Inecuații exponențiale

Un laborator pornește o cultură de bacterii cu $200$ de mii de celule, care se dublează în fiecare oră. Numărul de celule după $t$ ore este $N(t)=200\cdot 2^t$ mii. Vasul se sparge când sunt depășite $12800$ de mii de celule. Întrebarea nu mai este „când sunt exact atâtea", ci „de când încolo sunt mai multe" — adică o inecuație: $200\cdot 2^t>12800$.

Diferența față de o ecuație pare mică, dar ascunde o capcană care costă anual mii de puncte la Bacalaureatul M1. Ca să treci de la $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ la o comparație între exponenți, ai nevoie de monotonia funcției exponențiale — iar aceasta depinde de bază. Când $a>1$, funcția urcă și sensul inegalității se păstrează. Când $0<a<1$, funcția coboară și sensul inegalității se schimbă. Toată lecția se sprijină pe această discuție, pe care nu ai voie s-o sari niciodată.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți teorema de echivalență pentru inecuațiile exponențiale, în cele două cazuri: $a>1$ și $0<a<1$.
• Vei ști când se păstrează și când se schimbă sensul inegalității și de ce.
• Vei ști să rezolvi inecuații elementare $a^{f(x)}\le a^{g(x)}$, aducând ambii membri la aceeași bază.
• Vei ști să tratezi inecuațiile $a^{f(x)}>b$ inclusiv când $b\le 0$, folosind pozitivitatea exponențialei.
• Vei ști să folosești substituția $t=a^x$ la inecuații și să transferi corect soluția înapoi în $x$.
• Vei ști să scrii soluția ca reuniune de intervale și să o verifici cu valori de probă.

Hai să descoperim împreună

1. Ne reamintim: monotonia decide totul

Funcția exponențială $f:\mathbb{R}\to (0,\infty )$, $f(x)=a^x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$, are două comportamente, studiate la proprietățile funcției exponențiale și la compararea puterilor cu aceeași bază:

• dacă $a>1$, funcția este strict crescătoare: exponenți mai mari dau valori mai mari;
• dacă $0<a<1$, funcția este strict descrescătoare: exponenți mai mari dau valori mai mici.

Compară pe un caz concret. Pentru $a=2$: $2^1=2<4=2^2<8=2^3$ — valorile cresc odată cu exponentul. Pentru $a=\frac{1}{2}$: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{1}{2}>\frac{1}{4}>\frac{1}{8}$ — valorile scad, deși exponenții cresc.

2. Teorema de echivalență, în două cazuri

Teoremă. Fie $a>0$, $a\ne 1$, și $u,v$ două numere reale.

• Dacă $a>1$, atunci $a^u<a^v⟺u<v$ (sensul se păstrează).
• Dacă $0<a<1$, atunci $a^u<a^v⟺u>v$ (sensul se schimbă).

Demonstrație. Presupunem $a>1$. Implicația „$\Leftarrow$" este chiar definiția strictei creșteri: din $u<v$ rezultă $a^u<a^v$. Pentru „$\Rightarrow$", raționăm prin reducere la absurd: dacă am avea $u\ge v$, atunci din monotonie ar rezulta $a^u\ge a^v$, în contradicție cu ipoteza $a^u<a^v$; deci $u<v$.

Pentru $0<a<1$ demonstrația este identică, cu monotonia inversată: din $u>v$ rezultă $a^u<a^v$, iar reciproca se obține tot prin reducere la absurd. $■$

Aceleași echivalențe rămân valabile cu $\le$ în loc de $<$ (funcția fiind strict monotonă, deci și injectivă, egalitatea valorilor înseamnă egalitatea exponenților).

Reține formularea scurtă, cea pe care o vei scrie la examen: „baza este supraunitară, deci sensul se păstrează" sau „baza este subunitară, deci sensul se schimbă". Fără această propoziție, baremul nu acordă punctajul de metodă.

3. Cum se vede soluția pe grafic

Teorema are și o citire geometrică, foarte utilă pentru control. A rezolva $a^x>b$ înseamnă a căuta acele abscise pentru care graficul funcției exponențiale se află deasupra dreptei orizontale $y=b$.

