Evaluare finală (Matematică, Clasa a IX-a)

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (30 de puncte)

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Negația propoziției „$(\exists )x\in \mathbb{R}$ astfel încât $x^2=-4$" este: A. $(\exists )x\in \mathbb{R}$ astfel încât $x^2\ne -4$; B. $(\forall )x\in \mathbb{R},x^2\ne -4$; C. $(\forall )x\in \mathbb{R},x^2=-4$; D. $(\exists )x\in \mathbb{R}$ astfel încât $x^2>-4$.

b) Într-o progresie geometrică cu $b_1=2$ și rația $q=3$, termenul $b_5$ este egal cu: A. $54$; B. $162$; C. $243$; D. $486$.

c) Valoarea expresiei $\sin \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{3}$ este egală cu: A. $0$; B. $\frac{1}{2}$; C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$; D. $1$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

a) Alcătuiește tabelul de adevăr al enunțului $\overline{p}\vee q$ și arată că el are aceleași valori de adevăr ca $p\Rightarrow q$. (2 p) b) Scrie negația propoziției „$(\forall )x\in \mathbb{R},x^2+2x+3>0$" și precizează valoarea de adevăr a propoziției inițiale, cu justificare. (2 p) c) Scrie negația propoziției „$x>2$ și $x<5$", folosind legile lui De Morgan. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

a) În progresia aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ se cunosc $a_1=7$ și $a_{10}=34$. Determină rația $r$ și calculează $S_{10}$. (3 p) b) În progresia geometrică $(b_n{)}_{n\ge 1}$ se cunosc $b_1=3$ și rația $q=2$. Calculează $b_7$ și $S_7$. (3 p)

Exercițiul 4 (6 puncte)

Se consideră punctele $A(-3,1)$ și $B(3,9)$ într-un reper cartezian $xOy$. a) Calculează lungimea segmentului $AB$. (2 p) b) Determină coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $AB$. (2 p) c) Determină ecuația dreptei $AB$, sub forma $y=mx+n$. (2 p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

a) Transformă $135^{\circ }$ în radiani și $\frac{5\pi }{6}$ radiani în grade. (2 p) b) Calculează $\sin \frac{2\pi }{3}$ și $\cos \frac{2\pi }{3}$. (2 p) c) Precizează semnul funcțiilor $\sin$, $\cos$ și $\mathrm{tg}$ pentru un număr real din cadranul al III-lea și justifică pe scurt. (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (30 de puncte)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x-5$.

a) Calculează coordonatele vârfului parabolei, scrie ecuația axei de simetrie și determină punctele în care graficul intersectează axele de coordonate. (2 p) b) Citind graficul, precizează intervalele de monotonie ale funcției și imaginea ei, $\mathrm{Im}f$. (2 p) c) Determină, citind graficul, mulțimea valorilor lui $x$ pentru care $f(x)<0$. (2 p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

Determină domeniul maxim de definiție al fiecăreia dintre următoarele funcții: a) $g(x)=\sqrt{3x-12}$; (2 p) b) $h(x)=\frac{2x+1}{x^2-3x+2}$; (2 p) c) $k(x)=\frac{\sqrt{x+5}}{x-3}$. (2 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

a) Determină funcția afină $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, știind că $f(0)=-4$ și $f(2)=0$, și precizează monotonia ei. (2 p) b) Se consideră și funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+2$. Scrie expresia funcției produs $h=f\cdot g$ sub forma $a{x}^2+bx+c$ și determină zerourile lui $h$. (2 p) c) Determină coordonatele vârfului parabolei asociate lui $h$ și imaginea funcției $h$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $2^{x-1}=16$. (2 p) b) Calculează ${\log }_{2}32+{\log }_3\frac{1}{9}$. (2 p) c) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația ${\log }_5(2x-1)=2$, precizând condiția de existență. (2 p)

Exercițiul 10 (6 puncte)

Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$ și că $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. a) Calculează $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$. (3 p) b) Calculează valoarea expresiei $E=\sin (\pi -x)+\cos (\pi +x)$, folosind formulele de reducere la primul cadran. (3 p)

Partea a III-a – Probleme, demonstrații și itemi de tip examen (30 de puncte)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Într-un laborator, o cultură conține la momentul inițial $500$ de bacterii, iar numărul lor se dublează la fiecare oră. Notăm cu $N(t)$ numărul de bacterii după $t$ ore.

