Acasă · Lecții · clasa a X-a · Formula de schimbare a bazei. Logaritmi zecimali și naturali

Formula de schimbare a bazei. Logaritmi zecimali și naturali

Ia în mână un calculator științific și caută tasta pentru $lo g_{2}$ . Nu există. Găsești doar log (logaritmul zecimal, în baza $10$ ) și ln (logaritmul natural, în baza $e$ ). Și totuși, în informatică $lo g_{2}$ apare la fiecare pas: numărul de biți necesari pentru a codifica $N$ valori, adâncimea unui arbore binar, complexitatea căutării binare. Cum calculezi atunci $lo g_{2} 1000$ cu un instrument care nu știe decât două baze?

Răspunsul este o singură formulă, poate cea mai folosită din tot capitolul: formula de schimbare a bazei. Ea spune că logaritmii în baze diferite nu sunt lucruri străine unele de altele, ci diferă doar printr-un factor constant — deci este suficient să știi logaritmii într-o singură bază ca să-i cunoști în toate celelalte. Din ea se obțin, în două rânduri de calcul, câteva consecințe pe care baremele de Bacalaureat M1 le cer aproape în fiecare an.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți și să demonstrezi formula de schimbare a bazei $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ .
Vei ști consecința $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ și condiția suplimentară pe care o cere.
Vei ști să simplifici baze care sunt puteri: $lo g_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} lo g_{a} b$ .
Vei ști să calculezi produse telescopice de logaritmi, de tipul $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 \cdot lo g_{4} 5$ .
Vei ști să folosești $l g$ și $ln$ pentru a obține valoarea numerică a oricărui logaritm.
Vei ști să răspunzi la întrebări practice: câte cifre are un număr mare, după cât timp se dublează o investiție.

Hai să descoperim împreună

1. Ideea: toți logaritmii sunt „același" logaritm

Să comparăm două coloane de valori:

$lo g_{2} 4 = 2, lo g_{2} 8 = 3, lo g_{2} 16 = 4;$ $lo g_{4} 4 = 1, lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}, lo g_{4} 16 = 2.$

Fiecare valoare din a doua linie este exact jumătate din cea de deasupra ei. Nu e o coincidență: trecerea de la baza $2$ la baza $4$ împarte toți logaritmii la același număr, $lo g_{2} 4 = 2$ . Formula de mai jos spune că așa se întâmplă întotdeauna.

Enunțată în cuvinte, ideea sună așa: două „rigle logaritmice" cu baze diferite măsoară aceleași lucruri, doar cu unități diferite — exact cum metrul și piciorul măsoară aceeași lungime, cu numere care diferă printr-un factor fix. De aceea, dacă ai tabelul logaritmilor într-o singură bază, îi ai în toate.

2. Teorema de schimbare a bazei

Teoremă. Fie $a, c > 0$ , $a \neq = 1$ , $c \neq = 1$ și $b > 0$ . Atunci

$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} .$

Demonstrație. Notăm $x = lo g_{a} b$ . Din definiția logaritmului, $a^{x} = b$ . Aplicăm logaritmul în baza $c$ ambilor membri — operație corectă, pentru că ambii membri sunt strict pozitivi:

$lo g_{c} a^{x} = lo g_{c} b .$

Folosim proprietatea puterii, demonstrată la proprietățile logaritmilor: $x lo g_{c} a = lo g_{c} b$ . Rămâne să împărțim la $lo g_{c} a$ , ceea ce este permis deoarece $a \neq = 1$ , deci $lo g_{c} a \neq = 0$ . Obținem $x = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ , adică exact enunțul. $■$

Reține în ce ordine se scrie: argumentul sus, baza jos. O verificare de siguranță, pe care o poți face în două secunde: pune $b = a$ . În stânga obții $lo g_{a} a = 1$ , în dreapta $\frac{lo g _{c} a}{lo g _{c} a} = 1$ ✓.

Exemplu: $lo g_{8} 32 = \frac{lo g _{2} 32}{lo g _{2} 8} = \frac{5}{3}$ . Verificare: $8^{5/3} = (2^{3})^{5/3} = 2^{5} = 32$ ✓.

