Ecuații logaritmice

Un elev rezolvă ecuația $l g (x - 3) + l g (x - 2) = l g 2$ . Restrânge cei doi logaritmi într-unul singur, obține $(x - 3) (x - 2) = 2$ , adică $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ , și scrie triumfător: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 4$ . Calculele lui sunt toate corecte. Răspunsul lui este pe jumătate greșit. Pentru $x = 1$ , primul logaritm ar fi $l g (- 2)$ — un lucru care pur și simplu nu există.

Aceasta este marea diferență dintre ecuațiile logaritmice și tot ce ai rezolvat până acum: calculul corect nu garantează un răspuns corect. Logaritmul are un domeniu îngust, $(0, \infty)$ , iar transformările pe care le facem (restrângerea unei sume de logaritmi, de exemplu) pot lărgi acest domeniu și pot fabrica, pe drum, „soluții" care nu erau acolo la început. Ele se numesc soluții străine și se elimină într-un singur fel: scriind de la început condițiile de existență și confruntând cu ele fiecare valoare găsită. La Bacalaureat M1, baremul acordă punctaj separat pentru acest pas — nu ca formalitate, ci pentru că fără el rezolvarea nu e o rezolvare.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii, înaintea oricărui calcul, condițiile de existență ale unei ecuații logaritmice: argumentul strict pozitiv, baza pozitivă și diferită de $1$ .
Vei ști să rezolvi ecuația elementară $lo g_{a} f (x) = b$ prin trecerea la forma exponențială $f (x) = a^{b}$ .
Vei ști să rezolvi ecuațiile de tip $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ , folosind injectivitatea funcției logaritmice.
Vei ști să restrângi sume și diferențe de logaritmi și să recunoști momentul în care apar soluțiile străine.
Vei ști să folosești substituția $t = lo g_{a} x$ pentru ecuațiile de gradul al doilea în logaritm, precum și schimbarea bazei atunci când bazele diferă.
Vei ști să rezolvi ecuații cu baza necunoscută și ecuații mixte, în care apar simultan puteri și logaritmi.

Hai să descoperim împreună

1. De unde vin soluțiile străine

Reluăm exemplul din deschidere, pas cu pas. Ecuația inițială este $l g (x - 3) + l g (x - 2) = l g 2$ . Ca ea să aibă sens, trebuie ca $x - 3 > 0$ și $x - 2 > 0$ , adică $x > 3$ .

Când restrângem, folosim proprietatea $l g u + l g v = l g (uv)$ și obținem $l g ((x - 3) (x - 2)) = l g 2$ . Aici s-a produs pierderea: expresia $(x - 3) (x - 2)$ este pozitivă și pentru $x < 2$ , când ambii factori sunt negativi. Ecuația transformată are un domeniu mai larg decât cea inițială, deci poate avea soluții în plus.

Într-adevăr, $x^{2} - 5 x + 6 = 2$ dă $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ , cu rădăcinile $x = 1$ și $x = 4$ . Confruntăm cu condiția $x > 3$ : valoarea $x = 1$ nu convine și se respinge; valoarea $x = 4$ convine.

Verificare în ecuația inițială pentru $x = 4$ : $l g (4 - 3) + l g (4 - 2) = l g 1 + l g 2 = 0 + l g 2 = l g 2$ ✓.

Reține mecanismul: restrângerea logaritmilor lărgește domeniul, iar tot ce se câștigă astfel trebuie tăiat la loc cu ajutorul condițiilor.

✏️Ilustrație: două intervale suprapuse pe aceeași axă numerică — intervalul verde „domeniul ecuației inițiale: x > 3" și intervalul mai larg, gri, „domeniul după restrângere: x < 2 sau x > 3"; rădăcinile 1 și 4 marcate, cu 1 tăiat cu roșu

2. Rețeta în patru pași

Orice ecuație logaritmică se rezolvă după același tipar. Îl scriem o dată și îl vei aplica peste tot:

Condițiile de existență (CE). Pentru fiecare logaritm care apare în ecuație: argumentul $> 0$ ; iar dacă baza conține necunoscuta, în plus baza $> 0$ și baza $\neq = 1$ . Se intersectează toate condițiile și se obține o mulțime $D$ .
Rezolvarea. Se aduce ecuația la o formă cunoscută (aceeași bază, un singur logaritm, o substituție) și se rezolvă.
Confruntarea cu CE. Fiecare valoare găsită se compară cu $D$ ; cele care nu aparțin lui $D$ se resping explicit, cu motivul scris.
Verificarea. Valorile rămase se înlocuiesc în ecuația inițială, nu în cea transformată.