a) Scrie formula funcției $N$ și precizează ce fel de progresie formează valorile $N(0)$, $N(1)$, $N(2)$, … (2 p) b) Calculează numărul de bacterii după $6$ ore. (2 p) c) După câte ore cultura ajunge la $64000$ de bacterii? (2 p) d) Exprimă timpul $t$ în funcție de numărul $N$ de bacterii, folosind logaritmul, și calculează $t$ pentru $N=16000$. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(7,3)$ și $C(3,7)$.

a) Calculează lungimile laturilor triunghiului $ABC$ și arată că triunghiul este isoscel. (2 p) b) Determină coordonatele mijlocului $M$ al laturii $BC$ și calculează lungimea medianei $AM$. (2 p) c) Calculează aria triunghiului $ABC$. (2 p) d) Determină ecuația dreptei $BC$ și verifică dacă punctul $P(0,10)$ îi aparține. (2 p)

Exercițiul 13 (7 puncte)

a) Arată că expresia $E(x)={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+3$ are aceeași valoare pentru orice număr real $x$ și calculează $E\left(\frac{\pi }{7}\right)$. (3 p) b) Calculează $\sin \frac{5\pi }{6}$, folosind reducerea la primul cadran. (2 p) c) Calculează $\cos \frac{4\pi }{3}$, folosind reducerea la primul cadran. (2 p)

Exercițiul 14 (7 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-5x+6$.

a) Arătați că $f(2)+f(3)=0$. (2 p) b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $f(x)=2$. (3 p) c) Arătați că $f(x)\ge -\frac{1}{4}$, pentru orice număr real $x$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 30 p (itemii 1–5) · Partea a II-a – 30 p (itemii 6–10) · Partea a III-a – 30 p (itemii 11–14).

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Negarea unei propoziții cu cuantificatorul existențial schimbă $\exists$ în $\forall$ și neagă predicatul: negația lui $x^2=-4$ este $x^2\ne -4$. Deci negația este $(\forall )x\in \mathbb{R},x^2\ne -4$. (Aici propoziția inițială este falsă — un pătrat nu poate fi negativ —, deci negația ei este adevărată.)

b) B. $b_5=b_1\cdot q^4=2\cdot 3^4=2\cdot 81=162$. (Varianta D, $486$, apare dacă se folosește greșit $q^5$.)

c) D. $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ și $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, deci suma este $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. (Este un caz particular al formulei $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$: unghiurile $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{\pi }{3}$ sunt complementare.)

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) Tabelul (1,5 p):

Ultimele două coloane coincid linie cu linie, deci $\overline{p}\vee q\equiv p\Rightarrow q$ (0,5 p). (Citit în cuvinte: „dacă $p$, atunci $q$" înseamnă „ori $p$ nu se întâmplă, ori $q$ se întâmplă".)

b) (2 p) Negația: „$(\exists )x\in \mathbb{R}$ astfel încât $x^2+2x+3\le 0$" (1 p). Propoziția inițială este adevărată (0,5 p): pentru trinomul $x^2+2x+3$ avem $\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0$ și $a=1>0$, deci expresia păstrează semnul lui $a$ pe tot $\mathbb{R}$, adică este strict pozitivă (0,5 p). (Alternativ, prin forma canonică: $x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2\ge 2>0$.) Prin urmare negația este falsă.

c) (2 p) După De Morgan, $\overline{p\wedge q}\equiv \overline{p}\vee \overline{q}$ (1 p), deci negația este: „$x\le 2$ sau $x\ge 5$" (1 p). (Cu alte cuvinte: $x\notin (2,5)$.)

Exercițiul 3. (6 p)

a) (3 p) Din $a_{10}=a_1+9r$ obținem $34=7+9r$, deci $9r=27$ și $r=3$ (1,5 p). Apoi $$S_{10}=\frac{(a_1+a_{10})\cdot 10}{2}=\frac{(7+34)\cdot 10}{2}=\frac{41\cdot 10}{2}=205\text{(1,5 p)}.$$

b) (3 p) $b_7=b_1\cdot q^6=3\cdot 2^6=3\cdot 64=192$ (1,5 p). Apoi $$S_7=b_1\cdot \frac{q^7-1}{q-1}=3\cdot \frac{128-1}{1}=3\cdot 127=381\text{(1,5 p)}.$$ (Verificare prin adunare: $3+6+12+24+48+96+192=381$ ✓.)

