Acasă · Clasa a VIII-a · Teste · Evaluare sumativă — Semestrul I (Matematică, Clasa a VIII-a)

Evaluare sumativă — Semestrul I

Matematică · Clasa a VIII-a

Exerciții

Exercițiul 1 — Intervale de numere reale (8 puncte)

Se dau mulțimile de numere reale $A = [- 3, 5)$ și $B = (1, 8]$ .

a) Reprezentați pe axa numerelor mulțimile $A$ și $B$ . (2 p)

b) Determinați $A \cap B$ . (2 p)

c) Determinați $A \cup B$ . (2 p)

d) Determinați $A ∖ B$ . (2 p)

Exercițiul 2 — Inecuații în ℝ (8 puncte)

Rezolvați în $R$ inecuațiile de mai jos și scrieți soluția sub formă de interval:

a) $3 x - 7 \leq 5 x + 1$ (4 p)

b) $\frac{2 x - 1}{3} > \frac{x + 2}{2} - 1$ (4 p)

Exercițiul 3 — Calcul algebric și formule de calcul prescurtat (10 puncte)

a) Dezvoltați $(3 x - 4)^{2}$ . (2 p)

b) Dezvoltați $(x + 5) (x - 5)$ . (2 p)

c) Calculați, folosind o formulă potrivită (fără calcul direct), $202 4^{2} - 202 3^{2}$ . (3 p)

d) Calculați $9 9^{2}$ scriind $99 = 100 - 1$ și aplicând formula $(a - b)^{2}$ . (3 p)

Exercițiul 4 — Descompuneri în factori (10 puncte)

Descompuneți în factori expresiile:

a) $5 x^{2} - 20$ (2 p)

b) $x^{2} - 6 x + 9$ (2 p)

c) $3 x^{2} + 6 x$ (2 p)

d) $x^{2} - 5 x + 6$ (4 p)

Exercițiul 5 — Fracții algebrice (10 puncte)

Se dă fracția algebrică $E (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 3 x}$ .

a) Determinați condițiile de existență ale fracției (valorile lui $x$ pentru care are sens). (2 p)

b) Simplificați fracția $E (x)$ . (4 p)

c) Calculați $E (6)$ . (2 p)

d) Determinați valoarea lui $x$ pentru care $E (x) = 4$ . (2 p)

Exercițiul 6 — Ecuații de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ (12 puncte)

Rezolvați în $R$ ecuațiile:

a) $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ (4 p)

b) $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ (4 p)

c) $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ . Precizați natura rădăcinilor. (4 p)

Exercițiul 7 — Funcții: noțiune și grafic (10 puncte)

Se consideră funcția $f : {- 2, - 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = x^{2} - 1$ .

a) Completați tabelul de valori al funcției $f$ . (3 p)

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$

b) Reprezentați grafic funcția $f$ , marcând punctele obținute la punctul a). (3 p)

c) Verificați că $f (- 1) = f (1)$ și explicați, pe scurt, de ce se întâmplă acest lucru. (2 p)

d) Dacă am extinde domeniul funcției la $R$ , ar aparține punctul $A (3, 8)$ graficului funcției $f$ ? Justificați. (2 p)

Exercițiul 8 — Funcția liniară (12 puncte)

Se dă funcția liniară $f (x) = - 2 x + 4$ .

a) Calculați $f (0)$ și $f (2)$ . (2 p)

b) Determinați coordonatele punctelor în care graficul funcției intersectează axele de coordonate. (3 p)

c) Reprezentați grafic funcția $f$ , folosind punctele găsite la punctul b). (2 p)

d) Este funcția $f$ crescătoare sau descrescătoare pe $R$ ? Justificați răspunsul folosind coeficientul unghiular. (2 p)

e) Determinați ecuația dreptei paralele cu graficul funcției $f$ , care trece prin punctul $B (1, 5)$ . (3 p)

Exercițiul 9 — Elemente de statistică (10 puncte)

Numărul de mesaje trimise într-o zi de $8$ elevi dintr-o clasă a fost: $12, 15, 15, 18, 20, 20, 20, 25.$

a) Calculați media aritmetică a numărului de mesaje. (3 p)

b) Determinați mediana acestui set de date. (3 p)

c) Determinați modul (valoarea modală) a setului de date. (2 p)

d) Câți dintre cei $8$ elevi au trimis mai multe mesaje decât media calculată la punctul a)? (2 p)

Barem

Punctaj: 90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Nota = punctaj total : 10.

