Inecuații de gradul al doilea rezolvate grafic

La un concurs de filmare cu drona, regulamentul cere ca aparatul să depășească înălțimea de $15$ metri pentru ca imaginile să fie valabile. Drona e lansată de la sol și urcă după legea $h(t)=-5t^2+20t$, unde $t$ e timpul în secunde și $h$ înălțimea în metri. Întrebarea concurentului nu este „cât de sus ajunge?" — asta e o problemă de vârf, pe care ai rezolvat-o deja. Întrebarea lui este: cât timp am la dispoziție ca să filmez? Adică: pentru ce valori ale lui $t$ avem $h(t)\ge 15$?

O astfel de cerință se numește inecuație de gradul al doilea. Iar frumusețea ei este că, spre deosebire de o ecuație, răspunsul nu e o listă de numere, ci o mulțime de intervale — exact ceea ce se vede pe grafic ca porțiune de parabolă aflată deasupra unei drepte. Totul se sprijină pe ce ai învățat în lecția despre semnul funcției de gradul al doilea: odată ce știi unde e parabola deasupra axei și unde sub ea, ai deja răspunsul; mai rămâne doar să-l scrii corect. Vom relua și tehnica de citire grafică pe care ai folosit-o la ecuații și inecuații rezolvate grafic, de data aceasta pentru parabole.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o inecuație de gradul al doilea și să o aduci la forma cu zero în membrul drept.
• Vei ști să citești mulțimea soluțiilor ca proiecție pe axa $Ox$ a porțiunii potrivite de parabolă.
• Vei ști să decizi corect dacă capetele intervalelor sunt incluse sau excluse.
• Vei ști să tratezi cazurile speciale $\Delta =0$ și $\Delta <0$, în care soluția poate fi $\mathbb{R}$, mulțimea vidă sau un singur punct.
• Vei ști să rezolvi inecuații pe un interval dat, nu doar pe $\mathbb{R}$.
• Vei ști să rezolvi inecuații de forma $f(x)\ge g(x)$ și sisteme de inecuații, prin intersecția mulțimilor de soluții.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o inecuație de gradul al doilea

Definiție. O inecuație de gradul al doilea cu necunoscuta $x$ este o inecuație care poate fi adusă la una dintre formele

$$a{x}^2+bx+c>0,a{x}^2+bx+c\ge 0,a{x}^2+bx+c<0,a{x}^2+bx+c\le 0,$$

unde $a$, $b$, $c$ sunt numere reale și $a\ne 0$.

A rezolva inecuația înseamnă a determina mulțimea soluțiilor, notată de obicei $S$: mulțimea tuturor numerelor reale care, puse în locul lui $x$, transformă inecuația într-o propoziție adevărată.

Primul pas, indiferent de cum arată enunțul, este aducerea la forma cu zero într-un membru. Toți termenii trec de aceeași parte, se reduc termenii asemenea și se obține una dintre cele patru forme de mai sus. De pildă, $3x^2+1\ge 5x-1$ devine $3x^2-5x+2\ge 0$.

Un avertisment care se plătește scump dacă e ignorat: la înmulțirea sau împărțirea unei inecuații cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă. Din $-x^2+4x-3>0$, împărțind la $-1$, obținem $x^2-4x+3<0$ — cu semnul întors. E o simplificare utilă (aduce coeficientul dominant la valoare pozitivă), dar trebuie făcută cu atenție.

2. Ideea grafică: proiecția pe axa $Ox$

Să notăm $f(x)=a{x}^2+bx+c$. Atunci inecuația $f(x)>0$ cere exact: pentru ce valori ale lui $x$ punctul de pe parabolă se află deasupra axei $Ox$?

Procedeul geometric are doi timpi:

1. selectezi pe desen porțiunea de parabolă aflată deasupra axei (pentru $>$) sau sub axă (pentru $<$);
2. proiectezi acea porțiune pe axa $Ox$ — adică cobori (sau urci) perpendiculare din capetele ei pe axă — și citești intervalele obținute.

Proiecția e cheia. Parabola trăiește în plan, dar soluțiile sunt numere, adică puncte pe axa $Ox$; proiecția e tocmai traducerea din plan pe axă. De aceea, într-o rezolvare corectă, desenul are întotdeauna și umbra îngroșată de pe axă — acolo se citește răspunsul.