Exercițiul 4. (6 p)

a) (2 p) $AB=\sqrt{(3-(-3){)}^2+(9-1{)}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

b) (2 p) $M\left(\frac{-3+3}{2},\frac{1+9}{2}\right)=M(0,5)$.

c) (2 p) Panta: $m=\frac{9-1}{3-(-3)}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ (1 p). Din $y-1=\frac{4}{3}(x-(-3))$ rezultă $y-1=\frac{4}{3}x+4$, deci $$\mathbf{y}=\frac{4}{3}\mathbf{x}+5\text{(1 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=3$, $y=4+5=9$ ✓. Observație: $n=5$ se putea citi direct — mijlocul $M(0,5)$ este chiar pe axa $Oy$.)

Exercițiul 5. (6 p)

a) (2 p) $180^{\circ }$ corespund lui $\pi$ radiani, deci $1^{\circ }=\frac{\pi }{180}$ rad: $$135^{\circ }=135\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{135\pi }{180}=\frac{3\pi }{4}\text{rad}\text{(1 p)}.$$ Invers, $1$ rad $=\frac{180^{\circ }}{\pi }$, deci $\frac{5\pi }{6}=\frac{5}{6}\cdot 180^{\circ }=150^{\circ }$ (1 p).

b) (2 p) $\frac{2\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{3}$ se află în cadranul al II-lea, deci sinusul este pozitiv, iar cosinusul negativ (0,5 p): $$\sin \frac{2\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(0,75 p)},\cos \frac{2\pi }{3}=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}\text{(0,75 p)}.$$

c) (2 p) În cadranul al III-lea punctul de pe cercul trigonometric are ambele coordonate negative, iar cosinusul este abscisa, sinusul este ordonata; prin urmare $\sin x<0$ și $\cos x<0$ (1,5 p). Cum $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ este un cât de două numere negative, rezultă $\mathrm{tg}x>0$ (0,5 p).

Exercițiul 6. (6 p)

a) (2 p) $x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2$, iar $y_V=f(2)=4-8-5=-9$, deci $V(2,-9)$; axa de simetrie este dreapta verticală care trece prin vârf, de ecuație $x=2$ (1 p). Cu $Ox$: $x^2-4x-5=0$, $\Delta =16+20=36$, $\sqrt{\Delta }=6$, deci $x_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}$, adică $x_1=-1$ și $x_2=5$; punctele sunt $(-1,0)$ și $(5,0)$. Cu $Oy$: $f(0)=-5$, deci $(0,-5)$ (1 p).

b) (2 p) Coeficientul dominant este $a=1>0$, deci parabola are ramurile în sus: funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,2]$ și strict crescătoare pe $[2,+\infty )$ (1 p). Valoarea minimă este $y_V=-9$, atinsă în $x=2$, iar valorile cresc nemărginit spre ambele capete, deci $\mathrm{Im}f=[-9,+\infty )$ (1 p).

c) (2 p) $f(x)<0$ înseamnă că graficul este sub axa $Ox$, adică între cele două puncte de intersecție (1 p): $x\in (-1,5)$ (1 p). (Regula generală, pentru $a>0$: semn negativ între rădăcini, semn pozitiv în afara lor. Verificare: $f(0)=-5<0$, iar $f(6)=36-24-5=7>0$.)

Exercițiul 7. (6 p)

a) (2 p) Radicalul de ordinul al doilea cere expresia de sub el nenegativă: $3x-12\ge 0$ (1 p), deci $x\ge 4$ și $D_g=[4,+\infty )$ (1 p).

b) (2 p) Se cere numitor nenul: $x^2-3x+2\ne 0$. Rezolvăm $x^2-3x+2=0$: $\Delta =9-8=1$, deci $x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}$, adică $x_1=1$ și $x_2=2$ (1 p). Prin urmare $D_h=\mathbb{R}\setminus \{1,2\}$ (1 p). (Atenție: numărătorul nu impune nicio condiție.)

c) (2 p) Sunt două condiții simultane: $x+5\ge 0$ (de la radical) și $x-3\ne 0$ (de la numitor) (1 p), adică $x\ge -5$ și $x\ne 3$. Așadar $$D_k=[-5,3)\cup (3,+\infty )\text{(1 p)}.$$