Presupunem întâi $b>0$, adică dreapta chiar taie curba. Dacă $a>1$, curba urcă de la stânga la dreapta: taie dreapta $y=b$ într-un singur punct, iar la dreapta acelui punct rămâne deasupra. De aceea soluția este un interval de forma $(x_0,\infty )$. Dacă $0<a<1$, curba coboară: rămâne deasupra dreptei la stânga punctului de intersecție, deci soluția este $(-\infty ,x_0)$. Pentru $b\le 0$, dreapta trece pe sub curbă fără s-o atingă — caz pe care îl tratăm separat în secțiunea 7.

Iată de ce discuția după bază nu este o convenție arbitrară, ci descrie două desene diferite. Când nu ești sigur de sens, schițează în trei secunde curba și dreapta: răspunsul se citește de pe desen.

4. Algoritmul în patru pași

1. Aduci ambii membri la aceeași bază, folosind regulile puterilor.
2. Compari baza cu 1 și scrii explicit dacă sensul se păstrează sau se schimbă.
3. Rezolvi inecuația dintre exponenți — de gradul întâi, de gradul al doilea sau alta cunoscută.
4. Scrii soluția pe intervale și o verifici cu o valoare de probă din fiecare interval.

Pasul 4 nu este decorativ. La o ecuație verifici soluțiile una câte una; la o inecuație, mulțimea soluțiilor e infinită, așa că se verifică prin valori de probă: iei un număr din interiorul intervalului găsit și unul din afara lui și controlezi că primul verifică inecuația, iar al doilea nu.

5. Cele două cazuri, pe exemple

Bază supraunitară — sensul se păstrează. Rezolvăm $2^{x-1}>8$.

Scriem $8=2^3$ și obținem $2^{x-1}>2^3$. Baza este $2>1$, deci sensul se păstrează: $x-1>3$, adică $x>4$. Soluția este $S=(4,\infty )$.

Probă: pentru $x=5$ (din interior), $2^4=16>8$ ✓; pentru $x=3$ (din exterior), $2^2=4>8$ este fals ✓.

Rezolvăm și inecuația din deschidere: $200\cdot 2^t>12800$. Împărțim la $200$: $2^t>64=2^6$. Baza $2>1$, deci $t>6$. Vasul se sparge după $6$ ore. Probă: la $t=6$ avem exact $200\cdot 64=12800$ (limita), la $t=7$ avem $25600>12800$ ✓.

Bază subunitară — sensul se schimbă. Rezolvăm ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9$.

Scriem $9=3^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$, deci inecuația devine ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$. Baza este $\frac{1}{3}\in (0,1)$, subunitară, deci sensul se schimbă: $x\le -2$. Soluția este $S=(-\infty ,-2]$.

Probă: pentru $x=-3$, ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=27\ge 9$ ✓; pentru $x=0$, $1\ge 9$ este fals ✓. La capăt, $x=-2$ dă exact $9\ge 9$ ✓, deci $-2$ aparține soluției — de aceea intervalul este închis la dreapta.

Alternativa, la fel de corectă: scrii totul în baza $3$. Din ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=3^{-x}$ obții $3^{-x}\ge 3^2$, cu baza $3>1$, deci $-x\ge 2$, adică $x\le -2$. Același rezultat. Alege o singură cale și mergi până la capăt cu ea — amestecul celor două este cauza obișnuită a erorilor de semn.

6. Când exponentul este o expresie de gradul al doilea

Rezolvăm ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-3x}\le 4$.

Scriem $4={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$. Baza $\frac{1}{2}$ este subunitară, deci sensul se schimbă:

$$x^2-3x\ge -2⟺x^2-3x+2\ge 0.$$

Rezolvăm inecuația de gradul al doilea, ca la inecuații de gradul al doilea: rădăcinile trinomului sunt $1$ și $2$, iar coeficientul dominant este pozitiv, deci trinomul este $\ge 0$ în afara rădăcinilor. Obținem $S=(-\infty ,1]\cup [2,\infty )$.