✏️Ilustrație: trei coloane verticale etichetate „baza 2", „baza 4", „baza 10", fiecare cu valorile logaritmilor lui 8, 16, 64; săgeți orizontale între coloane, etichetate cu factorii constanți de conversie

3. Prima consecință: inversarea bazei cu argumentul

Luăm în formulă $c = b$ . Atunci

$lo g_{a} b = \frac{lo g _{b} b}{lo g _{b} a} = \frac{1}{lo g _{b} a} .$

Consecință. Pentru $a, b > 0$ , $a \neq = 1$ și $b \neq = 1$ :

$lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}, echivalent lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1.$

Condiția $b \neq = 1$ este esențială și se uită des: dacă $b = 1$ , atunci $lo g_{b} a$ nici nu are sens (baza nu poate fi $1$ ), iar $lo g_{a} 1 = 0$ , deci relația s-ar scrie $0 = \frac{1}{ceva inexistent}$ .

Verificare numerică: $lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ și $lo g_{8} 4 = \frac{2}{3}$ , iar produsul lor este $1$ ✓.

4. A doua consecință: baze și argumente care sunt puteri

Aplicăm formula cu $c = a$ pentru a simplifica baze de forma $a^{n}$ :

$lo g_{a^{n}} b = \frac{lo g _{a} b}{lo g _{a} a ^{n}} = \frac{lo g _{a} b}{n} .$

Combinând cu proprietatea puterii pentru argument, obținem forma generală, valabilă pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ , $n \neq = 0$ :

$lo g_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} lo g_{a} b .$

Exemple: $lo g_{9} 27 = lo g_{3^{2}} 3^{3} = \frac{3}{2}$ ; $lo g_{4} 9 = lo g_{2^{2}} 3^{2} = lo g_{2} 3$ ; $lo g_{25} 125 = lo g_{5^{2}} 5^{3} = \frac{3}{2}$ .

Cazul $m = n$ merită reținut separat, pentru că apare des la examen: $lo g_{a^{n}} b^{n} = lo g_{a} b$ — dacă ridici și baza, și argumentul la aceeași putere, logaritmul nu se schimbă.

Formula funcționează și pentru exponenți negativi. Luând $n = - 1$ , obținem baza inversă:

$lo g_{1/ a} b = \frac{lo g _{a} b}{- 1} = - lo g_{a} b .$

Verificare: $lo g_{1/2} 8 = - 3$ , iar $- lo g_{2} 8 = - 3$ ✓. Este exact regula pe care ai folosit-o intuitiv la calculul logaritmilor cu bază subunitară: schimbând baza cu inversa ei, logaritmul își schimbă doar semnul.

5. A treia consecință: lanțuri de logaritmi

Scriem formula sub forma $lo g_{a} b \cdot lo g_{c} a = lo g_{c} b$ și o rearanjăm. Pentru $a, b, c$ potriviți (toate bazele strict pozitive și diferite de $1$ , argumentele strict pozitive):

$lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c .$

Demonstrație. Trecem ambii factori în baza $a$ : $lo g_{b} c = \frac{lo g _{a} c}{lo g _{a} b}$ , deci produsul devine $lo g_{a} b \cdot \frac{lo g _{a} c}{lo g _{a} b} = lo g_{a} c$ . $■$

Regula se citește ca la fracții: „ $b$ din mijloc se simplifică". De aici, produsele lungi se calculează instantaneu:

$lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 \cdot lo g_{4} 5 \cdot lo g_{5} 8 = lo g_{2} 8 = 3.$

Verificare numerică rapidă: $lo g_{2} 3 \approx 1, 585$ , $lo g_{3} 4 \approx 1, 262$ , $lo g_{4} 5 \approx 1, 161$ , $lo g_{5} 8 \approx 1, 292$ ; produsul lor este $\approx 3, 000$ ✓.