3. Algoritmul complet, în patru pași

Pentru orice inecuație de gradul al doilea:

1. Aduci la forma cu zero: $a{x}^2+bx+c$ comparat cu $0$.
2. Calculezi $\Delta$ și, dacă $\Delta \ge 0$, rădăcinile $x_1\le x_2$.
3. Faci schița parabolei (orientarea din semnul lui $a$, tăieturile în rădăcini) sau tabelul de semn.
4. Citești mulțimea soluțiilor din porțiunea cerută și verifici cu o valoare de probă.

Iată cazul cel mai des întâlnit, $\Delta >0$ și $a>0$, rezumat într-un tabel:

Pentru $a<0$ tabelul se inversează: soluțiile pentru $>$ devin intervalul dintre rădăcini, iar cele pentru $<$ devin reuniunea celor două intervale exterioare. Nu memora două tabele: memorează un singur lucru, regula semnului din lecția anterioară, și citește de acolo.

Exemplu. Rezolvăm $x^2-5x+6\le 0$. Avem $\Delta =25-24=1>0$, rădăcinile $2$ și $3$, iar $a=1>0$. Parabola e sub axă între rădăcini, iar semnul $\le$ adaugă și punctele în care ea atinge axa. Deci $S=[2,3]$. Verificare cu $x=2,5$: $6,25-12,5+6=-0,25\le 0$ ✓; cu $x=4$: $16-20+6=2>0$, deci $4$ nu e soluție ✓.

4. Capetele: incluse sau excluse

Aici se pierd cele mai multe puncte la teze, deși regula e de o simplitate dezarmantă:

• inegalitate strictă ($>$ sau $<$) $\Rightarrow$ rădăcinile nu sunt soluții $\Rightarrow$ intervale deschise, cu paranteze rotunde;
• inegalitate nestrictă ($\ge$ sau $\le$) $\Rightarrow$ rădăcinile sunt soluții (acolo $f$ e zero, iar zero satisface „mai mare sau egal") $\Rightarrow$ intervale închise, cu paranteze drepte.

Capetele $-\infty$ și $+\infty$ nu sunt numere, deci se scriu întotdeauna cu paranteză rotundă, indiferent de tipul inegalității.

Un test mental de zece secunde care nu dă greș: ia o rădăcină, de exemplu $x_1$, și pune-o în inecuație. Obții „$0>0$" (fals, deci exclusă) sau „$0\ge 0$" (adevărat, deci inclusă).

5. Cazurile speciale: $\Delta =0$ și $\Delta <0$

Când parabola nu taie axa în două puncte, soluțiile pot arăta neobișnuit — dar sunt perfect logice dacă te uiți la desen. Rezumăm pentru $a>0$:

Exemplu. $x^2-4x+4>0$. Aici $\Delta =0$ și $f(x)=(x-2{)}^2$. Un pătrat e strict pozitiv pentru orice bază nenulă, deci $S=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Dacă inecuația ar fi fost $x^2-4x+4\le 0$, singurul număr care o satisface ar fi $x=2$, deci $S=\{2\}$ — o mulțime cu un singur element, nu un interval.

Exemplu. $x^2+2x+5>0$. Avem $\Delta =4-20=-16<0$ și $a>0$, deci parabola e complet deasupra axei: $S=\mathbb{R}$. Aceeași expresie cu $<0$ ar da $S=\varnothing$ — nu există niciun număr real care să o facă negativă.

Nu te speria de răspunsurile $\mathbb{R}$ sau $\varnothing$. Ele apar des la Bacalaureat și sunt răspunsuri complete, cu condiția să fie justificate prin $\Delta$ și prin semnul lui $a$.

6. Inecuații studiate pe un interval

Multe probleme practice nu se pun pe toată axa reală. Timpul nu poate fi negativ, o lungime nu poate depăși perimetrul disponibil, un preț se mișcă între două limite. În aceste cazuri, enunțul cere soluțiile inecuației într-o mulțime dată $D$, de obicei un interval.

Rețeta rămâne aceeași, cu un pas în plus la final: rezolvi pe $\mathbb{R}$, apoi intersectezi cu $D$.

