Acasă · Clasa a IX-a · Teste · Evaluare sumativă — Semestrul I (Matematică, Clasa a IX-a)

Evaluare sumativă — Semestrul I (Matematică, Clasa a IX-a)

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (30 de puncte)

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Negația propoziției „ $(\forall) x \in R, x^{2} + 1 > 0$ " este: A. $(\forall) x \in R, x^{2} + 1 \leq 0$ ; B. $(\exists) x \in R$ astfel încât $x^{2} + 1 \leq 0$ ; C. $(\exists) x \in R$ astfel încât $x^{2} + 1 > 0$ ; D. $(\forall) x \in R, x^{2} + 1 < 0$ .

b) Într-o progresie aritmetică cu $a_{1} = 3$ și rația $r = 4$ , termenul $a_{7}$ este egal cu: A. $24$ ; B. $27$ ; C. $28$ ; D. $31$ .

c) Distanța dintre punctele $A (- 1, 2)$ și $B (3, 5)$ este egală cu: A. $5$ ; B. $7$ ; C. $7$ ; D. $25$ .

Exercițiul 2 (6 puncte)

a) Alcătuiește tabelul de adevăr al enunțului $(p \land q) \Rightarrow (p \lor q)$ și precizează dacă enunțul este o tautologie. (3 p) b) Scrie negația propoziției „Există un număr natural $n$ astfel încât $n^{2} = 2 n$ " și precizează valoarea de adevăr a propoziției inițiale, cu justificare. (2 p) c) Scrie negația propoziției „Numărul $12$ este par și este divizibil cu $5$ ", folosind legile lui De Morgan. (1 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

În progresia aritmetică $(a_{n})_{n \geq 1}$ se cunosc $a_{3} = 11$ și $a_{8} = 31$ . a) Determină rația $r$ și primul termen $a_{1}$ . (2 p) b) Calculează $a_{20}$ . (2 p) c) Calculează suma primilor $20$ de termeni, $S_{20}$ . (2 p)

Exercițiul 4 (6 puncte)

În progresia geometrică $(b_{n})_{n \geq 1}$ cu termeni pozitivi se cunosc $b_{2} = 6$ și $b_{4} = 54$ . a) Determină rația $q$ și primul termen $b_{1}$ . (2 p) b) Calculează $b_{6}$ . (2 p) c) Calculează suma primilor $6$ termeni, $S_{6}$ . (2 p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră punctele $A (- 2, 1)$ și $B (6, 7)$ într-un reper cartezian $x O y$ . a) Calculează lungimea segmentului $A B$ . (2 p) b) Determină coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $A B$ . (2 p) c) Calculează panta dreptei $A B$ și verifică dacă punctul $C (10, 10)$ este coliniar cu $A$ și $B$ . (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (30 de puncte)

Exercițiul 6 (8 puncte)

Se consideră punctele $A (- 1, 5)$ și $B (3, - 3)$ . a) Determină ecuația dreptei $A B$ , sub forma $y = m x + n$ . (2 p) b) Determină coordonatele punctelor în care dreapta $A B$ intersectează axele de coordonate. (2 p) c) Verifică dacă punctul $D (- 4, 11)$ aparține dreptei $A B$ . (2 p) d) Calculează aria triunghiului determinat de dreapta $A B$ împreună cu axele de coordonate. (2 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Se consideră dreptele $d_{1} : y = 3 x - 4$ și $d_{2} : y = - x + 8$ . a) Determină coordonatele punctului $P$ de intersecție a celor două drepte. (3 p) b) Explică de ce cele două drepte nu sunt paralele. (2 p) c) Determină numărul real $m$ pentru care dreapta $d_{3} : y = m x + 1$ trece prin punctul $P$ . (2 p)

Exercițiul 8 (8 puncte)

Graficul funcției $f : [- 3, 6] \to R$ este linia frântă care unește, în această ordine, punctele $(- 3, 4), (- 1, - 2), (2, - 2), (4, 3), (6, 1) .$

a) Citește de pe grafic valorile $f (- 1)$ , $f (2)$ și $f (4)$ . (2 p) b) Determină toate valorile lui $x$ pentru care $f (x) = 1$ . (2 p) c) Precizează intervalele de monotonie ale funcției $f$ . (2 p) d) Determină imaginea funcției, $Im f$ . (2 p)