Probă: pentru $x=0$ (interior), exponentul este $0$ și avem $1\le 4$ ✓; pentru $x=1,5$ (exterior), exponentul este $2,25-4,5=-2,25$, iar ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2,25}=2^{2,25}\approx 4,76\le 4$ este fals ✓.

7. Inecuații cu membrul drept negativ sau nul

Uneori nu e nevoie de niciun calcul, ci doar de o proprietate: $a^x>0$ pentru orice $x$ real. De aici:

• $3^x>-5$ este adevărată pentru orice $x$, deci $S=\mathbb{R}$;
• $5^x<0$ nu este adevărată niciodată, deci $S=\varnothing$;
• $2^x\ge 0$ este adevărată pentru orice $x$, deci $S=\mathbb{R}$.

Nu încerca să „logaritmezi" sau să aduci la aceeași bază în aceste situații — nu are sens și pierzi timp. Citește întâi semnul membrului drept.

8. Substituția la inecuații

Rezolvăm $4^x-5\cdot 2^x+4<0$. Notăm $t=2^x$, $t>0$, exact ca la ecuații exponențiale prin substituție. Inecuația devine

$$t^2-5t+4<0.$$

Trinomul are rădăcinile $1$ și $4$ și coeficient dominant pozitiv, deci este negativ între rădăcini: $1<t<4$. Condiția $t>0$ este automat îndeplinită aici, dar se scrie oricum.

Revenim la $x$: $1<2^x<4$, adică $2^0<2^x<2^2$. Baza $2$ este supraunitară, deci sensul se păstrează în ambele inegalități: $0<x<2$. Soluția este $S=(0,2)$.

Probă: pentru $x=1$, $4-10+4=-2<0$ ✓; pentru $x=3$, $64-40+4=28<0$ este fals ✓.

Atenție la un detaliu important: dacă baza ar fi fost subunitară, trecerea de la $1<t<4$ înapoi la $x$ ar fi inversat ambele inegalități. Substituția nu te scutește de discuția după bază — doar o amână până la ultimul pas.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Bază supraunitară, exponent de gradul întâi

Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuația $3^{x-1}\le 81$.

Rezolvare. Scriem $81=3^4$, deci $3^{x-1}\le 3^4$. Baza $3>1$ este supraunitară, deci sensul se păstrează: $x-1\le 4$, adică $x\le 5$. Soluția: $S=(-\infty ,5]$.

Probă: $x=5$ dă $3^4=81\le 81$ ✓; $x=6$ dă $3^5=243\le 81$ fals ✓. $■$

Exemplul 2 — Bază subunitară scrisă cu virgulă

Rezolvați inecuația $0,2^{x+1}>0,04$.

Rezolvare. Observăm că $0,04=0,2^2$. Inecuația devine $0,2^{x+1}>0,2^2$. Baza $0,2=\frac{1}{5}$ este subunitară, deci sensul se schimbă: $x+1<2$, adică $x<1$. Soluția: $S=(-\infty ,1)$.

Probă: $x=0$ dă $0,2>0,04$ ✓; $x=2$ dă $0,008>0,04$ fals ✓. $■$

Exemplul 3 — Baze diferite, aduse la una comună

Rezolvați inecuația ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x\ge 2^{x+3}$.

Rezolvare. Aducem totul la baza $2$: ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x={\left(2^{-2}\right)}^x=2^{-2x}$. Inecuația devine $2^{-2x}\ge 2^{x+3}$. Baza $2>1$, sensul se păstrează:

$$-2x\ge x+3⟺-3x\ge 3⟺x\le -1.$$

La ultimul pas am împărțit la $-3$, număr negativ, deci sensul s-a schimbat — dar aici din motive de inecuație obișnuită, nu din cauza bazei. Soluția: $S=(-\infty ,-1]$.

Probă: $x=-1$ dă $4\ge 4$ ✓; $x=-2$ dă $16\ge 2$ ✓; $x=0$ dă $1\ge 8$ fals ✓. $■$

Exemplul 4 — Inecuație dublă

Rezolvați $\frac{1}{9}<3^{x-1}\le 27$.