Exemplu. Rezolvăm $x^2-x-6>0$ pentru $x\in [-1,4]$. Pe $\mathbb{R}$: $\Delta =1+24=25$, rădăcinile $\frac{1\pm 5}{2}$, adică $-2$ și $3$; cum $a>0$, soluția e $(-\infty ,-2)\cup (3,+\infty )$. Intersectăm cu $[-1,4]$: prima bucată nu are puncte comune cu $[-1,4]$ (fiindcă $-1>-2$), iar a doua dă $(3,4]$. Deci $S=(3,4]$.

Observă capătul din dreapta: $4$ este inclus pentru că aparține domeniului $D$ și verifică inecuația — $16-4-6=6>0$ ✓. Capătul $3$ rămâne exclus, fiind rădăcină, iar inegalitatea e strictă.

7. Inecuații de forma $f(x)\ge g(x)$

Când în ambii membri apar expresii cu $x$, ideea grafică e la fel de intuitivă: cauți valorile lui $x$ pentru care graficul lui $f$ este deasupra graficului lui $g$. Algebric, muți totul într-un membru și studiezi semnul diferenței $f(x)-g(x)$.

Exemplu. Rezolvăm $x^2-3x+2\ge 2x-4$. Trecem totul în stânga: $x^2-3x+2-2x+4\ge 0$, adică $x^2-5x+6\ge 0$. Cu rădăcinile $2$ și $3$ și $a>0$, obținem $S=(-\infty ,2]\cup [3,+\infty )$.

Interpretare geometrică: parabola $y=x^2-3x+2$ se află deasupra dreptei $y=2x-4$ în afara intervalului dintre abscisele punctelor lor de intersecție, care sunt tocmai $x=2$ și $x=3$. Studiul detaliat al pozițiilor relative dintre o dreaptă și o parabolă îl vei face în lecția despre dreaptă și parabolă; aici ne folosim doar de reducerea la o inecuație de gradul al doilea.

8. Sisteme de inecuații

Un sistem de inecuații cere ca toate condițiile să fie îndeplinite simultan. Rezolvi fiecare inecuație separat, obții câte o mulțime de soluții, apoi faci intersecția lor. Cel mai sigur mod de a intersecta este să desenezi mulțimile una sub alta pe două axe paralele și să reții zonele hașurate de ambele.

Exemplu. Rezolvăm sistemul format din $x^2-4<0$ și $x^2-x-2>0$.

Prima: rădăcinile $-2$ și $2$, $a>0$, semn negativ între rădăcini, deci $S_1=(-2,2)$. A doua: $\Delta =1+8=9$, rădăcinile $\frac{1\pm 3}{2}$, adică $-1$ și $2$; semn pozitiv în afara lor, deci $S_2=(-\infty ,-1)\cup (2,+\infty )$.

Intersecția: $S=S_1\cap S_2=(-2,-1)$. Verificare cu $x=-1,5$: prima inecuație dă $2,25-4=-1,75<0$ ✓; a doua dă $2,25+1,5-2=1,75>0$ ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Inecuație strictă, ramuri în sus

Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuația $x^2-2x-8<0$.

Rezolvare. $\Delta =4+32=36>0$, rădăcinile $\frac{2\pm 6}{2}$, adică $x_1=-2$ și $x_2=4$. Cum $a=1>0$, parabola e sub axă între rădăcini, iar inegalitatea fiind strictă, capetele se exclud.

$$S=(-2,4).$$

Control: $x=0$ dă $-8<0$ ✓; $x=5$ dă $25-10-8=7>0$, deci $5\notin S$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Ramuri în jos și inegalitate nestrictă

Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuația $-2x^2+4x+6\ge 0$.

Rezolvare. Metoda 1, direct: $\Delta =16+48=64$, rădăcinile $\frac{-4\pm 8}{-4}$, adică $-1$ și $3$. Cum $a=-2<0$, funcția e pozitivă între rădăcini, iar $\ge$ include capetele: $S=[-1,3]$.

Metoda 2, prin simplificare: împărțim la $-2$ și întoarcem sensul: $x^2-2x-3\le 0$. Rădăcinile sunt $-1$ și $3$, $a>0$, deci soluția e intervalul dintre ele, închis: $S=[-1,3]$ — același rezultat.