O rudă utilă a acestei relații: suma inverselor. Cum $\frac{1}{lo g _{2} 6} = lo g_{6} 2$ și $\frac{1}{lo g _{3} 6} = lo g_{6} 3$ , obținem

$\frac{1}{lo g _{2} 6} + \frac{1}{lo g _{3} 6} = lo g_{6} 2 + lo g_{6} 3 = lo g_{6} 6 = 1.$

6. Logaritmul zecimal și logaritmul natural

Reamintim notațiile fixate la logaritmul unui număr: $l g x = lo g_{10} x$ (logaritm zecimal) și $ln x = lo g_{e} x$ (logaritm natural), unde $e \approx 2, 718$ .

Valori de referință, utile de memorat:

$l g 2 \approx 0, 3010, l g 3 \approx 0, 4771, ln 2 \approx 0, 6931, ln 10 \approx 2, 3026.$

Cele două se convertesc una în alta tot cu formula de schimbare a bazei:

$ln x = \frac{l g x}{l g e} \approx \frac{l g x}{0 , 4343}, l g x = \frac{ln x}{ln 10} \approx \frac{ln x}{2 , 3026} .$

De ce tocmai aceste două baze? Baza $10$ pentru că numărăm în zece; baza $e$ pentru că descrie natural procesele de creștere continuă. Pe aceeași temă există și lecția de clasa a IX-a logaritm natural și logaritm zecimal, scrisă la nivel intuitiv.

7. Orice logaritm, cu calculatorul

Acum putem răspunde la întrebarea din deschidere. Cu formula de schimbare a bazei, în baza $10$ :

$lo g_{2} 1000 = \frac{l g 1000}{l g 2} = \frac{3}{0 , 3010} \approx 9, 97.$

Control de bun-simț: $2^{10} = 1024$ este puțin peste $1000$ , deci $lo g_{2} 1000$ trebuie să fie puțin sub $10$ ✓.

Regula practică, valabilă pe orice calculator: $lo g_{a} b$ se tastează ca log(b) / log(a) — sau ca ln(b) / ln(a), rezultatul fiind identic. De ce nu contează ce tastă alegi? Pentru că, trecând din baza $10$ în baza $e$ , atât numărătorul, cât și numitorul se împart la aceeași constantă $l g e$ , iar aceasta se simplifică:

$\frac{ln b}{ln a} = \frac{l g b / l g e}{l g a / l g e} = \frac{l g b}{l g a} .$

Verifică singur pe un exemplu: $\frac{l g 5}{l g 2} \approx \frac{0 , 6990}{0 , 3010} \approx 2, 3223$ și $\frac{ln 5}{ln 2} \approx \frac{1 , 6094}{0 , 6931} \approx 2, 3220$ — aceeași valoare, $lo g_{2} 5$ , cu mici diferențe date doar de rotunjiri.

Un caz particular elegant: $lo g_{2} 10 = \frac{1}{l g 2} \approx 3, 3219$ , deci $lo g_{2} 10 \cdot l g 2 = 1$ — cele două sunt inverse una alteia.

8. Două aplicații care se cer des

Câte cifre are un număr mare? Un număr natural $N$ are exact $⌊ l g N ⌋ + 1$ cifre, unde $⌊ \cdot ⌋$ este partea întreagă. Motivul: $N$ are $k$ cifre exact când $1 0^{k - 1} \leq N < 1 0^{k}$ , adică $k - 1 \leq l g N < k$ .

Exemplu: $l g 2^{100} = 100 l g 2 \approx 30, 103$ , deci $2^{100}$ are $31$ de cifre. (Verificare: $2^{100} = 1267650600228229401496703205376$ — numără-le.)