Exercițiul 1 (8 p)

$A = [- 3, 5)$ și $B = (1, 8]$ .

a) Pe axă: $A$ se reprezintă de la $- 3$ (punct plin, inclus) până la $5$ (punct gol, exclus); $B$ se reprezintă de la $1$ (punct gol, exclus) până la $8$ (punct plin, inclus). (2 p)
b) $A \cap B = (1, 5)$ — capătul $1$ este exclus (nu aparține lui $A \cap B$ deoarece nu aparține lui $B$ ), iar $5$ este exclus deoarece nu aparține lui $A$ . (2 p)
c) $A \cup B = [- 3, 8]$ — intervalele se suprapun, deci reuniunea este un singur interval, cu $- 3$ inclus (din $A$ ) și $8$ inclus (din $B$ ). (2 p)
d) $A ∖ B = [- 3, 1]$ — rămân din $A$ elementele care nu sunt în $B$ , adică cele mai mici sau egale cu $1$ . (2 p)

Exercițiul 2 (8 p)

a) $3 x - 7 \leq 5 x + 1 \Leftrightarrow - 8 \leq 2 x \Leftrightarrow x \geq - 4$ . Soluție: $x \in [- 4, + \infty)$ . (4 p)
b) $\frac{x + 2}{2} - 1 = \frac{x}{2}$ , deci inecuația devine $\frac{2 x - 1}{3} > \frac{x}{2}$ . Amplificăm cu $6$ : $2 (2 x - 1) > 3 x \Leftrightarrow 4 x - 2 > 3 x \Leftrightarrow x > 2$ . Soluție: $x \in (2, + \infty)$ . (4 p)

Exercițiul 3 (10 p)

a) $(3 x - 4)^{2} = 9 x^{2} - 24 x + 16$ . (2 p)
b) $(x + 5) (x - 5) = x^{2} - 25$ . (2 p)
c) $202 4^{2} - 202 3^{2} = (2024 - 2023) (2024 + 2023) = 1 \cdot 4047 = 4047$ . (3 p)
d) $9 9^{2} = (100 - 1)^{2} = 10 0^{2} - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^{2} = 10000 - 200 + 1 = 9801$ . (3 p)

Exercițiul 4 (10 p)

a) $5 x^{2} - 20 = 5 (x^{2} - 4) = 5 (x - 2) (x + 2)$ . (2 p)
b) $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ . (2 p)
c) $3 x^{2} + 6 x = 3 x (x + 2)$ . (2 p)
d) $x^{2} - 5 x + 6$ : căutăm două numere cu suma $5$ și produsul $6$ : $2$ și $3$ , deci $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ . (4 p)

Exercițiul 5 (10 p)

a) Numitorul $x^{2} - 3 x = x (x - 3)$ trebuie să fie diferit de $0$ , deci $x \neq = 0$ și $x \neq = 3$ . (2 p)
b) $E (x) = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x - 3 )} = \frac{x + 3}{x}$ , pentru $x \neq = 0, x \neq = 3$ . (4 p)
c) $E (6) = \frac{6 + 3}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ . (2 p)
d) $\frac{x + 3}{x} = 4 \Leftrightarrow x + 3 = 4 x \Leftrightarrow 3 = 3 x \Leftrightarrow x = 1$ (valoare care respectă condițiile de existență). (2 p)

Exercițiul 6 (12 p)

a) $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ : căutăm două numere cu suma $2$ și produsul $- 8$ : $4$ și $- 2$ , deci $x^{2} + 2 x - 8 = (x + 4) (x - 2) = 0$ . Din principiul produsului nul: $x + 4 = 0$ sau $x - 2 = 0$ , deci $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 2$ . (4 p)
b) $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ : descompunem prin grupare: $2 x^{2} - 4 x + x - 2 = 2 x (x - 2) + (x - 2) = (x - 2) (2 x + 1) = 0$ . Din principiul produsului nul: $x - 2 = 0$ sau $2 x + 1 = 0$ , deci $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - \frac{1}{2}$ . (4 p)
c) $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ : recunoaștem pătratul perfect $(x - 2)^{2} = 0$ , deci $x_{1} = x_{2} = 2$ — rădăcini reale și egale (ecuația are o singură soluție dublă). (4 p)