Control: $x=0$ dă $6\ge 0$ ✓; $x=-1$ dă $-2-4+6=0\ge 0$ ✓ (capătul e într-adevăr soluție). $■$

Exemplul 3 — Cazuri speciale, comparate

Rezolvați în $\mathbb{R}$: a) $-x^2+6x-9\ge 0$; b) $x^2-6x+10>0$; c) $x^2+x+1\le 0$.

Rezolvare. a) $\Delta =36-36=0$, rădăcina dublă $x_0=3$, iar expresia este $-(x-3{)}^2$, deci mereu $\le 0$. Condiția $\ge 0$ e îndeplinită doar acolo unde expresia e nulă: $S=\{3\}$.

b) $\Delta =36-40=-4<0$ și $a=1>0$, deci expresia e strict pozitivă pe tot $\mathbb{R}$: $S=\mathbb{R}$. Confirmare: $x^2-6x+10=(x-3{)}^2+1\ge 1$.

c) $\Delta =1-4=-3<0$ și $a=1>0$, deci expresia e strict pozitivă peste tot; nu poate fi niciodată $\le 0$. Deci $S=\varnothing$. $■$

Exemplul 4 — Inecuație pe un interval

Rezolvați inecuația $x^2-9\ge 0$ pentru $x\in [-5,2]$.

Rezolvare. Pe $\mathbb{R}$: rădăcinile sunt $-3$ și $3$, iar $a>0$, deci expresia e pozitivă în afara lor, capetele fiind incluse: $S_{\mathbb{R}}=(-\infty ,-3]\cup [3,+\infty )$.

Intersectăm cu $[-5,2]$: bucata $[3,+\infty )$ nu are puncte comune cu $[-5,2]$, iar $(-\infty ,-3]\cap [-5,2]=[-5,-3]$.

$$S=[-5,-3].$$

Control: $x=-4$ dă $16-9=7\ge 0$ ✓ și $-4\in [-5,2]$ ✓; $x=0$ dă $-9<0$, deci $0\notin S$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Aplicație: fereastra de filmare a dronei

Drona din introducere urcă după legea $h(t)=-5t^2+20t$ (metri, $t$ în secunde). Determinați intervalul de timp în care ea se află la cel puțin $15$ metri înălțime.

Rezolvare. Cerința se scrie $h(t)\ge 15$, adică $-5t^2+20t\ge 15$. Trecem totul într-un membru: $-5t^2+20t-15\ge 0$. Împărțim la $-5$ și întoarcem sensul: $t^2-4t+3\le 0$.

$\Delta =16-12=4$, rădăcinile $\frac{4\pm 2}{2}$, adică $1$ și $3$. Cum coeficientul dominant e pozitiv, soluția e intervalul închis dintre rădăcini: $t\in [1,3]$.

Verificăm și compatibilitatea cu situația reală: drona zboară pentru $t\in [0,4]$ (la $t=4$ atinge din nou solul), iar $[1,3]\subset [0,4]$ ✓.

Interpretare: concurentul are exact $3-1=2$ secunde de filmare valabilă. Control: $h(1)=-5+20=15$ ✓ (chiar la limită), $h(2)=-20+40=20\ge 15$ ✓, $h(0,5)=-1,25+10=8,75<15$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$ și $g(x)=4x-2$. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $f(x)\le g(x)$.

Rezolvare. Inecuația $x^2+1\le 4x-2$ se aduce la forma cu zero: $x^2-4x+3\le 0$.

$\Delta =16-12=4>0$, rădăcinile $\frac{4\pm 2}{2}$, adică $1$ și $3$. Coeficientul dominant este $1>0$, deci expresia e negativă între rădăcini, iar inegalitatea nestrictă include capetele:

$$S=[1,3].$$

Interpretare geometrică: parabola $y=x^2+1$ se află sub dreapta $y=4x-2$ (sau o atinge) exact pentru $x$ între $1$ și $3$ — abscisele celor două puncte de intersecție. Control: $x=2$ dă $f(2)=5$ și $g(2)=6$, deci $5\le 6$ ✓; $x=0$ dă $1\le -2$, fals ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu, notează $\Delta$, rădăcinile, semnul lui $a$ și scrie mulțimea soluțiilor cu paranteze corecte.

1. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $x^2-9\le 0$.

2. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $x^2-4>0$.

3. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $x^2-5x+6>0$.

4. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $3x^2-2x-1\le 0$.

5. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $2x^2+5x-3>0$.

6. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $x^2-3x<0$. (Indicație: nu ai nevoie de formula discriminantului — dă factor comun.)

7. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $-x^2+4x-3\ge 0$.

8. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $(x-1{)}^2>0$. Ce mulțime obții?

9. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $x^2+x+1>0$. Justifică fără a calcula rădăcini.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\Delta <0$, atunci inecuația $a{x}^2+bx+c<0$ nu are soluții."

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mulțimea soluțiilor unei inecuații de gradul al doilea este întotdeauna un interval."

12. Rezolvă $x^2-4x+3\le 0$ pentru $x\in [0,5]$, apoi pentru $x\in [2,10]$. Compară cele două răspunsuri.

13. Rezolvă inecuația $x^2-2x\ge 3$ mai întâi pe $\mathbb{R}$, apoi doar pe mulțimea numerelor naturale mai mici decât $6$.

14. Rezolvă sistemul format din inecuațiile $x^2-x-6<0$ și $x^2-4\ge 0$.

15. (Problemă aplicată.) Profitul zilnic al unei cofetării, în lei, în funcție de numărul $x$ de torturi vândute, este $P(x)=-x^2+30x-200$. Determină pentru ce valori ale lui $x$ cofetăria nu lucrează în pierdere, adică $P(x)\ge 0$. Câte torturi trebuie vândute cel puțin? Dar cel mult?

16. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care inecuația $x^2+mx+4>0$ este adevărată pentru orice număr real $x$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-3x$ și $g(x)=x+5$. Determină mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $f(x)\le g(x)$.

18. (Provocare.) Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care inecuația $x^2-2mx+m+2\ge 0$ este adevărată pentru orice $x$ real. Interpretează geometric răspunsul: ce familie de parabole ai găsit?

Răspunsuri și explicații

1. Rădăcinile sunt $-3$ și $3$, $a>0$, deci expresia e negativă între ele, iar $\le$ include capetele: $S=[-3,3]$. Control: $x=0$ dă $-9\le 0$ ✓.

2. Rădăcinile sunt $-2$ și $2$, $a>0$, deci expresia e pozitivă în afara lor, capetele excluse (inegalitate strictă): $S=(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$.

3. $\Delta =1$, rădăcinile $2$ și $3$, $a>0$: expresia e pozitivă în afara rădăcinilor, deci $S=(-\infty ,2)\cup (3,+\infty )$. Compară cu exemplul din lecție, unde inegalitatea era $\le$ și soluția $[2,3]$ — cele două mulțimi sunt complementare, cu capetele mutate.

4. $\Delta =4+12=16$, rădăcinile $\frac{2\pm 4}{6}$, adică $-\frac{1}{3}$ și $1$; $a=3>0$, deci soluția e intervalul închis dintre ele: $S=\left[-\frac{1}{3},1\right]$. Control: $x=0$ dă $-1\le 0$ ✓.

5. $\Delta =25+24=49$, rădăcinile $\frac{-5\pm 7}{4}$, adică $-3$ și $\frac{1}{2}$; $a=2>0$, soluția e în afara rădăcinilor, capete excluse: $S=(-\infty ,-3)\cup \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$.

6. $x^2-3x=x(x-3)$, deci rădăcinile sunt $0$ și $3$; $a>0$, iar semnul cerut e negativ: $S=(0,3)$. Control: $x=1$ dă $1-3=-2<0$ ✓.

7. $\Delta =16-12=4$, rădăcinile $1$ și $3$; $a=-1<0$, deci expresia e pozitivă între rădăcini, iar $\ge$ include capetele: $S=[1,3]$.

8. Un pătrat este strict pozitiv exact atunci când baza e nenulă, deci condiția este $x-1\ne 0$: $S=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Aici $\Delta =0$, iar soluția nu e un interval, ci o axă „găurită" într-un punct.

9. $\Delta =1-4=-3<0$ și $a=1>0$, deci parabola e complet deasupra axei $Ox$ și expresia e pozitivă pentru orice $x$: $S=\mathbb{R}$. (Confirmare: $x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}$.)