✏️Ilustrație: o riglă orizontală gradată logaritmic, cu marcaje la 1, 10, 100, 1000 la distanțe egale; deasupra, numerele 2^10, 2^20, …, 2^100 poziționate pe riglă, iar la capătul din dreapta eticheta „31 de cifre"

După cât timp se dublează o sumă? Dacă un depozit crește cu $7%$ pe an, după $n$ ani capitalul este înmulțit cu $1, 0 7^{n}$ . Condiția de dublare este $1, 0 7^{n} = 2$ , deci

$n = lo g_{1, 07} 2 = \frac{l g 2}{l g 1 , 07} \approx \frac{0 , 3010}{0 , 0294} \approx 10, 2.$

Așadar suma se dublează în puțin peste zece ani; primul an întreg în care capitalul depășește dublul este al unsprezecelea. Control: $1, 0 7^{10} \approx 1, 967 < 2$ , iar $1, 0 7^{11} \approx 2, 105 > 2$ ✓.

Bancherii folosesc o variantă mentală a acestui calcul, regula lui 70: timpul de dublare este aproximativ $\frac{70}{p}$ ani, unde $p$ este procentul anual. Pentru $p = 7$ obținem $10$ ani, foarte aproape de valoarea exactă $10, 24$ ; pentru $p = 5$ regula dă $14$ ani, iar calculul exact $\frac{l g 2}{l g 1 , 05} \approx 14, 21$ . Aproximarea este bună pentru procente mici și se sprijină, în esență, pe faptul că $ln 2 \approx 0, 70$ . Vei relua acest tip de model, în detaliu, la lecția despre aplicații ale exponențialelor și logaritmilor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Schimbare de bază spre o bază comună

Calculați $lo g_{27} \frac{1}{9}$ .

Rezolvare. Aducem la baza $3$ : $27 = 3^{3}$ și $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ . Cu formula de schimbare a bazei,

$lo g_{27} \frac{1}{9} = \frac{lo g _{3} 3 ^{- 2}}{lo g _{3} 3 ^{3}} = \frac{- 2}{3} .$

Verificare: $2 7^{- 2/3} = (3^{3})^{- 2/3} = 3^{- 2} = \frac{1}{9}$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Produs de logaritmi

Calculați $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 8$ .

Rezolvare. Aplicăm regula lanțului: $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 8 = lo g_{2} 8 = 3$ .

Alternativ, cu formula scrisă explicit: $lo g_{3} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 3}$ , deci produsul este $lo g_{2} 3 \cdot \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 3} = lo g_{2} 8 = 3$ . $■$

Exemplul 3 — Sumă de inverse

Calculați $E = \frac{1}{lo g _{2} 6} + \frac{1}{lo g _{3} 6}$ .

Rezolvare. Folosim consecința $\frac{1}{lo g _{a} b} = lo g_{b} a$ , aplicabilă deoarece toate bazele și argumentele sunt strict pozitive și diferite de $1$ :

$E = lo g_{6} 2 + lo g_{6} 3 = lo g_{6} (2 \cdot 3) = lo g_{6} 6 = 1.$

Verificare numerică: $lo g_{2} 6 \approx 2, 585$ și $lo g_{3} 6 \approx 1, 631$ , iar $\frac{1}{2 , 585} + \frac{1}{1 , 631} \approx 0, 387 + 0, 613 = 1, 000$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Exprimare în funcție de un parametru

Știind că $lo g_{2} 3 = t$ , exprimați în funcție de $t$ : a) $lo g_{8} 9$ ; b) $lo g_{3} 2$ ; c) $lo g_{6} 2$ .

Rezolvare. a) $lo g_{8} 9 = lo g_{2^{3}} 3^{2} = \frac{2}{3} lo g_{2} 3 = \frac{2 t}{3}$ .

b) $lo g_{3} 2 = \frac{1}{lo g _{2} 3} = \frac{1}{t}$ .

c) Trecem în baza $2$ : $lo g_{6} 2 = \frac{1}{lo g _{2} 6} = \frac{1}{lo g _{2} ( 2 \cdot 3 )} = \frac{1}{1 + lo g _{2} 3} = \frac{1}{1 + t}$ .

Control numeric, cu $t \approx 1, 585$ : a) $\approx 1, 057$ , iar $lo g_{8} 9 \approx 1, 057$ ✓; c) $\approx 0, 387$ , iar $lo g_{6} 2 \approx 0, 387$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Ecuație cu baze diferite

Rezolvați ecuația $lo g_{4} x + lo g_{16} x = 3$ .