Pasul 4 pare redundant după pasul 3, dar nu este: el prinde și greșelile de calcul, nu doar soluțiile străine. La examen te costă treizeci de secunde și îți poate salva rezolvarea.

3. Ecuația elementară: $lo g_{a} f (x) = b$

Este cel mai simplu tip și se rezolvă prin trecerea directă la forma exponențială, așa cum ai învățat la Logaritmul unui număr: definiție și primele calcule: $lo g_{a} f (x) = b ⟺ f (x) = a^{b} (cu f (x) > 0) .$

Exemplu. Rezolvăm $lo g_{3} (x + 6) = 2$ . CE: $x + 6 > 0$ , deci $x > - 6$ . Trecem la forma exponențială: $x + 6 = 3^{2} = 9$ , deci $x = 3$ . Cum $3 > - 6$ , soluția convine. Verificare: $lo g_{3} (3 + 6) = lo g_{3} 9 = 2$ ✓.

Exemplu. Rezolvăm $lo g_{5} (x^{2} - 4 x) = 1$ . CE: $x^{2} - 4 x > 0$ , adică $x \in (- \infty, 0) \cup (4, \infty)$ . Ecuația devine $x^{2} - 4 x = 5$ , adică $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ , cu rădăcinile $x = 5$ și $x = - 1$ . Ambele respectă condiția: pentru $x = 5$ argumentul e $25 - 20 = 5 > 0$ , iar pentru $x = - 1$ este $1 + 4 = 5 > 0$ . Verificare: $lo g_{5} 5 = 1$ în ambele cazuri ✓. Soluțiile sunt $x = 5$ și $x = - 1$ .

Reține contrastul cu exemplul din secțiunea 1: nu orice a doua rădăcină se respinge. Condițiile de existență nu sunt un ritual prin care „scapi de soluția negativă"; ele sunt o verificare reală, care uneori păstrează tot.

4. Aceeași bază în ambii membri: $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$

Aici intervine injectivitatea funcției logaritmice, demonstrată în lecția Funcția logaritmică: grafic și proprietăți: $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) = g (x), \overset{ı}{ˆ} n condi ț iile f (x) > 0 ș i g (x) > 0.$

În practică e suficient să impui pozitivitatea uneia dintre expresii, pentru că din egalitate rezultă și cealaltă — dar la examen se scriu amândouă, fiindcă baremul le cere.

Exemplu. Rezolvăm $l g (x^{2} - 3) = l g (2 x)$ . CE: $x^{2} - 3 > 0$ și $2 x > 0$ , deci $x > 3$ . Prin injectivitate: $x^{2} - 3 = 2 x$ , adică $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ , cu rădăcinile $x = 3$ și $x = - 1$ . Valoarea $x = - 1$ se respinge, fiindcă nu verifică $x > 3$ (de altfel, $2 x = - 2 < 0$ ). Verificare pentru $x = 3$ : $l g (9 - 3) = l g 6$ și $l g (2 \cdot 3) = l g 6$ ✓.

5. Restrângerea logaritmilor — cuibul soluțiilor străine

Când ecuația conține o sumă sau o diferență de logaritmi cu aceeași bază, o restrângi cu proprietățile din lecția Proprietățile logaritmilor: produs, cât, putere: $lo g_{a} u + lo g_{a} v = lo g_{a} (uv), lo g_{a} u - lo g_{a} v = lo g_{a} \frac{u}{v}, k lo g_{a} u = lo g_{a} u^{k} .$

Toate trei lărgesc domeniul, deci toate trei cer disciplina condițiilor. Cea mai perfidă este a treia: $2 l g x$ are sens doar pentru $x > 0$ , dar $l g x^{2}$ are sens și pentru $x < 0$ .

Exemplu. Rezolvăm $lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x + 1) = 3$ . CE: $x - 1 > 0$ și $x + 1 > 0$ , deci $x > 1$ . Restrângem: $lo g_{2} (x^{2} - 1) = 3$ , deci $x^{2} - 1 = 8$ și $x^{2} = 9$ , cu $x = 3$ sau $x = - 3$ . Valoarea $x = - 3$ se respinge (nu verifică $x > 1$ ). Verificare pentru $x = 3$ : $lo g_{2} 2 + lo g_{2} 4 = 1 + 2 = 3$ ✓.