10. Fals în general. Din $\Delta <0$ rezultă că expresia păstrează semnul lui $a$. Dacă $a<0$, atunci $a{x}^2+bx+c<0$ este adevărată pentru orice $x$, deci $S=\mathbb{R}$. Contraexemplu: $-x^2+x-1<0$ are $\Delta =-3<0$ și $S=\mathbb{R}$. Afirmația e adevărată doar dacă $a>0$.

11. Fals. Contraexemple: $x^2-4>0$ are soluția $(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$, o reuniune de două intervale; $x^2-4x+4\le 0$ are soluția $\{2\}$, o mulțime cu un singur element; $x^2+1<0$ are soluția $\varnothing$. Doar unele inecuații (cele cu semnul opus lui $a$) dau un singur interval.

12. Pe $\mathbb{R}$: rădăcinile sunt $1$ și $3$, $a>0$, deci $S_{\mathbb{R}}=[1,3]$. Pentru $x\in [0,5]$: $[1,3]\cap [0,5]=[1,3]$ — restricția nu schimbă nimic, fiindcă soluțiile erau deja înăuntru. Pentru $x\in [2,10]$: $[1,3]\cap [2,10]=[2,3]$ — aici restricția taie o bucată. Concluzia: intersectarea cu domeniul poate lăsa răspunsul neschimbat sau îl poate micșora, deci pasul nu se sare niciodată.

13. Aducem la forma cu zero: $x^2-2x-3\ge 0$. $\Delta =4+12=16$, rădăcinile $\frac{2\pm 4}{2}$, adică $-1$ și $3$; $a>0$, deci $S_{\mathbb{R}}=(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$. Pe mulțimea $\{0,1,2,3,4,5\}$ rămân doar $3$, $4$ și $5$. Control: $x=3$ dă $9-6=3\ge 3$ ✓; $x=2$ dă $4-4=0<3$, deci $2$ nu convine ✓.

14. Prima: $\Delta =1+24=25$, rădăcinile $-2$ și $3$, $a>0$, semn negativ între ele, deci $S_1=(-2,3)$. A doua: rădăcinile $-2$ și $2$, $a>0$, semn pozitiv în afara lor, capete incluse, deci $S_2=(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$. Intersecția: $(-2,3)\cap (-\infty ,-2]=\varnothing$ (valoarea $-2$ nu e în prima mulțime) și $(-2,3)\cap [2,+\infty )=[2,3)$. Deci $S=[2,3)$.

15. $P(x)\ge 0⟺-x^2+30x-200\ge 0⟺x^2-30x+200\le 0$ (am împărțit la $-1$ și am întors sensul). $\Delta =900-800=100$, rădăcinile $\frac{30\pm 10}{2}$, adică $10$ și $20$; deci $S=[10,20]$. Cofetăria iese pe zero sau pe profit vânzând între $10$ și $20$ de torturi: cel puțin $10$, cel mult $20$. Control: $P(15)=-225+450-200=25>0$ ✓, $P(9)=-81+270-200=-11<0$ ✓. (Sub $10$ torturi, încasările nu acoperă costurile fixe; peste $20$, modelul presupune costuri suplimentare care depășesc câștigul.)

16. Coeficientul dominant este $1>0$ ✓; mai trebuie ca parabola să nu atingă axa, adică $\Delta <0$: $m^2-16<0$. Aceasta e o inecuație de gradul al doilea în $m$, cu rădăcinile $-4$ și $4$ și coeficient dominant pozitiv, deci soluția e între rădăcini: $m\in (-4,4)$. Control $m=0$: $x^2+4>0$ pentru orice $x$ ✓; control $m=4$: $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$ se anulează în $-2$, deci capătul e corect exclus.

17. $f(x)\le g(x)⟺2x^2-3x\le x+5⟺2x^2-4x-5\le 0$. $\Delta =16+40=56>0$, iar $\sqrt{56}=2\sqrt{14}$, deci rădăcinile sunt $\frac{4\pm 2\sqrt{14}}{4}=\frac{2\pm \sqrt{14}}{2}$. Coeficientul dominant fiind pozitiv, soluția e intervalul închis dintre rădăcini: $S=\left[\frac{2-\sqrt{14}}{2},\frac{2+\sqrt{14}}{2}\right]$. (Rădăcinile iraționale nu sunt o problemă: mulțimea se scrie exact, fără aproximări.)