Exercițiul 9 (7 puncte)

(Problemă aplicată.) Bateria unui laptop se descarcă uniform în timpul folosirii. După $2$ ore de lucru, indicatorul arată $80%$ , iar după $5$ ore arată $50%$ . Notăm cu $p (t)$ procentul de baterie rămas după $t$ ore și presupunem că $p$ este o funcție afină, $p (t) = a t + b$ .

a) Determină numerele reale $a$ și $b$ , apoi scrie formula funcției $p$ . (3 p) b) Precizează monotonia funcției, alcătuiește tabelul ei de semn și deduce după câte ore bateria se descarcă complet. (2 p) c) Rezolvă inecuația $p (t) \geq 25$ și interpretează rezultatul în contextul problemei. (2 p)

Partea a III-a – Probleme, demonstrații și itemi de tip examen (30 de puncte)

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Un absolvent primește două oferte de angajare, ambele cu salariul de $2000$ de lei în prima lună:

Oferta A: salariul crește cu $250$ de lei în fiecare lună față de luna precedentă;
Oferta B: salariul crește cu $10%$ în fiecare lună față de luna precedentă.

Notăm cu $A_{n}$ și $B_{n}$ salariile din luna $n$ .

a) Scrie termenul general al fiecărui șir și precizează, pentru fiecare, ce tip de progresie este. (2 p) b) Calculează salariul din luna a 5-a în fiecare dintre cele două oferte. (2 p) c) Calculează suma totală încasată în primele 4 luni în fiecare dintre cele două oferte. (2 p) d) Care ofertă este mai avantajoasă în primele luni și de ce se schimbă situația pe termen lung? (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Alcătuiește tabelul de adevăr al enunțului $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$ și arată că el are aceleași valori de adevăr ca $p \Leftrightarrow q$ . (3 p) b) Demonstrează, prin tabel de adevăr, legea lui De Morgan $\overline{p \lor q} \equiv \overline{p} \land \overline{q}$ . (3 p) c) Scrie negația propoziției „ $(\forall) x \in R, x^{2} \geq x$ " și stabilește valoarea de adevăr a propoziției inițiale, justificând răspunsul. (2 p)

Exercițiul 12 (7 puncte)

(Redactare completă cerută.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 2)$ , $B (7, 2)$ și $C (4, 6)$ .

a) Calculează lungimile laturilor triunghiului $A B C$ și arată că triunghiul este isoscel. (2 p) b) Determină coordonatele mijlocului $M$ al laturii $A B$ și calculează lungimea segmentului $C M$ . (2 p) c) Calculează aria triunghiului $A B C$ . (2 p) d) Determină ecuația dreptei $C M$ și precizează poziția ei față de axe. (1 p)

Exercițiul 13 (7 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 5$ .

a) Arătați că $f (1) + f (3) = 2$ . (2 p) b) Determinați numărul real $m$ pentru care punctul $A (m, 2 m - 1)$ aparține graficului funcției $f$ . (3 p) c) Arătați că numerele $f (1)$ , $f (3)$ și $f (5)$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice și determinați rația acesteia. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 30 p (itemii 1–5) · Partea a II-a – 30 p (itemii 6–9) · Partea a III-a – 30 p (itemii 10–13).

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Negarea unei propoziții cu cuantificatorul universal schimbă $\forall$ în $\exists$ și neagă predicatul: negația lui $x^{2} + 1 > 0$ este $x^{2} + 1 \leq 0$ . Deci negația este $(\exists) x \in R$ astfel încât $x^{2} + 1 \leq 0$ . (Varianta A păstrează greșit cuantificatorul, iar D neagă și inegalitatea nestrict.) Observație: propoziția inițială este adevărată, deci negația ei este falsă.

b) B. $a_{7} = a_{1} + 6 r = 3 + 6 \cdot 4 = 3 + 24 = 27$ . (Varianta D, $31$ , apare dacă se folosește greșit $a_{1} + 7 r$ .)

c) A. $A B = (3 - (- 1))^{2} + (5 - 2)^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25 = 5$ . (Varianta D, $25$ , apare dacă se uită radicalul.)

