produsul matricelor.

2. Se consideră $J=\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 1& 0\end{array}\right)$ și mulțimea $N=\{a{I}_2+bJ\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$. Conform rețetei $a{I}_2+bJ$, elementele lui $N$ se comportă ca numerele de forma:

   • a) $a+bi$
   • b) $a+b\sqrt{10}$
   • c) $a+b\sqrt{-5}$
   • d) $a+b\sqrt{5}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $a+b\sqrt{5}$

   Rețeta cere un singur calcul: $J^2={\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 1& 0\end{array}\right)}^2=5I_2$. Cum $J^2=d{I}_2$ cu $d=5$, matricea $J$ joacă rolul lui $\sqrt{5}$, iar $N$ este izomorfă cu mulțimea numerelor $a+b\sqrt{5}$, $a,b\in \mathbb{Q}$. Varianta cu $i$ ar cere $J^2=-I_2$, cea cu $\sqrt{10}$ ar cere $J^2=10I_2$, iar $\sqrt{-5}$ este tot cazul $J^2=-5I_2$.

3. Inversa matricei $A(2,-1)$ în inelul $M$ este:

   • a) $A\left(\frac{2}{5},\frac{1}{5}\right)$
   • b) $A\left(\frac{2}{5},-\frac{1}{5}\right)$
   • c) $A\left(\frac{1}{2},-1\right)$
   • d) $A(2,1)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $A\left(\frac{2}{5},\frac{1}{5}\right)$

   Matricei $A(2,-1)$ îi corespunde $z=2-i$, cu $|z{|}^2=5$. Atunci $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}=\frac{2+i}{5}$, deci inversa este $A\left(\frac{2}{5},\frac{1}{5}\right)$. Varianta b păstrează semnul lui $b$ neschimbat (nu se trece la conjugat), varianta c inversează elementele unul câte unul, iar varianta d dă doar conjugatul, fără împărțirea la $|z{|}^2$.