Exemplu cu diferență. Rezolvăm $l g (x + 1) - l g (x - 1) = l g 3$ . CE: $x > 1$ . Restrângem: $l g \frac{x + 1}{x - 1} = l g 3$ , deci $\frac{x + 1}{x - 1} = 3$ , adică $x + 1 = 3 x - 3$ și $x = 2$ , care convine. Verificare: $l g 3 - l g 1 = l g 3 - 0 = l g 3$ ✓.

6. Substituția $t = lo g_{a} x$

Când necunoscuta apare numai prin logaritmul ei, notezi $t = lo g_{a} x$ și obții o ecuație algebrică obișnuită. Scrierea $l g^{2} x$ înseamnă $(l g x)^{2}$ — atenție, nu $l g (x^{2})$ , care e cu totul altceva.

Exemplu. Rezolvăm $l g^{2} x - 3 l g x + 2 = 0$ . CE: $x > 0$ . Notăm $t = l g x$ ; ecuația devine $t^{2} - 3 t + 2 = 0$ , cu $t_{1} = 1$ și $t_{2} = 2$ . Revenim: $l g x = 1 \Rightarrow x = 10$ ; $l g x = 2 \Rightarrow x = 100$ . Ambele sunt pozitive, deci convin. Verificare: pentru $x = 10$ , $1 - 3 + 2 = 0$ ✓; pentru $x = 100$ , $4 - 6 + 2 = 0$ ✓.

Avantajul substituției e că, după revenire, obții $x = a^{t}$ , adică automat un număr pozitiv: la acest tip de ecuație soluțiile străine sunt imposibile. Asta nu te scutește de a scrie condiția $x > 0$ — dar explică de ce, aici, nu se respinge nimic.

Când bazele diferă, le aduci mai întâi la una singură. De exemplu, în $lo g_{2} x + lo g_{4} x = 3$ folosim $lo g_{4} x = \frac{lo g _{2} x}{lo g _{2} 4} = \frac{lo g _{2} x}{2}$ . Cu $t = lo g_{2} x$ : $t + \frac{t}{2} = 3$ , deci $\frac{3 t}{2} = 3$ și $t = 2$ , de unde $x = 4$ . Verificare: $lo g_{2} 4 + lo g_{4} 4 = 2 + 1 = 3$ ✓.

7. Ecuații cu baza necunoscută

Dacă necunoscuta este în bază, condițiile se dublează: baza trebuie să fie strict pozitivă și diferită de $1$ .

Exemplu. Rezolvăm $lo g_{x} 16 = 4$ . CE: $x > 0$ și $x \neq = 1$ . Trecem la forma exponențială: $x^{4} = 16$ . În mulțimea numerelor reale, ecuația are soluțiile $x = 2$ și $x = - 2$ , dar $- 2$ se respinge prin condiția $x > 0$ . Rămâne $x = 2$ . Verificare: $2^{4} = 16$ , deci $lo g_{2} 16 = 4$ ✓.

Exemplu. Rezolvăm $lo g_{x} 9 = 2$ . CE: $x > 0$ , $x \neq = 1$ . Obținem $x^{2} = 9$ , cu $x = 3$ sau $x = - 3$ ; se respinge $- 3$ . Soluția: $x = 3$ , fiindcă $3^{2} = 9$ ✓.

✏️Ilustrație: schema în patru casete a rețetei — „1. Condiții de existență", „2. Rezolv", „3. Confrunt cu CE și resping", „4. Verific în ecuația inițială" — legate prin săgeți, cu caseta 3 evidențiată cu roșu și eticheta „aici se pierd punctele la barem"

8. Ecuații mixte: puteri și logaritmi în aceeași ecuație

Uneori aceeași ecuație conține și o exponențială, și un logaritm. Strategia rămâne aceeași: notezi puterea cu o literă nouă și reduci totul la o ecuație algebrică.