Exercițiul 2. (6 p)

a) (3 p) Tabelul de adevăr (2 p pentru tabelul complet și corect):

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$(p \land q) \Rightarrow (p \lor q)$
A	A	A	A	A
A	F	F	A	A
F	A	F	A	A
F	F	F	F	A

Ultima coloană conține numai valoarea A, deci enunțul este o tautologie (1 p). (Explicație: o implicație este falsă doar când premisa e adevărată și concluzia falsă; aici, dacă $p \land q$ este adevărată, atunci $p$ și $q$ sunt ambele adevărate, deci și $p \lor q$ este adevărată — cazul „fals" nu poate apărea.)

b) (2 p) Negația este: „Pentru orice număr natural $n$ , $n^{2} \neq = 2 n$ ." (1 p) Propoziția inițială este adevărată (1 p): pentru $n = 2$ avem $n^{2} = 4$ și $2 n = 4$ , deci $n^{2} = 2 n$ . (Se acceptă și exemplul $n = 0$ .) Prin urmare negația ei este falsă.

c) (1 p) După De Morgan, $\overline{p \land q} \equiv \overline{p} \lor \overline{q}$ , deci negația este: „Numărul $12$ nu este par sau nu este divizibil cu $5$ ." (Formulare echivalentă: „Numărul $12$ este impar sau nu este divizibil cu $5$ .") Propoziția inițială este falsă (fiindcă $12$ nu se divide cu $5$ ), deci negația este adevărată.

Exercițiul 3. (6 p)

a) (2 p) Din $a_{8} = a_{3} + 5 r$ rezultă $31 = 11 + 5 r$ , deci $5 r = 20$ și $r = 4$ (1 p). Apoi $a_{1} = a_{3} - 2 r = 11 - 8 = 3$ (1 p). (Verificare: $a_{8} = 3 + 7 \cdot 4 = 31$ ✓.)

b) (2 p) $a_{20} = a_{1} + 19 r = 3 + 19 \cdot 4 = 3 + 76 = 79$ .

c) (2 p) $S_{20} = \frac{( a _{1} + a _{20} ) \cdot 20}{2} = \frac{( 3 + 79 ) \cdot 20}{2} = \frac{82 \cdot 20}{2} = 82 \cdot 10 = 820$ . (1 p formula, 1 p calculul)

Exercițiul 4. (6 p)

a) (2 p) Din $b_{4} = b_{2} \cdot q^{2}$ obținem $q^{2} = \frac{54}{6} = 9$ (1 p). Termenii fiind pozitivi, $q = 3$ . Atunci $b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = \frac{6}{3} = 2$ (1 p).

b) (2 p) $b_{6} = b_{1} \cdot q^{5} = 2 \cdot 3^{5} = 2 \cdot 243 = 486$ .

c) (2 p) $S_{6} = b_{1} \cdot \frac{q ^{6} - 1}{q - 1} = 2 \cdot \frac{729 - 1}{2} = \frac{2 \cdot 728}{2} = 728$ . (1 p formula, 1 p calculul) (Verificare prin adunare: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728$ ✓.)

Exercițiul 5. (6 p)

a) (2 p) $A B = (6 - (- 2))^{2} + (7 - 1)^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 = 10$ .

b) (2 p) $M (\frac{- 2 + 6}{2}, \frac{1 + 7}{2}) = M (2, 4)$ .

c) (2 p) Panta: $m_{A B} = \frac{7 - 1}{6 - ( - 2 )} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ (1 p). Pentru coliniaritate comparăm pantele: $m_{A C} = \frac{10 - 1}{10 - ( - 2 )} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ . Cum $m_{A C} = m_{A B}$ și cele două drepte au punctul $A$ în comun, punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare (1 p).