18. Coeficientul dominant este $1>0$ ✓; condiția „$\ge 0$ pentru orice $x$" cere $\Delta \le 0$ (se acceptă și tangența la axă). Avem $\Delta =4m^2-4(m+2)=4(m^2-m-2)$, deci condiția devine $m^2-m-2\le 0$. Discriminantul acestei inecuații în $m$ este $1+8=9$, rădăcinile sunt $\frac{1\pm 3}{2}$, adică $-1$ și $2$, iar coeficientul dominant e pozitiv: $m\in [-1,2]$. Interpretare geometrică: pentru fiecare $m$ din acest interval obții o parabolă cu ramurile în sus care fie stă complet deasupra axei $Ox$, fie o atinge exact într-un punct. La capete ($m=-1$ și $m=2$) parabolele sunt tangente la axă — de aceea capetele sunt incluse aici, spre deosebire de exercițiul 16, unde se cerea inegalitate strictă. $■$

De reținut

• Orice inecuație de gradul al doilea se aduce mai întâi la forma cu zero într-un membru; la înmulțirea cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă.
• Soluția se citește ca proiecție pe axa $Ox$ a porțiunii de parabolă aflate deasupra axei (pentru $>0$) sau sub axă (pentru $<0$).
• Capetele: inegalitate strictă $\Rightarrow$ intervale deschise; inegalitate nestrictă $\Rightarrow$ rădăcinile sunt incluse. Infinitul se scrie mereu cu paranteză rotundă.
• Cazuri speciale: cu $\Delta =0$ soluția poate fi $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}\setminus \{x_0\}$, $\{x_0\}$ sau $\varnothing$; cu $\Delta <0$ soluția e $\mathbb{R}$ sau $\varnothing$, după semnul lui $a$.
• Pe un interval dat rezolvi întâi pe $\mathbb{R}$, apoi intersectezi; la un sistem de inecuații, intersectezi mulțimile de soluții ale fiecărei inecuații.

Greșeli frecvente

• Nu întorci sensul inegalității când înmulțești sau împarți cu un număr negativ. Din $-x^2+4x-3>0$ nu urmează $x^2-4x+3>0$, ci $x^2-4x+3<0$. Verificarea cu o valoare de probă prinde instantaneu greșeala.
• Confunzi „între rădăcini" cu „în afara rădăcinilor". Nu memora tabele: desenează parabola cu orientarea dată de $a$ și uită-te unde e ea de partea cerută a axei.
• Scrii paranteze greșite la capete. Un $\le$ înseamnă că rădăcinile sunt soluții, deci paranteze drepte. Testul de zece secunde: înlocuiește rădăcina în inecuație și vezi dacă „$0\le 0$" e adevărat.
• Uiți intersecția cu domeniul. Când problema cere soluțiile pe un interval sau pe mulțimea numerelor naturale, rezolvarea pe $\mathbb{R}$ e doar pasul intermediar.
• Te blochezi la răspunsurile $\mathbb{R}$ și $\varnothing$. Sunt răspunsuri perfect valide, tipice cazului $\Delta <0$; nu înseamnă că ai greșit calculul, ci că parabola nu întâlnește deloc axa.

Aplică acasă

1. Fereastra ta de timp. Alege un fenomen din viața ta care urcă și apoi coboară (temperatura din cameră după ce deschizi fereastra iarna, numărul de mesaje primite pe zi în timpul unei sărbători, înălțimea unei mingi aruncate). Notează câteva valori, propune un model de gradul al doilea aproximativ și rezolvă o inecuație de tipul „când depășește pragul $m$?".

2. Colecția de mulțimi de soluții. Ia o singură expresie, de exemplu $x^2-5x+4$, și rezolvă toate cele patru inecuații posibile cu ea ($>$, $\ge$, $<$, $\le$). Scrie cele patru mulțimi una sub alta și observă cum se completează două câte două: reuniunea soluțiilor pentru $\ge$ și $\le$ acoperă tot $\mathbb{R}$, iar intersecția lor e formată exact din rădăcini.