Exemplu. Rezolvăm $lo g_{2} (9 - 2^{x}) = 3 - x$ . CE: $9 - 2^{x} > 0$ . Trecem la forma exponențială: $9 - 2^{x} = 2^{3 - x} = \frac{8}{2 ^{x}}$ . Notăm $u = 2^{x} > 0$ și înmulțim cu $u$ : $9 u - u^{2} = 8 ⟺ u^{2} - 9 u + 8 = 0 ⟺ u \in {1, 8} .$ Revenim: $2^{x} = 1 \Rightarrow x = 0$ și $2^{x} = 8 \Rightarrow x = 3$ . Verificăm condiția: pentru $x = 0$ , $9 - 1 = 8 > 0$ ✓; pentru $x = 3$ , $9 - 8 = 1 > 0$ ✓. Verificare în ecuația inițială: $lo g_{2} 8 = 3 = 3 - 0$ ✓ și $lo g_{2} 1 = 0 = 3 - 3$ ✓. Soluțiile sunt $x = 0$ și $x = 3$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuație elementară

Rezolvați ecuația $lo g_{3} (x - 1) = 2$ .

Rezolvare. CE: $x - 1 > 0$ , deci $x > 1$ .

Trecem la forma exponențială: $x - 1 = 3^{2} = 9$ , de unde $x = 10$ . Cum $10 > 1$ , soluția convine.

Verificare: $lo g_{3} (10 - 1) = lo g_{3} 9 = 2$ ✓. Soluția: $x = 10$ .

Exemplul 2 — O soluție se respinge

Rezolvați ecuația $lo g_{4} x + lo g_{4} (x - 3) = 1$ .

Rezolvare. CE: $x > 0$ și $x - 3 > 0$ ; intersecția dă $x > 3$ .

Restrângem: $lo g_{4} (x (x - 3)) = 1$ , deci $x^{2} - 3 x = 4$ , adică $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ , cu rădăcinile $x = 4$ și $x = - 1$ .

Confruntarea cu CE: $x = - 1$ nu verifică $x > 3$ — mai mult, ar da $lo g_{4} (- 1)$ , care nu există. Se respinge. Rămâne $x = 4$ .

Verificare: $lo g_{4} 4 + lo g_{4} 1 = 1 + 0 = 1$ ✓. Soluția: $x = 4$ .

Exemplul 3 — Substituție

Rezolvați ecuația $l g^{2} x - l g x - 6 = 0$ .

Rezolvare. CE: $x > 0$ .

Notăm $t = l g x$ . Ecuația devine $t^{2} - t - 6 = 0$ , cu $t_{1} = 3$ și $t_{2} = - 2$ (verificare rapidă prin relațiile lui Viète: suma $1$ , produsul $- 6$ ✓).

Revenim: $l g x = 3 \Rightarrow x = 1 0^{3} = 1000$ ; $l g x = - 2 \Rightarrow x = 1 0^{- 2} = \frac{1}{100}$ . Ambele sunt strict pozitive, deci convin.

Verificare: pentru $x = 1000$ , $9 - 3 - 6 = 0$ ✓; pentru $x = \frac{1}{100}$ , $(- 2)^{2} - (- 2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$ ✓.

Exemplul 4 — Când ambele rădăcini convin

Rezolvați ecuația $lo g_{2} (x^{2} - 3 x) = 2$ .

Rezolvare. CE: $x^{2} - 3 x > 0$ , adică $x (x - 3) > 0$ , deci $x \in (- \infty, 0) \cup (3, \infty)$ .

Forma exponențială: $x^{2} - 3 x = 4$ , adică $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ , cu rădăcinile $x = 4$ și $x = - 1$ .

Confruntarea cu CE: $4 \in (3, \infty)$ ✓ și $- 1 \in (- \infty, 0)$ ✓ — ambele convin.

Verificare: pentru $x = 4$ , argumentul este $16 - 12 = 4$ și $lo g_{2} 4 = 2$ ✓; pentru $x = - 1$ , argumentul este $1 + 3 = 4$ și $lo g_{2} 4 = 2$ ✓. Soluțiile: $x \in {- 1, 4}$ .

Compară cu Exemplul 2: acolo rădăcina negativă a picat, aici a trecut. Singura cale de a ști este să confrunți efectiv cu condițiile, nu să te iei după semn.

Exemplul 5 — Baze diferite

Rezolvați ecuația $lo g_{2} x + lo g_{8} x = 4$ .

Rezolvare. CE: $x > 0$ .

Aducem la baza $2$ cu formula de schimbare a bazei: $lo g_{8} x = \frac{lo g _{2} x}{lo g _{2} 8} = \frac{lo g _{2} x}{3}$ .