Exercițiul 6. (8 p)

a) (2 p) Panta: $m = \frac{- 3 - 5}{3 - ( - 1 )} = \frac{- 8}{4} = - 2$ (1 p). Din $y - 5 = - 2 (x - (- 1))$ obținem $y - 5 = - 2 x - 2$ , deci $y = - 2x + 3$ (1 p). (Verificare: pentru $x = 3$ , $y = - 6 + 3 = - 3$ ✓.)

b) (2 p) Cu $O y$ : $x = 0 \Rightarrow y = 3$ , deci punctul $(0, 3)$ (1 p). Cu $O x$ : $- 2 x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ , deci punctul $(\frac{3}{2}, 0)$ (1 p).

c) (2 p) Înlocuim $x = - 4$ în ecuație: $- 2 \cdot (- 4) + 3 = 8 + 3 = 11$ (1 p), ceea ce coincide cu ordonata lui $D$ , deci $D (- 4, 11)$ aparține dreptei $A B$ (1 p).

d) (2 p) Triunghiul are vârfurile în origine și în cele două intersecții cu axele, deci este dreptunghic în $O$ , cu catetele $\frac{3}{2}$ și $3$ (1 p): $A = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{4} unit \overset{a}{˘} ț i de arie (1 p) .$

Exercițiul 7. (7 p)

a) (3 p) Punctul de intersecție are coordonatele care verifică ambele ecuații, deci egalăm expresiile: $3 x - 4 = - x + 8$ (1 p). Rezultă $4 x = 12$ , deci $x = 3$ (1 p), iar $y = 3 \cdot 3 - 4 = 5$ . Așadar $P (3, 5)$ (1 p). (Verificare în $d_{2}$ : $- 3 + 8 = 5$ ✓.)

b) (2 p) Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă au aceeași pantă (1 p). Aici $m_{1} = 3$ și $m_{2} = - 1$ , iar $3 \neq = - 1$ , deci dreptele nu sunt paralele — ele se intersectează într-un singur punct, cel găsit la a) (1 p).

c) (2 p) Condiția „ $d_{3}$ trece prin $P$ " înseamnă $5 = m \cdot 3 + 1$ (1 p), deci $3 m = 4$ și $m = \frac{4}{3}$ (1 p).

Exercițiul 8. (8 p)

a) (2 p) $f (- 1) = - 2$ , $f (2) = - 2$ , $f (4) = 3$ (câte $0, 5$ p pentru primele două, $1$ p pentru a treia; ordonata punctului de pe grafic cu abscisa dată). Primele două valori sunt egale pentru că segmentul dintre $(- 1, - 2)$ și $(2, - 2)$ este orizontal.

b) (2 p) Se trasează dreapta $y = 1$ și se caută toate intersecțiile ei cu linia frântă. Ea taie graficul în trei puncte:

pe segmentul dintre $(- 3, 4)$ și $(- 1, - 2)$ , unde panta este $\frac{- 2 - 4}{- 1 + 3} = - 3$ și $f (x) = - 3 x - 5$ ; din $- 3 x - 5 = 1$ rezultă $x = - 2$ ;
pe segmentul dintre $(2, - 2)$ și $(4, 3)$ , unde panta este $\frac{3 + 2}{4 - 2} = \frac{5}{2}$ și $f (x) = - 2 + \frac{5}{2} (x - 2)$ ; din $\frac{5}{2} (x - 2) = 3$ rezultă $x - 2 = \frac{6}{5}$ , deci $x = \frac{16}{5}$ ;
pe segmentul dintre $(4, 3)$ și $(6, 1)$ , unde panta este $- 1$ și $f (x) = 7 - x$ ; din $7 - x = 1$ rezultă $x = 6$ (capătul din dreapta al graficului).