Rezolvare. Scriem $\frac{1}{9}=3^{-2}$ și $27=3^3$, deci $3^{-2}<3^{x-1}\le 3^3$. Baza $3>1$, sensul se păstrează în ambele inegalități:

$$-2<x-1\le 3⟺-1<x\le 4.$$

Soluția: $S=(-1,4]$. Probă: $x=0$ dă $\frac{1}{3}$, cuprins între $\frac{1}{9}$ și $27$ ✓; $x=5$ dă $81>27$, fals ✓. $■$

Exemplul 5 — Substituție și trinom

Rezolvați $3^{2x}-4\cdot 3^x+3\le 0$.

Rezolvare. Notăm $t=3^x$, $t>0$. Cum $3^{2x}=t^2$, obținem $t^2-4t+3\le 0$, cu rădăcinile $1$ și $3$; trinomul este negativ sau nul între rădăcini, deci $1\le t\le 3$.

Revenim: $3^0\le 3^x\le 3^1$. Baza $3>1$, sensul se păstrează: $0\le x\le 1$. Soluția: $S=[0,1]$.

Probă: $x=\frac{1}{2}$ dă $3-4\sqrt{3}+3=6-4\sqrt{3}\approx -0,93\le 0$ ✓; $x=2$ dă $81-36+3=48\le 0$ fals ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{x^2-4}\ge 1$.

Rezolvare. Scriem $1={\left(\frac{2}{5}\right)}^0$, deci inecuația devine

$${\left(\frac{2}{5}\right)}^{x^2-4}\ge {\left(\frac{2}{5}\right)}^0.$$

Baza $\frac{2}{5}$ este subunitară, deci sensul se schimbă: $x^2-4\le 0$. Trinomul $x^2-4$ are rădăcinile $-2$ și $2$ și coeficient dominant pozitiv, deci este negativ sau nul între rădăcini. Soluția: $S=[-2,2]$.

Probă: $x=0$ dă ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-4}={\left(\frac{5}{2}\right)}^4=\frac{625}{16}\approx 39,06\ge 1$ ✓; $x=3$ dă ${\left(\frac{2}{5}\right)}^5=0,01024\ge 1$ fals ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare inecuație scrie explicit dacă baza este supraunitară sau subunitară și verifică soluția cu o valoare de probă.

1. Rezolvă $2^x>16$.

2. Rezolvă $3^{x-1}\le 81$ și scrie soluția ca interval.

3. Rezolvă ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<8$.

4. Rezolvă ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}\ge \frac{1}{27}$.

5. Rezolvă $0,2^{x+1}>0,04$.

6. Rezolvă ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x>\frac{9}{4}$.

7. Rezolvă, fără calcule lungi: a) $3^x>-5$; b) $5^x<0$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Din $2^a<2^b$ rezultă $a<b$."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Din $(0,7{)}^a<(0,7{)}^b$ rezultă $a<b$."

10. Rezolvă $5^{x^2-4}<1$.

11. Rezolvă $2^{x^2-x}\ge 4$.

12. Rezolvă ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-3x}\le 4$.

13. Rezolvă inecuația dublă $9<3^x\le 243$.

14. Rezolvă $2^{x+2}+2^x\le 20$. (Indicație: dă factor comun $2^x$.)

15. (Problemă aplicată.) O cultură de bacterii pornește de la $200$ de mii de celule și se dublează în fiecare oră. Vasul se sparge când numărul depășește $12800$ de mii. După câte ore se sparge vasul?

16. Rezolvă $9^x-10\cdot 3^x+9\ge 0$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x\ge 2^{x+3}$.

18. (Provocare.) Rezolvă inecuația $a^{2x-1}>a^{x+2}$, unde $a>0$ și $a\ne 1$, discutând după valorile bazei $a$.

Răspunsuri și explicații

1. $2^x>2^4$; baza $2>1$, sensul se păstrează, deci $x>4$. $S=(4,\infty )$. Probă: $x=5$ dă $32>16$ ✓.