Cu $t = lo g_{2} x$ , ecuația devine $t + \frac{t}{3} = 4$ , adică $\frac{4 t}{3} = 4$ , deci $t = 3$ și $x = 2^{3} = 8$ .

Verificare: $lo g_{2} 8 + lo g_{8} 8 = 3 + 1 = 4$ ✓. Soluția: $x = 8$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{2} (x + 1) + lo g_{2} (x + 7) = 4$ .

Rezolvare.

Condițiile de existență: $x + 1 > 0$ și $x + 7 > 0$ , adică $x > - 1$ și $x > - 7$ ; intersecția este $x > - 1$ .

Rezolvarea: restrângem membrul stâng și scriem $4 = lo g_{2} 16$ : $lo g_{2} ((x + 1) (x + 7)) = lo g_{2} 16 ⟺ (x + 1) (x + 7) = 16.$ Desfacem: $x^{2} + 8 x + 7 = 16$ , adică $x^{2} + 8 x - 9 = 0$ . Discriminantul este $Δ = 64 + 36 = 100$ , deci $x_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 10}{2}$ , adică $x_{1} = 1$ și $x_{2} = - 9$ .

Confruntarea cu condițiile: $x_{2} = - 9$ nu verifică $x > - 1$ (ar da $lo g_{2} (- 8)$ , inexistent) — se respinge. Rămâne $x_{1} = 1$ .

Verificarea în ecuația inițială: $lo g_{2} (1 + 1) + lo g_{2} (1 + 7) = lo g_{2} 2 + lo g_{2} 8 = 1 + 3 = 4$ ✓.

Soluția ecuației este $x = 1$ .

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, respectând de fiecare dată cei patru pași: condiții, rezolvare, confruntare, verificare. Scrie explicit, în cuvinte, motivul fiecărei respingeri.

1. Rezolvă ecuația $lo g_{2} x = 5$ .

2. Rezolvă ecuația $lo g_{3} (x - 1) = 2$ .

3. Rezolvă ecuația $l g (2 x + 3) = 1$ .

4. Rezolvă ecuația $lo g_{5} (x^{2} - 4 x) = 1$ și precizează câte soluții are.

5. Rezolvă ecuația $lo g_{2} (x + 3) = lo g_{2} (2 x - 1)$ .

6. Rezolvă ecuația $lo g_{4} x + lo g_{4} (x - 3) = 1$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $l g (x - 2) + l g (x - 5) = l g 4$ are soluțiile $x = 1$ și $x = 6$ ."

8. Rezolvă ecuația $l g^{2} x - l g x - 6 = 0$ .

9. Rezolvă ecuația $lo g_{2}^{2} x - 5 lo g_{2} x + 6 = 0$ .

10. Rezolvă ecuația $lo g_{x} 16 = 4$ , cu toate condițiile asupra bazei.

11. Rezolvă ecuația $lo g_{2} x + lo g_{8} x = 4$ .

12. (Problemă aplicată.) Într-o cultură de laborator, numărul de bacterii se triplează în fiecare oră, pornind de la $500$ : după $t$ ore sunt $N (t) = 500 \cdot 3^{t}$ . După câte ore ajung la $40500$ de bacterii?

13. Rezolvă ecuația $l g (x^{2} - 3) = l g (2 x)$ .

14. Rezolvă ecuația $lo g_{3} (x + 2) + lo g_{3} (x - 2) = lo g_{3} 5$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{2} (x + 1) + lo g_{2} (x + 7) = 4$ .

16. Rezolvă ecuația $l g (x + 1) - l g (x - 1) = l g 3$ .

17. Rezolvă ecuația $lo g_{2} (9 - 2^{x}) = 3 - x$ .

18. (Provocare.) Rezolvă ecuația $x^{l g x} = 10000$ .

Răspunsuri și explicații

1. CE: $x > 0$ . Forma exponențială: $x = 2^{5} = 32$ , care convine. Verificare: $lo g_{2} 32 = 5$ ✓.

2. CE: $x > 1$ . Din $x - 1 = 9$ obținem $x = 10$ , care convine. Verificare: $lo g_{3} 9 = 2$ ✓.

3. CE: $2 x + 3 > 0$ , deci $x > - \frac{3}{2}$ . Din $2 x + 3 = 10$ rezultă $x = \frac{7}{2} = 3, 5$ , care convine. Verificare: $l g (7 + 3) = l g 10 = 1$ ✓.