Exercițiul 7 (10 p)

a) Tabel: (3 p)

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$

b) Se marchează în sistemul de axe cele $5$ puncte $(- 2, 3)$ , $(- 1, 0)$ , $(0, - 1)$ , $(1, 0)$ , $(2, 3)$ . Deoarece domeniul funcției este format doar din cele $5$ numere date (nu tot $R$ ), graficul funcției $f$ este exact această mulțime de $5$ puncte izolate — nu se unesc printr-o linie, deși toate se află pe parabola $y = x^{2} - 1$ . (3 p)
c) $f (- 1) = (- 1)^{2} - 1 = 0$ și $f (1) = 1^{2} - 1 = 0$ , deci $f (- 1) = f (1)$ . Acest lucru se întâmplă pentru că $f (- x) = (- x)^{2} - 1 = x^{2} - 1 = f (x)$ pentru orice $x$ (funcția este pară). (2 p)
d) Da: $f (3) = 3^{2} - 1 = 8$ , deci punctul $A (3, 8)$ ar aparține graficului funcției extinse la $R$ . (2 p)

Exercițiul 8 (12 p)

a) $f (0) = - 2 \cdot 0 + 4 = 4$ ; $f (2) = - 2 \cdot 2 + 4 = 0$ . (2 p)
b) Intersecția cu $O x$ : $f (x) = 0 \Rightarrow - 2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ , punctul $(2, 0)$ . Intersecția cu $O y$ : $x = 0 \Rightarrow y = 4$ , punctul $(0, 4)$ . (3 p)
c) Graficul este dreapta care trece prin punctele $(2, 0)$ și $(0, 4)$ . (2 p)
d) Coeficientul unghiular este $m = - 2 < 0$ , deci funcția este descrescătoare pe $R$ . (2 p)
e) Dreptele paralele au același coeficient unghiular, deci dreapta căutată are forma $y = - 2 x + b$ . Din $B (1, 5)$ : $5 = - 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 7$ . Ecuația dreptei: $y = - 2 x + 7$ . (3 p)

Exercițiul 9 (10 p)

Date ordonate: $12, 15, 15, 18, 20, 20, 20, 25$ .

a) Media $= \frac{12 + 15 + 15 + 18 + 20 + 20 + 20 + 25}{8} = \frac{145}{8} = 18, 125$ . (3 p)
b) Sunt $8$ valori (număr par); mediana este media celor două valori din mijloc (a $4$ -a și a $5$ -a): $\frac{18 + 20}{2} = 19$ . (3 p)
c) Modul este valoarea care apare de cele mai multe ori: $20$ (apare de $3$ ori). (2 p)
d) Valori mai mari decât media ( $18, 125$ ): $20, 20, 20, 25$ , deci $4$ elevi. (2 p)

Total: 90 de puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți

Testul verifică principalele teme parcurse în Semestrul I al clasei a VIII-a: intervale de numere reale, inecuații în ℝ, calcul algebric și formule de calcul prescurtat, descompuneri în factori, fracții algebrice, ecuații de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ , funcții (noțiune și grafic), funcția liniară și elemente de statistică. Itemii sunt așezați în ordinea crescătoare a dificultății.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără calculator, cu toate calculele scrise pe foaie. Notarea: împărțiți punctajul obținut la 10 (ex.: 87 de puncte → nota 8,7 ≈ 9).
Materiale necesare: foaie de matematică (eventual cu caroiaj pentru grafice), riglă, instrument de scris.
Sfat: reluați împreună itemii 6 și 8 (ecuații de gradul al doilea și funcția liniară) — sunt temele cu cea mai mare pondere și cele mai frecvente greșeli de calcul.