2. $3^{x-1}\le 3^4$; baza supraunitară, deci $x-1\le 4$, adică $x\le 5$. $S=(-\infty ,5]$.

3. $8={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$, deci ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$; baza subunitară, sensul se schimbă: $x>-3$. $S=(-3,\infty )$. Probă: $x=0$ dă $1<8$ ✓, $x=-4$ dă $16<8$ fals ✓.

4. $\frac{1}{27}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3$, deci ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^3$; baza subunitară: $2x\le 3$, adică $x\le \frac{3}{2}$. $S=\left(-\infty ,\frac{3}{2}\right]$. La $x=\frac{3}{2}$ avem egalitate, deci capătul se include.

5. $0,04=0,2^2$; baza $0,2$ subunitară, deci $x+1<2$ și $x<1$. $S=(-\infty ,1)$.

6. $\frac{9}{4}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}$; baza $\frac{2}{3}$ subunitară, sensul se schimbă: $x<-2$. $S=(-\infty ,-2)$. Probă: $x=-3$ dă $\frac{27}{8}=3,375>2,25$ ✓.

7. a) $3^x>0>-5$ pentru orice $x$ real, deci $S=\mathbb{R}$. b) $5^x>0$ pentru orice $x$, deci $5^x<0$ nu are loc niciodată: $S=\varnothing$.

8. Adevărat. Baza $2$ este supraunitară, deci funcția $x\mapsto 2^x$ este strict crescătoare; din strictă monotonie crescătoare, $2^a<2^b$ implică $a<b$.

9. Fals. Baza $0,7$ este subunitară, deci funcția este strict descrescătoare și rezultă $a>b$. Contraexemplu: $0,7^2=0,49<0,7=0,7^1$, dar $2>1$.

10. $1=5^0$; baza $5>1$, sensul se păstrează: $x^2-4<0$, deci $x\in (-2,2)$. $S=(-2,2)$. Probă: $x=0$ dă $5^{-4}<1$ ✓; $x=3$ dă $5^5<1$ fals ✓.

11. $4=2^2$; baza supraunitară: $x^2-x\ge 2$, adică $x^2-x-2\ge 0$, cu rădăcinile $-1$ și $2$. Trinomul este pozitiv în afara rădăcinilor: $S=(-\infty ,-1]\cup [2,\infty )$. Probă: $x=3$ dă $2^6=64\ge 4$ ✓; $x=0$ dă $1\ge 4$ fals ✓.

12. $4={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$; baza subunitară, sensul se schimbă: $x^2-3x\ge -2$, adică $x^2-3x+2\ge 0$, cu rădăcinile $1$ și $2$. $S=(-\infty ,1]\cup [2,\infty )$. Probă: $x=0$ dă $1\le 4$ ✓; $x=1,5$ dă $2^{2,25}\approx 4,76\le 4$ fals ✓.

13. $3^2<3^x\le 3^5$; baza supraunitară, sensul se păstrează în ambele: $2<x\le 5$. $S=(2,5]$.

14. $2^{x+2}+2^x=2^x(4+1)=5\cdot 2^x$, deci inecuația devine $5\cdot 2^x\le 20$, adică $2^x\le 4=2^2$. Baza supraunitară: $x\le 2$. $S=(-\infty ,2]$. Probă: $x=2$ dă $16+4=20\le 20$ ✓.

15. Inecuația este $200\cdot 2^t>12800$, adică $2^t>64=2^6$. Baza $2>1$, deci $t>6$: vasul se sparge după $6$ ore (la exact $6$ ore sunt $12800$ de mii, adică încă la limită). Probă: la $t=7$ sunt $25600$ de mii ✓.

16. Cu $t=3^x>0$: $t^2-10t+9\ge 0$, cu rădăcinile $1$ și $9$; trinomul este pozitiv sau nul în afara rădăcinilor, deci $t\le 1$ sau $t\ge 9$ (păstrând $t>0$). Revenim: $3^x\le 3^0$ dă $x\le 0$, iar $3^x\ge 3^2$ dă $x\ge 2$. $S=(-\infty ,0]\cup [2,\infty )$. Probă: $x=1$ dă $9-30+9=-12\ge 0$ fals ✓; $x=3$ dă $729-270+9=468\ge 0$ ✓.

17. ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x=2^{-2x}$, deci $2^{-2x}\ge 2^{x+3}$. Baza $2>1$, sensul se păstrează: $-2x\ge x+3$, adică $-3x\ge 3$ și, împărțind la $-3$ (număr negativ, deci sensul se schimbă), $x\le -1$. $S=(-\infty ,-1]$. Probă: $x=-1$ dă $4\ge 4$ ✓; $x=0$ dă $1\ge 8$ fals ✓.

18. Discuție după bază. Dacă $a>1$, sensul se păstrează: $2x-1>x+2$, deci $x>3$ și $S=(3,\infty )$. Dacă $0<a<1$, sensul se schimbă: $2x-1<x+2$, deci $x<3$ și $S=(-\infty ,3)$. Verificare pentru $a=2$: la $x=4$, $2^7=128>64=2^6$ ✓. Verificare pentru $a=\frac{1}{2}$: la $x=0$, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2>\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ ✓. Observă că valoarea $x=3$ nu aparține niciunei soluții: acolo cei doi membri sunt egali.

De reținut

• Baza decide sensul. Dacă $a>1$: $a^u<a^v⟺u<v$. Dacă $0<a<1$: $a^u<a^v⟺u>v$. Propoziția „baza este subunitară, deci sensul se schimbă" se scrie explicit în rezolvare.
• Primul pas este întotdeauna aducerea la aceeași bază; abia apoi se compară exponenții.
• Cum $a^x>0$ pentru orice $x$, inecuațiile de tipul $a^{f(x)}>b$ cu $b\le 0$ au soluția $\mathbb{R}$, iar cele de tipul $a^{f(x)}<b$ cu $b\le 0$ nu au soluții.
• La substituție ($t=a^x$, $t>0$) rezolvi întâi inecuația în $t$, apoi revii la $x$ — și abia atunci faci discuția după bază.
• Soluția se scrie ca interval sau reuniune de intervale, cu capete închise acolo unde inecuația este cu $\le$ sau $\ge$, și se verifică prin valori de probă.

Greșeli frecvente

• Uiți să schimbi sensul la bază subunitară. Din ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$ nu rezultă $x<3$, ci $x>3$. Verifică mereu cu o valoare: $x=4$ dă $\frac{1}{16}<\frac{1}{8}$ ✓.
• Compari exponenții fără să aduci la aceeași bază. Din $2^x<3^{x+1}$ nu poți trece direct la $x<x+1$; bazele diferite cer altă metodă (împărțire sau logaritmare, în lecțiile următoare).
• Confunzi capetele deschise cu cele închise. La $\le$ și $\ge$, capătul unde se atinge egalitatea aparține soluției; la $<$ și $>$, nu.
• Crezi că $2^x<0$ are soluții. Funcția exponențială este strict pozitivă, deci astfel de inecuații au mulțimea soluțiilor vidă; simetric, $2^x>-1$ este adevărată pentru orice $x$, deci are soluția $\mathbb{R}$.
• La substituție revii la $x$ fără discuția după bază. Din $1<t<4$ cu $t={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ rezultă $-2<x<0$, nu $0<x<2$: baza subunitară inversează ambele inegalități.

Aplică acasă

1. Tabelul care nu minte. Fă un tabel de valori pentru $y=2^x$ și $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, cu $x$ de la $-3$ la $3$. Marchează cu o săgeată sensul în care cresc valorile în fiecare tabel. Păstrează foaia la vedere când rezolvi inecuații: te scutește de cea mai frecventă greșeală.

2. Pragul din viața ta. Alege un proces care se dublează sau se înjumătățește (un cont de economii cu dobândă, numărul de vizualizări ale unei postări, cantitatea de medicament rămasă în corp). Scrie modelul exponențial și formulează o inecuație de tipul „după cât timp depășește pragul...". Rezolv-o și verifică rezultatul cu două valori de probă.