4. CE: $x^{2} - 4 x > 0$ , deci $x \in (- \infty, 0) \cup (4, \infty)$ . Din $x^{2} - 4 x = 5$ obținem $x = 5$ și $x = - 1$ ; ambele respectă condiția (argumentul este $5$ în ambele cazuri). Ecuația are două soluții. Verificare: $lo g_{5} 5 = 1$ ✓ de două ori.

5. CE: $x + 3 > 0$ și $2 x - 1 > 0$ , deci $x > \frac{1}{2}$ . Prin injectivitate: $x + 3 = 2 x - 1$ , deci $x = 4$ , care convine. Verificare: $lo g_{2} 7 = lo g_{2} 7$ ✓.

6. CE: $x > 3$ . Restrângând: $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ , cu $x = 4$ și $x = - 1$ ; se respinge $x = - 1$ , care nu verifică $x > 3$ . Verificare pentru $x = 4$ : $lo g_{4} 4 + lo g_{4} 1 = 1$ ✓.

7. Fals. CE: $x - 2 > 0$ și $x - 5 > 0$ , deci $x > 5$ . Din $(x - 2) (x - 5) = 4$ obținem $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ , cu rădăcinile $1$ și $6$ . Valoarea $x = 1$ se respinge (ar da $l g (- 1)$ ). Singura soluție este $x = 6$ : $l g 4 + l g 1 = l g 4$ ✓.

8. CE: $x > 0$ . Cu $t = l g x$ : $t^{2} - t - 6 = 0$ , deci $t = 3$ sau $t = - 2$ , de unde $x = 1000$ și $x = \frac{1}{100}$ . Ambele convin (sunt puteri ale lui $10$ , deci pozitive).

9. CE: $x > 0$ . Cu $t = lo g_{2} x$ : $t^{2} - 5 t + 6 = 0$ , deci $t = 2$ sau $t = 3$ , de unde $x = 4$ și $x = 8$ , ambele acceptabile. Verificare: pentru $x = 4$ , $4 - 10 + 6 = 0$ ✓; pentru $x = 8$ , $9 - 15 + 6 = 0$ ✓.

10. CE: $x > 0$ și $x \neq = 1$ . Din $x^{4} = 16$ obținem $x = 2$ și $x = - 2$ ; se respinge $x = - 2$ , fiindcă baza trebuie să fie pozitivă. Soluția: $x = 2$ , cu $2^{4} = 16$ ✓.

11. CE: $x > 0$ . Cu $lo g_{8} x = \frac{lo g _{2} x}{3}$ și $t = lo g_{2} x$ : $\frac{4 t}{3} = 4$ , deci $t = 3$ și $x = 8$ . Verificare: $3 + 1 = 4$ ✓.

12. Ecuația este $500 \cdot 3^{t} = 40500$ , deci $3^{t} = 81$ , adică $t = lo g_{3} 81 = 4$ . După $4$ ore. Verificare: $500 \cdot 81 = 40500$ ✓.

13. CE: $x^{2} - 3 > 0$ și $2 x > 0$ , deci $x > 3$ . Din $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ obținem $x = 3$ și $x = - 1$ ; se respinge $x = - 1$ (nu verifică $2 x > 0$ ). Verificare pentru $x = 3$ : $l g 6 = l g 6$ ✓.

14. CE: $x + 2 > 0$ și $x - 2 > 0$ , deci $x > 2$ . Restrângând: $x^{2} - 4 = 5$ , deci $x^{2} = 9$ și $x \in {3, - 3}$ ; se respinge $x = - 3$ . Verificare pentru $x = 3$ : $lo g_{3} 5 + lo g_{3} 1 = lo g_{3} 5$ ✓.

15. CE: $x > - 1$ . Din $(x + 1) (x + 7) = 16$ obținem $x^{2} + 8 x - 9 = 0$ , cu $Δ = 100$ și rădăcinile $1$ și $- 9$ ; se respinge $x = - 9$ . Verificare pentru $x = 1$ : $lo g_{2} 2 + lo g_{2} 8 = 1 + 3 = 4$ ✓.

16. CE: $x + 1 > 0$ și $x - 1 > 0$ , deci $x > 1$ . Din $\frac{x + 1}{x - 1} = 3$ rezultă $x + 1 = 3 x - 3$ , deci $x = 2$ , care convine. Verificare: $l g 3 - l g 1 = l g 3$ ✓.