Rezolvare. Condiție de existență: $x > 0$ .

Aducem ambii logaritmi în baza $2$ : $lo g_{4} x = \frac{lo g _{2} x}{2}$ și $lo g_{16} x = \frac{lo g _{2} x}{4}$ . Notăm $u = lo g_{2} x$ :

$\frac{u}{2} + \frac{u}{4} = 3 ⟺ \frac{3 u}{4} = 3 ⟺ u = 4.$

Deci $lo g_{2} x = 4$ , adică $x = 16$ , care respectă condiția $x > 0$ .

Verificare: $lo g_{4} 16 = 2$ și $lo g_{16} 16 = 1$ , iar $2 + 1 = 3$ ✓. $S = {16}$ . $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Calculați $E = \frac{lo g _{3} 5}{lo g _{9} 25}$ .

Rezolvare. Prelucrăm numitorul cu formula de schimbare a bazei, trecând în baza $3$ :

$lo g_{9} 25 = lo g_{3^{2}} 5^{2} = \frac{2}{2} lo g_{3} 5 = lo g_{3} 5.$

Cum $5 \neq = 1$ , avem $lo g_{3} 5 \neq = 0$ , deci împărțirea este permisă și

$E = \frac{lo g _{3} 5}{lo g _{3} 5} = 1.$

Verificare numerică: $lo g_{3} 5 \approx 1, 465$ și $lo g_{9} 25 \approx 1, 465$ , deci raportul este $1$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Când folosești consecința $lo g_{a} b = \frac{1}{l o g _{b} a}$ , verifică de fiecare dată că nici baza, nici argumentul nu sunt egale cu $1$ .

1. Calculează $lo g_{8} 32$ și $lo g_{9} 81$ , trecând în baza potrivită.

2. Calculează $lo g_{25} 125$ și $lo g_{27} \frac{1}{9}$ .

3. Calculează $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2$ .

4. Calculează $lo g_{3} 4 \cdot lo g_{4} 5 \cdot lo g_{5} 9$ .

5. Calculează $\frac{1}{lo g _{2} 6} + \frac{1}{lo g _{3} 6}$ .

6. Scrie $lo g_{5} 8$ cu ajutorul logaritmilor zecimali și aproximează valoarea, știind că $l g 2 \approx 0, 3010$ .

7. Calculează $lo g_{2} 10 \cdot l g 2$ .

8. Demonstrează că $lo g_{a^{2}} b^{2} = lo g_{a} b$ , pentru $a, b > 0$ și $a \neq = 1$ .

9. Știind că $lo g_{2} 3 = t$ , exprimă în funcție de $t$ : $lo g_{8} 9$ , $lo g_{3} 2$ și $lo g_{6} 2$ .

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „ $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ pentru orice numere $a, b > 0$ ."

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „ $\frac{l g 8}{l g 2} = l g 4$ ."

12. Rezolvă ecuația $lo g_{4} x + lo g_{16} x = 3$ .

13. Aproximează $lo g_{2} 5$ , știind că $l g 2 \approx 0, 3010$ și $l g 5 \approx 0, 6990$ .

14. (Problemă aplicată.) Câte cifre are numărul $2^{100}$ ? (Folosește $l g 2 \approx 0, 3010$ .)

15. Un depozit bancar crește cu $7%$ pe an. După câți ani întregi capitalul depășește dublul sumei inițiale? Se dau $l g 2 \approx 0, 3010$ și $l g 1, 07 \approx 0, 0294$ .

16. Calculează produsul $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 \cdot lo g_{4} 5 \dots lo g_{63} 64$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Arătați că $lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3$ .

18. (Provocare.) Arată că $a^{l o g_{c} b} = b^{l o g_{c} a}$ , pentru $a, b > 0$ și $c > 0$ , $c \neq = 1$ . Verifică apoi relația pe cazul $3^{l g 2}$ și $2^{l g 3}$ .