Exercițiul 8. (6 p)

a) (2 p) Din $f(0)=b=-4$ (0,5 p) și $f(2)=2a+b=0$ obținem $2a=4$, deci $a=2$ (1 p). Așadar $f(x)=2x-4$; cum $a=2>0$, funcția este strict crescătoare (0,5 p).

b) (2 p) $$h(x)=f(x)\cdot g(x)=(2x-4)(x+2)=2x^2+4x-4x-8=2x^2-8\text{(1 p)}.$$ Zerourile: $2x^2-8=0⟺x^2=4⟺x\in \{-2,2\}$ (1 p). (Se puteau citi direct din factori: $2x-4=0$ dă $x=2$, iar $x+2=0$ dă $x=-2$ — zerourile produsului sunt reuniunea zerourilor factorilor.)

c) (2 p) Pentru $h(x)=2x^2+0\cdot x-8$ avem $x_V=-\frac{0}{4}=0$ și $y_V=h(0)=-8$, deci $V(0,-8)$ (1 p). (Se acceptă și observația că vârful se află la mijlocul distanței dintre zerouri: $\frac{-2+2}{2}=0$.) Cum $a=2>0$, valoarea $-8$ este minimul funcției, deci $\mathrm{Im}h=[-8,+\infty )$ (1 p).

Exercițiul 9. (6 p)

a) (2 p) Scriem ambii membri ca puteri ale lui $2$: $16=2^4$, deci $2^{x-1}=2^4$ (1 p). Funcția exponențială de bază $2$ fiind strict crescătoare, ea ia fiecare valoare o singură dată, deci exponenții trebuie să fie egali: $x-1=4$, adică $x=5$ (1 p). (Verificare: $2^{5-1}=2^4=16$ ✓.)

b) (2 p) ${\log }_{2}32=5$, deoarece $2^5=32$ (1 p); ${\log }_3\frac{1}{9}=-2$, deoarece $3^{-2}=\frac{1}{9}$ (0,5 p). Suma este $5+(-2)=3$ (0,5 p).

c) (2 p) Condiția de existență a logaritmului: $2x-1>0$, adică $x>\frac{1}{2}$ (0,5 p). Din definiția logaritmului, ${\log }_5(2x-1)=2⟺2x-1=5^2=25$ (1 p), deci $2x=26$ și $x=13$ (0,5 p). Cum $13>\frac{1}{2}$, soluția este acceptabilă.

Exercițiul 10. (6 p)

a) (3 p) Din formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ obținem $${\cos }^{2}x=1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\text{(1 p)},$$ deci $\cos x=\pm \frac{4}{5}$. Cum $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$, adică în cadranul al II-lea, cosinusul este negativ, deci $\cos x=-\frac{4}{5}$ (1 p). Atunci $$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\text{(1 p)}.$$

b) (3 p) Formulele de reducere dau $\sin (\pi -x)=\sin x$ (1 p) și $\cos (\pi +x)=-\cos x$ (1 p). Prin urmare $$E=\sin x-\cos x=\frac{3}{5}-\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{7}{5}\text{(1 p)}.$$

Exercițiul 11. (8 p)

a) (2 p) La fiecare oră numărul se înmulțește cu $2$, deci $$N(t)=500\cdot 2^t\text{(1,5 p)}.$$ Valorile $500,1000,2000,4000,\dots$ formează o progresie geometrică de rație $q=2$ (0,5 p). (Este exact modelul creșterii exponențiale.)

b) (2 p) $N(6)=500\cdot 2^6=500\cdot 64=32000$ de bacterii.

c) (2 p) Rezolvăm $500\cdot 2^t=64000$, deci $2^t=\frac{64000}{500}=128$ (1 p). Cum $128=2^7$, rezultă $t=7$ ore (1 p).

d) (2 p) Din $N=500\cdot 2^t$ obținem $2^t=\frac{N}{500}$, iar prin definiția logaritmului $$t={\log }_2\frac{N}{500}\text{(1 p)}.$$ Pentru $N=16000$: $\frac{16000}{500}=32=2^5$, deci $t={\log }_{2}32=5$ ore (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) $$AB=\sqrt{(7-1{)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10};$$ $$AC=\sqrt{(3-1{)}^2+(7-1{)}^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10};$$ $$BC=\sqrt{(3-7{)}^2+(7-3{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.$$ (1,5 p pentru cele trei lungimi) Cum $AB=AC=2\sqrt{10}$, triunghiul $ABC$ este isoscel cu baza $BC$ (0,5 p). (Triunghiul există: $2\sqrt{10}+2\sqrt{10}=4\sqrt{10}>4\sqrt{2}$.)