17. CE: $9 - 2^{x} > 0$ . Cu $u = 2^{x} > 0$ : $9 - u = \frac{8}{u}$ , deci $u^{2} - 9 u + 8 = 0$ și $u \in {1, 8}$ , de unde $x = 0$ și $x = 3$ . Ambele verifică condiția ( $8 > 0$ , respectiv $1 > 0$ ). Verificare: $lo g_{2} 8 = 3$ ✓ și $lo g_{2} 1 = 0$ ✓.

18. CE: $x > 0$ . Logaritmăm în baza $10$ ambii membri: $l g (x^{l g x}) = l g 10000$ , adică $l g x \cdot l g x = 4$ , deci $l g^{2} x = 4$ și $l g x = \pm 2$ . Rezultă $x = 100$ sau $x = \frac{1}{100}$ . Verificare: $10 0^{l g 100} = 10 0^{2} = 10000$ ✓; $(\frac{1}{100})^{l g \frac{1}{100}} = (1 0^{- 2})^{- 2} = 1 0^{4} = 10000$ ✓. Ambele convin.

De reținut

Condițiile de existență se scriu întâi, nu la sfârșit. Pentru fiecare logaritm: argument $> 0$ ; dacă baza conține necunoscuta, în plus bază $> 0$ și bază $\neq = 1$ . Intersecția lor este mulțimea în care are voie să trăiască soluția.
Rețeta în patru pași: condiții, rezolvare, confruntare cu condițiile (cu respingeri explicite), verificare în ecuația inițială. Baremul de la Bacalaureat M1 punctează separat primul și al treilea pas.
Restrângerea logaritmilor lărgește domeniul — de aici apar soluțiile străine. Cea mai riscantă transformare este $2 lo g_{a} u = lo g_{a} u^{2}$ , valabilă doar pentru $u > 0$ .
Tipurile de bază: $lo g_{a} f (x) = b ⟺ f (x) = a^{b}$ ; $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) = g (x)$ (prin injectivitate); ecuațiile polinomiale în $lo g_{a} x$ se rezolvă cu substituția $t = lo g_{a} x$ .
Nu orice a doua rădăcină se respinge. Uneori ambele convin (Exemplul 4). Decizia se ia comparând efectiv cu condițiile, nu după semnul rădăcinii.

Greșeli frecvente

Scrii condițiile după rezolvare, „ca să bifezi". Atunci le adaptezi inconștient la răspunsul găsit. Scrise întâi, ele te obligă să respingi ce trebuie respins.
Verifici doar în ecuația transformată. Valoarea $x = 1$ satisface perfect $(x - 3) (x - 2) = 2$ , dar nu satisface ecuația inițială. Verificarea se face întotdeauna în forma de la care ai plecat.
Confunzi $l g^{2} x$ cu $l g (x^{2})$ . Primul este $(l g x)^{2}$ și cere $x > 0$ ; al doilea este $2 l g ∣ x ∣$ și are sens pentru orice $x \neq = 0$ . Sunt funcții diferite, cu domenii diferite.
Uiți condiția asupra bazei. La $lo g_{x} 16 = 4$ obții $x^{4} = 16$ și scrii $x = \pm 2$ , deși baza nu poate fi negativă. Aceeași greșeală apare la ecuații cu baza $x - 1$ , unde trebuie și $x - 1 \neq = 1$ .
Respingi automat rădăcina negativă. Ea nu se respinge pentru că e negativă, ci doar dacă nu verifică efectiv condițiile: în $lo g_{2} (x^{2} - 3 x) = 2$ , valoarea $x = - 1$ este o soluție perfect validă.

Aplică acasă

Fabrică o ecuație cu soluție străină. Pornește de la o soluție pe care o vrei, de exemplu $x = 5$ , și construiește o ecuație de forma $l g (x - a) + l g (x - b) = l g c$ care să aibă și o rădăcină respinsă. Dă-o unui coleg și cere-i răspunsul complet, cu justificarea respingerii.
Cronometrul de patru pași. Alege cinci ecuații din exercițiile de mai sus și rezolvă-le cronometrat, obligându-te să scrii toate cele patru etape. Notează timpul: la examen, disciplina asta durează sub un minut în plus pe ecuație și aduce puncte întregi.
Verificarea cu telefonul. Folosește calculatorul din telefon (tastele „log" și „ln") ca să verifici numeric soluțiile a trei ecuații rezolvate de tine, calculând separat membrul stâng și cel drept. Dacă cele două numere diferă la a treia zecimală, caută greșeala de calcul.