Răspunsuri și explicații

1. $lo g_{8} 32 = \frac{lo g _{2} 32}{lo g _{2} 8} = \frac{5}{3}$ . Verificare: $8^{5/3} = 2^{5} = 32$ ✓. $lo g_{9} 81 = \frac{lo g _{3} 81}{lo g _{3} 9} = \frac{4}{2} = 2$ , ceea ce se vede și direct din $9^{2} = 81$ .

2. $lo g_{25} 125 = lo g_{5^{2}} 5^{3} = \frac{3}{2}$ . $lo g_{27} \frac{1}{9} = \frac{lo g _{3} 3 ^{- 2}}{lo g _{3} 3 ^{3}} = - \frac{2}{3}$ . Verificare: $2 7^{- 2/3} = 3^{- 2} = \frac{1}{9}$ ✓.

3. $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 1$ , din consecința $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ (aici $a = 2 \neq = 1$ și $b = 3 \neq = 1$ ).

4. Regula lanțului: $lo g_{3} 4 \cdot lo g_{4} 5 \cdot lo g_{5} 9 = lo g_{3} 9 = 2$ .

5. $\frac{1}{lo g _{2} 6} + \frac{1}{lo g _{3} 6} = lo g_{6} 2 + lo g_{6} 3 = lo g_{6} 6 = 1$ .

6. $lo g_{5} 8 = \frac{l g 8}{l g 5} = \frac{3 l g 2}{1 - l g 2} \approx \frac{0 , 9030}{0 , 6990} \approx 1, 29$ . Control: $5^{1} = 5 < 8 < 25 = 5^{2}$ , deci valoarea trebuie să fie între $1$ și $2$ ✓.

7. $lo g_{2} 10 = \frac{1}{l g 2}$ , deci produsul este $\frac{1}{l g 2} \cdot l g 2 = 1$ .

8. $lo g_{a^{2}} b^{2} = \frac{lo g _{a} b ^{2}}{lo g _{a} a ^{2}} = \frac{2 lo g _{a} b}{2} = lo g_{a} b$ . (Am folosit formula de schimbare a bazei spre baza $a$ și proprietatea puterii.)

9. $lo g_{8} 9 = \frac{2}{3} t$ ; $lo g_{3} 2 = \frac{1}{t}$ ; $lo g_{6} 2 = \frac{1}{1 + t}$ , pentru că $lo g_{2} 6 = lo g_{2} 2 + lo g_{2} 3 = 1 + t$ .

10. Fals. Relația cere în plus $a \neq = 1$ și $b \neq = 1$ . Pentru $b = 1$ , expresia $lo g_{b} a$ nu are sens (baza unui logaritm nu poate fi $1$ ), deci egalitatea nu poate fi scrisă. Enunțul corect: pentru $a, b > 0$ , $a \neq = 1$ , $b \neq = 1$ .

11. Fals. Membrul stâng este, prin formula de schimbare a bazei, $lo g_{2} 8 = 3$ , în timp ce $l g 4 = 2 l g 2 \approx 0, 602$ . Câtul a doi logaritmi zecimali este un logaritm în altă bază, nu logaritmul câtului.

12. Condiție: $x > 0$ . În baza $2$ : $\frac{lo g _{2} x}{2} + \frac{lo g _{2} x}{4} = 3$ , deci $\frac{3 lo g _{2} x}{4} = 3$ și $lo g_{2} x = 4$ , adică $x = 16$ . Verificare: $2 + 1 = 3$ ✓.

13. $lo g_{2} 5 = \frac{l g 5}{l g 2} \approx \frac{0 , 6990}{0 , 3010} \approx 2, 32$ . Control: $2^{2} = 4 < 5 < 8 = 2^{3}$ , deci valoarea este între $2$ și $3$ ✓.

14. $l g 2^{100} = 100 l g 2 \approx 30, 10$ . Partea întreagă este $30$ , deci numărul are $30 + 1 = 31$ de cifre.

15. Condiția este $1, 0 7^{n} > 2$ , adică $n > lo g_{1, 07} 2 = \frac{l g 2}{l g 1 , 07} \approx \frac{0 , 3010}{0 , 0294} \approx 10, 24$ . Cel mai mic număr natural care convine este $n = 11$ . Control: $1, 0 7^{10} \approx 1, 967 < 2$ , iar $1, 0 7^{11} \approx 2, 105 > 2$ ✓.