b) (2 p) $M\left(\frac{7+3}{2},\frac{3+7}{2}\right)=M(5,5)$ (1 p). Atunci $$AM=\sqrt{(5-1{)}^2+(5-1{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Triunghiul fiind isoscel cu $AB=AC$, mediana $AM$ dusă din vârful $A$ către baza $BC$ este și înălțime, deci $AM\perp BC$ (1 p). Prin urmare $${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{BC\cdot AM}{2}=\frac{4\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}}{2}=\frac{16\cdot 2}{2}=16\text{unita˘ți de arie}\text{(1 p)}.$$

d) (2 p) Panta dreptei $BC$: $m_{BC}=\frac{7-3}{3-7}=\frac{4}{-4}=-1$. Din $y-3=-1\cdot (x-7)$ rezultă $$\mathbf{y}=-\mathbf{x}+10\text{(1,5 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=3$, $y=7$ ✓.) Pentru $P(0,10)$: $-0+10=10$, egal cu ordonata lui $P$, deci $P$ aparține dreptei $BC$ (0,5 p).

Exercițiul 13. (7 p)

a) (3 p) Formula fundamentală a trigonometriei spune că ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ pentru orice număr real $x$ (1,5 p). Prin urmare $$E(x)=1+3=4\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(1 p)},$$ adică expresia este constantă. În particular $E\left(\frac{\pi }{7}\right)=4$ (0,5 p). (Nu este nevoie de valorile lui $\sin \frac{\pi }{7}$ și $\cos \frac{\pi }{7}$ — tocmai asta e puterea formulei fundamentale.)

b) (2 p) $\frac{5\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{6}$, iar $\sin (\pi -x)=\sin x$ (1 p), deci $$\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$ (Coerent cu semnul: $\frac{5\pi }{6}$ este în cadranul al II-lea, unde sinusul e pozitiv.)

c) (2 p) $\frac{4\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$, iar $\cos (\pi +x)=-\cos x$ (1 p), deci $$\cos \frac{4\pi }{3}=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$ (Coerent cu semnul: $\frac{4\pi }{3}$ este în cadranul al III-lea, unde cosinusul e negativ.)

Exercițiul 14. (7 p)

a) (2 p) $f(2)=4-10+6=0$ și $f(3)=9-15+6=0$ (1,5 p), deci $f(2)+f(3)=0+0=0$ (0,5 p). (Numerele $2$ și $3$ sunt chiar rădăcinile trinomului: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$.)

b) (3 p) Ecuația $f(x)=2$ se scrie $x^2-5x+6=2$, adică $x^2-5x+4=0$ (1 p). Calculăm $\Delta =25-16=9$, deci $\sqrt{\Delta }=3$ (1 p) și $$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}⟹x_1=1,x_2=4\text{(1 p)}.$$ Verificare: $f(1)=1-5+6=2$ ✓ și $f(4)=16-20+6=2$ ✓.

c) (2 p) Coeficientul dominant este $a=1>0$, deci funcția are un minim, atins în vârf (0,5 p). Cu $\Delta =25-24=1$, $$y_V=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{1}{4}\text{(1 p)},$$ prin urmare $f(x)\ge -\frac{1}{4}$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, cu egalitate doar pentru $x=x_V=\frac{5}{2}$ (0,5 p). $■$ (Se acceptă și demonstrația prin forma canonică: $x^2-5x+6={\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}\ge -\frac{1}{4}$, fiindcă un pătrat este mereu nenegativ.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de final de an: o probă transversală care trece, într-o singură oră, prin toată materia de trunchi comun a clasei a IX-a — de la primele lecții de logică până la ultimele formule de trigonometrie. Nu urmărește să surprindă cu exerciții exotice, ci să verifice dacă structura anului s-a așezat: dacă elevul recunoaște tipul de problemă, alege instrumentul potrivit și își redactează raționamentul. Este construită pentru profilurile care parcurg în clasa a IX-a întreaga programă de trunchi comun (umanist, tehnologic, vocațional); nu conține conținuturi din programele extinse ale specializărilor cu mai multe ore de matematică. La profilul real, geometria analitică (itemii 4 și 12) și funcția exponențială/logaritmică (itemii 9 și 11) se studiază în clasa a X-a: acei patru itemi se omit, iar punctajul se raportează la cele $62$ de puncte rămase (plus cele $10$ din oficiu).