3. Verificatorul. Alege trei inecuații din culegere, rezolvă-le, apoi verifică fiecare răspuns testând cinci valori: una din fiecare interval al axei și câte una exact în rădăcini. Dacă toate cinci se potrivesc cu mulțimea scrisă de tine, rezolvarea e aproape sigur corectă.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă studiul semnului într-o metodă de rezolvare completă. Verifică trei deprinderi: aducerea la forma cu zero (cu schimbarea sensului la înmulțirea cu numere negative), citirea corectă a poziției parabolei față de axă și scrierea riguroasă a mulțimii soluțiilor, cu paranteze potrivite. A treia este cea mai des ratată, deși e cea mai ușor de controlat: rădăcina se înlocuiește în inecuație și se vede imediat dacă aparține sau nu mulțimii de soluții.

Întrebări bune de control: „Ce soluție are $x^2+1<0$?" (mulțimea vidă); „Când o inecuație de gradul al doilea are ca soluție tot $\mathbb{R}$?" (când $\Delta <0$ și semnul cerut coincide cu semnul lui $a$, sau când $\Delta =0$ cu inegalitate nestrictă); „De ce la $\le$ punem paranteză dreaptă?" (fiindcă în rădăcini expresia e nulă, iar zero satisface inegalitatea nestrictă). Semne că a înțeles: desenează schița parabolei înainte de a scrie răspunsul, nu confundă $\varnothing$ cu $\{0\}$ și intersectează cu domeniul atunci când problema îl impune.

La Bacalaureat, inecuațiile de gradul al doilea apar frecvent în subiectul al doilea, mai ales în forma „determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $f(x)\le g(x)$", precum și ca instrument în alte capitole: domenii de definiție cu radical, condiții asupra unui parametru, monotonia unor funcții. Ele reapar la clasa a XI-a în studiul semnului derivatei, unde tot regula semnului trinomului decide monotonia.

Întrebări frecvente

Cum rezolv o inecuație de gradul al doilea? Aduci totul într-un membru, calculezi $\Delta$ și rădăcinile, faci schița parabolei după semnul lui $a$ și citești pe axă intervalele în care graficul e de partea cerută. La final verifici cu o valoare de probă din fiecare interval.

Când sunt rădăcinile incluse în mulțimea soluțiilor? Numai la inegalități nestricte, $\ge$ sau $\le$. În rădăcini expresia e egală cu zero, iar zero verifică „mai mare sau egal cu zero", dar nu verifică „strict mai mare ca zero".

Ce înseamnă că soluția unei inecuații este mulțimea vidă? Înseamnă că niciun număr real nu satisface inecuația. Se întâmplă, de exemplu, când $\Delta <0$, $a>0$ și se cere ca expresia să fie negativă: parabola e complet deasupra axei, deci nu coboară niciodată sub ea.

Cum rezolv o inecuație de gradul al doilea doar pe un interval? Rezolvi mai întâi pe $\mathbb{R}$, obții mulțimea $S$, apoi calculezi intersecția $S\cap D$, unde $D$ este intervalul din enunț. Este singura metodă sigură; încercarea de a lucra direct pe interval duce ușor la omiterea unor bucăți.

Cum rezolv o inecuație de forma f(x) ≥ g(x)? Muți totul într-un membru și studiezi semnul diferenței $f(x)-g(x)$. Dacă diferența e de gradul al doilea, aplici exact metoda din lecție. Geometric, cauți zonele în care graficul lui $f$ este deasupra graficului lui $g$.

De ce trebuie să schimb sensul inegalității când împart cu un număr negativ? Pentru că înmulțirea cu un număr negativ inversează ordinea pe axa numerelor: din $2<5$ obții $-2>-5$. Regula se aplică identic la inecuații, iar uitarea ei dă exact răspunsul complementar celui corect.

Poate soluția să fie formată dintr-un singur număr? Da, în cazul $\Delta =0$ cu inegalitate nestrictă „nefavorabilă": de exemplu $x^2-4x+4\le 0$ are soluția $\{2\}$, fiindcă $(x-2{)}^2$ e nul doar în $2$ și pozitiv în rest.

Ce legătură are inecuația cu graficul funcției? Una directă: mulțimea soluțiilor inecuației $f(x)>0$ este proiecția pe axa $Ox$ a porțiunii de grafic aflate deasupra axei. De aceea o schiță corectă a parabolei rezolvă, practic, inecuația înainte de orice calcul suplimentar.