16. Aplicăm regula lanțului din aproape în aproape: $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 = lo g_{2} 4$ , apoi $lo g_{2} 4 \cdot lo g_{4} 5 = lo g_{2} 5$ și așa mai departe. Toate verigile intermediare se simplifică și rămâne $lo g_{2} 64 = 6$ . Altfel spus, scriind fiecare factor ca $\frac{l g ( k + 1 )}{l g k}$ , produsul se telescopează la $\frac{l g 64}{l g 2} = 6$ .

17. $lo g_{4} 9 = lo g_{2^{2}} 3^{2} = \frac{2}{2} lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3$ . Altfel: $lo g_{4} 9 = \frac{lo g _{2} 9}{lo g _{2} 4} = \frac{2 lo g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3$ ✓.

18. Logaritmăm ambii membri în baza $c$ (au sens, fiind strict pozitivi). În stânga obținem $lo g_{c} a^{l o g_{c} b} = lo g_{c} b \cdot lo g_{c} a$ ; în dreapta, $lo g_{c} b^{l o g_{c} a} = lo g_{c} a \cdot lo g_{c} b$ . Cele două expresii coincid, iar funcția logaritmică fiind injectivă, rezultă egalitatea numerelor de la care am plecat. Verificare numerică: $3^{l g 2} \approx 1, 3920$ și $2^{l g 3} \approx 1, 3920$ ✓. Relația este utilă când vrei să compari două puteri cu exponenți logaritmici: poți muta oricând baza și argumentul între ele.

De reținut

Formula de schimbare a bazei: $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ , pentru $a, c > 0$ , $a, c \neq = 1$ , $b > 0$ . Argumentul sus, baza jos.
Inversarea: $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ , cu condiția suplimentară $b \neq = 1$ ; echivalent, $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ .
Baze și argumente ca puteri: $lo g_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} lo g_{a} b$ ; în particular, $lo g_{a^{n}} b^{n} = lo g_{a} b$ .
Lanțul: $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$ — „veriga din mijloc se simplifică"; produsele lungi se calculează dintr-o privire.
Cu calculatorul: $lo g_{a} b = \frac{l g b}{l g a} = \frac{ln b}{ln a}$ . Valori de reținut: $l g 2 \approx 0, 3010$ , $l g 3 \approx 0, 4771$ , $ln 2 \approx 0, 6931$ .

Greșeli frecvente

Inversezi formula. Se scrie argumentul la numărător și baza la numitor: $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ . Testul rapid: pentru $b = a$ rezultatul trebuie să fie $1$ .
Uiți condiția $b \neq = 1$ la relația $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ . Fără ea, enunțul este fals, pentru că $lo g_{b} a$ nici nu există.
Confunzi $\frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ cu $lo g_{c} \frac{b}{a}$ . Primul este $lo g_{a} b$ , al doilea este $lo g_{c} b - lo g_{c} a$ — lucruri complet diferite.
Simplifici greșit baza-putere. $lo g_{a^{3}} b = \frac{1}{3} lo g_{a} b$ , nu $3 lo g_{a} b$ : exponentul din bază coboară la numitor.
Rotunjești prea devreme. La calculele numerice, păstrează patru zecimale până la final; altfel, un rezultat de tipul „câte cifre are $2^{100}$ " poate ieși cu o unitate greșit.