Harta materiei acoperite (fiecare capitol mare are 2–3 itemi):

• Elemente de logică matematică — valoarea de adevăr, implicația, echivalența, tabelul de adevăr, cuantificatorii și negarea lor, legile lui De Morgan. (Itemii 1a, 2 — 8 puncte)
• Progresii aritmetice și geometrice — termenul general, suma primilor $n$ termeni. (Itemii 1b, 3 — 8 puncte; modelul geometric revine și în itemul 11)
• Reperul cartezian și dreapta în plan — distanța, mijlocul unui segment, panta, ecuația dreptei, triunghiuri în reper, arii. (Itemii 4, 12 — 14 puncte)
• Funcții, lecturi grafice și funcția afină — citirea graficului, monotonia, imaginea funcției, rezolvarea grafică a inecuațiilor, determinarea unei funcții afine. (Itemii 6b, 6c, 8a — 6 puncte)
• Funcția de gradul al doilea — vârful și axa de simetrie, intersecțiile cu axele, semnul, produsul a două funcții afine, valoarea extremă. (Itemii 6a, 8b, 8c, 14 — 13 puncte)
• Funcția radical și funcții obținute prin operații — domeniul maxim de definiție pentru radical, pentru cât și pentru combinația lor. (Exercițiul 7 — 6 puncte)
• Funcția exponențială și funcția logaritmică — ecuații exponențiale simple, logaritmi, ecuații logaritmice, creșterea exponențială ca model. (Itemii 9, 11 — 14 puncte)
• Cercul trigonometric și formulele trigonometrice de bază — grade și radiani, valorile funcțiilor pentru unghiurile de bază, semnele pe cadrane, formula fundamentală, reducerea la primul cadran. (Itemii 1c, 5, 10, 13 — 21 de puncte)

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs). Fiind o probă de an întreg, ea poate fi administrată și în două reprize: Partea I împreună cu Partea a II-a într-o oră (60 de puncte), iar Partea a III-a în ora următoare (30 de puncte). În varianta pe două reprize, oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final. Dacă se dorește o simulare de teză „ca la examen", se poate aloca o oră și jumătate pentru toate cele trei părți.
• Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — toate valorile trigonometrice cerute sunt cele ale unghiurilor de bază, iar celelalte numere au fost alese ca să dea rezultate exacte. Fracțiile se lasă ireductibile, radicalii nu se aproximează, iar unghiurile se pot scrie fie în grade, fie în radiani, cu condiția să fie coerent.
• Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. Un rezultat corect fără raționament primește cel mult jumătate din punctajul subpunctului.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe capitole:

• Logică: $p\Rightarrow q$ este falsă doar când $p$ este adevărată și $q$ falsă; $\overline{p\wedge q}\equiv \overline{p}\vee \overline{q}$; $\overline{(\forall )x,P(x)}\equiv (\exists )x,\overline{P(x)}$.
• Progresii: $a_n=a_1+(n-1)r$, $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$; $b_n=b_1{q}^{n-1}$, $S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}$ pentru $q\ne 1$.
• Geometrie analitică: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$; $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$; $y-y_A=m(x-x_A)$.
• Gradul al doilea: $f(x)=a{x}^2+bx+c$, $\Delta =b^2-4ac$, $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$, vârful $V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$; pentru $a>0$ funcția are minim în vârf, pentru $a<0$ are maxim; semnul: „semnul lui $a$ în afara rădăcinilor, semn contrar între ele".
• Domenii: $\sqrt{E(x)}$ cere $E(x)\ge 0$; $\frac{E(x)}{F(x)}$ cere $F(x)\ne 0$.
• Exponențială și logaritm: $a^x=a^y⟺x=y$ (pentru $a>0$, $a\ne 1$); ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$, cu $b>0$.
• Trigonometrie: $180^{\circ }=\pi$ rad; ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$; $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$; reducerea la primul cadran: $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\cos (\pi -x)=-\cos x$, $\sin (\pi +x)=-\sin x$, $\cos (\pi +x)=-\cos x$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".