3. Vânătoarea de capete. Ia cinci inecuații din lecție și, pentru fiecare, testează numeric chiar capătul intervalului-soluție. Notează într-un tabel dacă egalitatea are loc și dacă acel capăt aparține sau nu soluției.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează inecuațiile exponențiale, conținut explicit al programei de matematică-informatică pentru clasa a X-a („ecuații și inecuații exponențiale"), prin competențele X.CS.3.1, X.CS.4.1 și X.CS.5.1. Elementul care se evaluează cel mai des nu este calculul, ci discuția după bază: elevul trebuie să scrie, de fiecare dată, dacă baza este supraunitară sau subunitară și ce se întâmplă cu sensul inegalității.

Întrebări bune de control: „Din ${\left(\frac{1}{3}\right)}^a<{\left(\frac{1}{3}\right)}^b$ ce rezultă despre $a$ și $b$?" ($a>b$); „Care este soluția inecuației $2^x>-1$?" ($\mathbb{R}$, pentru că exponențiala e strict pozitivă); „De ce la $\le$ capătul intră în soluție?". Semne că a înțeles: verifică soluția cu valori de probă, scrie soluția ca reuniune de intervale și nu confundă schimbarea de sens datorată bazei cu cea datorată împărțirii la un număr negativ.

La Bacalaureatul M1, inecuațiile exponențiale apar frecvent în Subiectul al II-lea, cel mai des cu bază subunitară — exact acolo unde se pierd punctele. Baremul acordă puncte separate pentru aducerea la aceeași bază, pentru justificarea sensului și pentru scrierea corectă a mulțimii soluțiilor. Continuarea firească a lecției este studiul logaritmului, care va permite rezolvarea inecuațiilor cu baze care nu se pot uniformiza.

Întrebări frecvente

Când se schimbă sensul inegalității la o inecuație exponențială? Când baza este subunitară, adică $0<a<1$. Atunci funcția exponențială este strict descrescătoare, iar trecerea de la puteri la exponenți inversează inegalitatea. Pentru $a>1$ sensul se păstrează.

Cum rezolv o inecuație exponențială pas cu pas? Aduci ambii membri la aceeași bază, compari baza cu $1$ și scrii dacă sensul se păstrează sau se schimbă, rezolvi inecuația dintre exponenți și scrii soluția pe intervale. La final, verifici cu o valoare de probă din interiorul și una din afara soluției.

Ce fac dacă în dreapta am un număr negativ? Folosești faptul că $a^x>0$ pentru orice $x$ real. Inecuația $a^{f(x)}>b$ cu $b\le 0$ este adevărată pentru orice $x$ din domeniu, iar $a^{f(x)}<b$ cu $b\le 0$ nu are nicio soluție.

Pot să folosesc substituția și la inecuații? Da, exact ca la ecuații: notezi $t=a^x$ cu $t>0$, rezolvi inecuația de gradul al doilea în $t$, apoi revii la $x$. Diferența este că, la revenire, trebuie făcută din nou discuția după bază — pentru bază subunitară, inegalitățile din $t$ se inversează.

De ce nu am voie să compar direct exponenții la baze diferite? Pentru că echivalența $a^u<a^v⟺u<v$ este valabilă doar când baza este aceeași. La baze diferite comparația depinde și de mărimea bazelor: $2^{10}=1024$ este mai mic decât $3^7=2187$, deși $10>7$.

Cum scriu corect mulțimea soluțiilor? Ca interval sau reuniune de intervale, cu paranteză rotundă la capetele care nu aparțin soluției și paranteză dreaptă la cele care aparțin. De exemplu, $x\le 5$ se scrie $S=(-\infty ,5]$, iar $x>4$ se scrie $S=(4,\infty )$.

Ce înseamnă „valoare de probă" și de ce e utilă? Este un număr ales din interiorul intervalului găsit (și unul din afara lui), pe care îl înlocuiești în inecuația inițială. Dacă primul o verifică și al doilea nu, soluția e aproape sigur corectă. Este cea mai rapidă metodă de a prinde o schimbare de sens omisă.