Aplică acasă

Calculatorul fără $lo g_{2}$ . Calculează cu telefonul $lo g_{2} N$ pentru $N \in {100, 1000, 1 0^{6}}$ , folosind raportul de logaritmi zecimali. Compară rezultatele cu numărul de biți necesari pentru a codifica $N$ valori distincte și explică de ce cele două răspunsuri sunt legate.
Câte cifre? Estimează, cu $l g 2 \approx 0, 3010$ și $l g 3 \approx 0, 4771$ , numărul de cifre ale numerelor $2^{64}$ , $3^{50}$ și $6^{40}$ . Verifică apoi cel puțin unul dintre rezultate cu un instrument digital.
Regula banilor. Pentru trei rate de dobândă (de exemplu $3%$ , $5%$ și $10%$ ), calculează timpul de dublare cu formula $n = \frac{l g 2}{l g ( 1 + r )}$ . Compară rezultatele cu „regula lui 70" folosită de bancheri (timpul de dublare $\approx 70/ p$ , unde $p$ este procentul) și scrie în două rânduri cât de bună este aproximarea.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează formula de schimbare a bazei, cerută explicit de programa de matematică-informatică pentru clasa a X-a („Logaritmi: operații, formula de schimbare a bazei"), prin competențele X.CS.2.1, X.CS.3.1 și X.CS.6.1. Dincolo de formulă, se evaluează consecințele ei: inversarea bazei cu argumentul, simplificarea bazelor-puteri și regula lanțului, folosite intens în subiectele de examen.

Întrebări bune de control: „Cum calculezi $lo g_{2} 10$ cu un calculator care are doar log și ln?" ( $l g 10/ l g 2$ ); „Ce condiție lipsește în $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ ?" ( $b \neq = 1$ ); „De ce $lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3$ ?" (baza și argumentul sunt ridicate la aceeași putere). Semne că a înțeles: nu inversează raportul, verifică rezultatul prin încadrare între puteri și folosește regula lanțului fără să scrie fiecare pas.

La Bacalaureatul M1, formula apare în Subiectul I (calcule de tipul $lo g_{9} 27$ sau produse de logaritmi) și ca pas obligatoriu în ecuațiile logaritmice cu baze diferite, unde toate logaritmurile trebuie aduse la o bază comună. Continuarea firească este lecția despre funcția logaritmică, în care proprietățile de calcul se traduc în proprietăți ale graficului.

Întrebări frecvente

Care este formula de schimbare a bazei? $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ , valabilă pentru $a, c > 0$ , $a \neq = 1$ , $c \neq = 1$ și $b > 0$ . Argumentul se scrie la numărător, baza la numitor, iar noua bază $c$ se alege cum este mai convenabil.

Cum calculez $lo g_{2} x$ dacă nu am tasta corespunzătoare? Folosești raportul $\frac{l g x}{l g 2}$ sau $\frac{ln x}{ln 2}$ — ambele dau același rezultat. De exemplu, $lo g_{2} 1000 = \frac{3}{0 , 3010} \approx 9, 97$ .

De ce $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ ? Pentru că, aplicând formula cu noua bază egală cu $b$ , obții $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ . Relația cere însă ca ambele numere să fie diferite de $1$ , altfel unul dintre logaritmi nu există.

Ce înseamnă $lo g_{a^{n}} b = \frac{1}{n} lo g_{a} b$ ? Că ridicarea bazei la puterea $n$ împarte logaritmul la $n$ . De exemplu, $lo g_{8} 5 = \frac{1}{3} lo g_{2} 5$ , deoarece $8 = 2^{3}$ . Dacă și argumentul este ridicat la aceeași putere, cele două efecte se anulează: $lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3$ .

Care este diferența dintre $l g$ și $ln$ ? $l g$ este logaritmul în baza $10$ , potrivit pentru ordine de mărime și număr de cifre; $ln$ este logaritmul în baza $e \approx 2, 718$ , potrivit pentru procese de creștere continuă. Se convertesc unul în celălalt prin împărțire la o constantă: $ln x = \frac{l g x}{l g e}$ .

Cum aflu câte cifre are un număr foarte mare? Calculezi partea întreagă a logaritmului zecimal și adaugi $1$ . De exemplu, $l g 2^{100} \approx 30, 10$ , deci $2^{100}$ are $31$ de cifre.

De ce se simplifică produsele de logaritmi de tipul $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4$ ? Pentru că regula lanțului spune $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$ : baza celui de-al doilea coincide cu argumentul primului și „se simplifică", exact ca la înmulțirea fracțiilor.