Pentru părinți și profesori

Lecția este locul unde elevul învață o deprindere care îl va urmări până la Bacalaureatul M1 și mai departe: verificarea domeniului. Toate temele de până acum îl obișnuiseră că o rădăcină găsită corect este o soluție; la logaritmi, această legătură se rupe. Reflexul care trebuie format nu este „scrie condițiile", ci „scrie condițiile înainte de a rezolva" — pentru că, scrise la final, ele sunt aproape întotdeauna adaptate răspunsului deja obținut.

Ce verifică lecția: (1) scrierea completă a condițiilor, inclusiv cele asupra bazei; (2) recunoașterea tipului de ecuație și alegerea metodei (formă exponențială, injectivitate, restrângere, substituție); (3) respingerea motivată a soluțiilor străine; (4) verificarea finală în ecuația inițială. Întrebări bune de control: „De ce a apărut o soluție în plus după restrângere?", „Poate o rădăcină negativă să fie soluție a unei ecuații logaritmice?" (da — vezi Exemplul 4), „Ce condiții pui dacă necunoscuta e în bază?".

La Bacalaureat M1, ecuațiile logaritmice apar constant la subiectul I și la subiectul al II-lea, iar baremul are aproape întotdeauna o linie separată pentru condițiile de existență și una pentru soluția finală, cu respingerea celei străine. Semne că elevul a înțeles: scrie condițiile fără să i se ceară, motivează în cuvinte fiecare respingere și nu se grăbește să elimine rădăcinile negative doar pentru că sunt negative.

Întrebări frecvente

Ce este o ecuație logaritmică? Este o ecuație în care necunoscuta apare în argumentul sau în baza unui logaritm — de exemplu $lo g_{2} (x - 1) = 3$ sau $lo g_{x} 9 = 2$ . Se rezolvă aducând ecuația la o formă cunoscută, dar numai după scrierea condițiilor de existență.

De ce trebuie să scriu condițiile de existență la ecuațiile logaritmice? Pentru că logaritmul este definit doar pentru argumente strict pozitive, cu baza pozitivă și diferită de $1$ . Transformările uzuale (restrângerea unei sume de logaritmi, de pildă) lărgesc domeniul și pot introduce valori care nu sunt soluții ale ecuației inițiale.

Ce sunt soluțiile străine și cum le elimin? Sunt valori care verifică ecuația transformată, dar nu și pe cea inițială, pentru că nu respectă condițiile de existență. Le elimini comparând fiecare rădăcină găsită cu domeniul stabilit la început și motivând în scris respingerea.

Cum rezolv o ecuație de forma $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ ? Scrii condițiile $f (x) > 0$ și $g (x) > 0$ , apoi folosești injectivitatea funcției logaritmice: egalitatea logaritmilor este echivalentă cu $f (x) = g (x)$ . Rezolvi ecuația obținută și confrunți soluțiile cu condițiile.

Când folosesc substituția la ecuațiile logaritmice? Când necunoscuta apare numai prin logaritmul ei, ca în $l g^{2} x - 3 l g x + 2 = 0$ . Notezi $t = l g x$ , rezolvi ecuația algebrică în $t$ și revii prin $x = 1 0^{t}$ . Dacă bazele diferă, le aduci mai întâi la aceeași bază.

Poate o ecuație logaritmică să aibă soluție negativă? Da, dacă argumentul rămâne pozitiv pentru acea valoare. De exemplu, $lo g_{2} (x^{2} - 3 x) = 2$ are soluția $x = - 1$ , pentru care argumentul este $4 > 0$ . Semnul soluției nu decide nimic; condițiile de existență decid.

Ce fac dacă necunoscuta este în baza logaritmului? Adaugi condițiile bază $> 0$ și bază $\neq = 1$ , apoi treci la forma exponențială. La $lo g_{x} 16 = 4$ obții $x^{4} = 16$ , cu soluțiile reale $\pm 2$ , dintre care doar $x = 2$ este acceptabilă.

Este obligatorie verificarea finală, dacă am respectat condițiile? La barem, respectarea condițiilor e suficientă, dar verificarea prin înlocuire în ecuația inițială îți prinde și greșelile de calcul, nu doar soluțiile străine. Durează câteva secunde și face diferența între o rezolvare corectă și una aparent corectă.