Așadar $x \in {- 2, \frac{16}{5}, 6}$ . (1 p pentru identificarea celor trei intersecții, 1 p pentru valorile exacte; $1, 5$ p dacă se găsesc doar două dintre ele.)

c) (2 p) $f$ este strict descrescătoare pe $[- 3, - 1]$ , constantă pe $[- 1, 2]$ , strict crescătoare pe $[2, 4]$ și din nou strict descrescătoare pe $[4, 6]$ . (Câte $0, 5$ p pe interval.)

d) (2 p) Cea mai mică valoare atinsă este $- 2$ (pe palierul orizontal), iar cea mai mare este $4$ (în capătul din stânga, $(- 3, 4)$ ) (1 p). Graficul fiind o linie continuă, sunt atinse și toate valorile intermediare, deci $Im f = [- 2, 4]$ (1 p).

Exercițiul 9. (7 p)

a) (3 p) Datele problemei se scriu $p (2) = 80$ și $p (5) = 50$ , de unde sistemul ${2 a + b = 80 5 a + b = 50 (1 p)$ Scăzând prima ecuație din a doua: $3 a = - 30$ , deci $a = - 10$ (1 p). Atunci $b = 80 - 2 a = 80 + 20 = 100$ (0,5 p), adică $p (t) = - 10 t + 100.$ Verificare: $p (5) = - 50 + 100 = 50$ ✓ (0,5 p). (Se acceptă și calculul direct al pantei: $a = \frac{50 - 80}{5 - 2} = \frac{- 30}{3} = - 10$ . Observație: $b = p (0) = 100$ — bateria era plină la începutul lucrului.)

b) (2 p) Cum $a = - 10 < 0$ , funcția este strict descrescătoare — bateria scade cu $10$ puncte procentuale în fiecare oră (0,5 p). Rădăcina este $t_{0} = - \frac{b}{a} = - \frac{100}{- 10} = 10$ (0,5 p). Tabelul de semn (0,5 p):

$t$	$- \infty$		$10$		$+ \infty$
$p (t)$		$+ + +$	$0$	$- - -$

(Regula: înainte de rădăcină, semn contrar lui $a$ ; după rădăcină, semnul lui $a$ .) Procentul este pozitiv exact pentru $t < 10$ , deci bateria se descarcă complet după $10$ ore de lucru; de aceea domeniul cu sens practic este $[0, 10]$ (0,5 p).

c) (2 p) $- 10 t + 100 \geq 25 ⟺ - 10 t \geq - 75$ (1 p). Împărțim la $- 10 < 0$ și schimbăm sensul inegalității: $t \leq 7, 5$ ; ținând cont și de $t \geq 0$ , obținem $t \in [0; 7, 5]$ (1 p). (Se scade 1 p dacă nu se schimbă sensul.) În context: bateria rămâne la cel puțin $25%$ în primele $7$ ore și $30$ de minute de lucru. Verificare: $p (7, 5) = - 75 + 100 = 25$ ✓.

Exercițiul 10. (8 p)

a) (2 p) Oferta A este o progresie aritmetică cu $A_{1} = 2000$ și rația $r = 250$ : $A_{n} = 2000 + 250 (n - 1) (1 p) .$ Oferta B este o progresie geometrică cu $B_{1} = 2000$ și rația $q = 1, 1$ (creștere de $10%$ înseamnă înmulțire cu $1, 1$ ): $B_{n} = 2000 \cdot 1, 1^{n - 1} (1 p) .$

b) (2 p) $A_{5} = 2000 + 250 \cdot 4 = 2000 + 1000 = 3000$ lei (1 p). $B_{5} = 2000 \cdot 1, 1^{4} = 2000 \cdot 1, 4641 = 2928, 20$ lei (1 p). (Calcul pe hârtie: $1, 1^{2} = 1, 21$ ; $1, 1^{3} = 1, 331$ ; $1, 1^{4} = 1, 4641$ .)

c) (2 p) Oferta A: $S_{4}^{A} = \frac{( 2000 + 2750 ) \cdot 4}{2} = \frac{4750 \cdot 4}{2} = 9500$ lei, unde $A_{4} = 2000 + 750 = 2750$ (1 p). Oferta B: $S_{4}^{B} = 2000 \cdot \frac{1 , 1 ^{4} - 1}{1 , 1 - 1} = 2000 \cdot \frac{0 , 4641}{0 , 1} = 2000 \cdot 4, 641 = 9282$ lei (1 p). (Verificare prin adunare: $2000 + 2200 + 2420 + 2662 = 9282$ ✓.)

d) (2 p) În primele luni este mai avantajoasă oferta A: de exemplu în luna a 6-a, $A_{6} = 3250$ lei, iar $B_{6} = 2000 \cdot 1, 1^{5} = 3221, 02$ lei (1 p). Pe termen lung situația se schimbă, pentru că o creștere geometrică (procentuală) se aplică de fiecare dată unei baze tot mai mari, deci sporul lunar crește el însuși, în timp ce la progresia aritmetică sporul rămâne mereu $250$ de lei. Prin urmare, de la un rang încolo, oferta B o depășește definitiv pe A — aici, chiar din luna a 7-a: $A_{7} = 3500$ lei, iar $B_{7} = 2000 \cdot 1, 1^{6} \approx 3543, 12$ lei (1 p). (Se acordă punctajul integral și pentru o justificare corectă doar în cuvinte, fără calculul rangului exact.)

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (3 p) Tabelul (2 p):

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$q \Rightarrow p$	$(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$	$p \Leftrightarrow q$
A	A	A	A	A	A
A	F	F	A	F	F
F	A	A	F	F	F
F	F	A	A	A	A

Ultimele două coloane coincid linie cu linie, deci cele două enunțuri au aceleași valori de adevăr în toate cele patru cazuri posibile, adică sunt echivalente logic (1 p). Acesta este chiar motivul pentru care echivalența se citește „dacă și numai dacă": ea înseamnă implicație în ambele sensuri. $■$

b) (3 p) Tabelul (2 p):

$p$	$q$	$p \lor q$	$\overline{p \lor q}$	$\overline{p}$	$\overline{q}$	$\overline{p} \land \overline{q}$
A	A	A	F	F	F	F
A	F	A	F	F	A	F
F	A	A	F	A	F	F
F	F	F	A	A	A	A

Coloanele $\overline{p \lor q}$ și $\overline{p} \land \overline{q}$ sunt identice, deci $\overline{p \lor q} \equiv \overline{p} \land \overline{q}$ (1 p). În cuvinte: „nu (p sau q)" înseamnă exact „nici p, nici q". $■$

c) (2 p) Negația: „ $(\exists) x \in R$ astfel încât $x^{2} < x$ " (1 p). Propoziția inițială este falsă (0,5 p): pentru $x = \frac{1}{2}$ avem $x^{2} = \frac{1}{4} < \frac{1}{2} = x$ , deci există un contraexemplu (0,5 p). (Orice $x \in (0, 1)$ este contraexemplu.) Prin urmare negația este adevărată.

Exercițiul 12. (7 p) — redactare completă.

a) (2 p) $A B = (7 - 1)^{2} + (2 - 2)^{2} = 36 = 6;$ $A C = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5;$ $B C = (4 - 7)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5.$ (1,5 p pentru cele trei lungimi) Cum $A C = B C = 5$ , triunghiul $A B C$ este isoscel cu baza $A B$ (0,5 p). (Triunghiul există: $5 + 5 = 10 > 6$ .)

b) (2 p) $M (\frac{1 + 7}{2}, \frac{2 + 2}{2}) = M (4, 2)$ (1 p). Atunci $C M = (4 - 4)^{2} + (2 - 6)^{2} = 16 = 4 (1 p) .$

c) (2 p) Latura $A B$ este orizontală (ambele capete au ordonata $2$ ), iar segmentul $C M$ este vertical (ambele capete au abscisa $4$ ), deci $C M ⊥ A B$ ; prin urmare $C M$ este înălțimea din $C$ (1 p). (Se acceptă și justificarea: într-un triunghi isoscel, mediana din vârful unghiului dintre laturile congruente este și înălțime.) Așadar $A_{A B C} = \frac{A B \cdot C M}{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12 unit \overset{a}{˘} ț i de arie (1 p) .$

d) (1 p) Punctele $C (4, 6)$ și $M (4, 2)$ au aceeași abscisă, deci dreapta $C M$ are ecuația $x = 4$ : este o dreaptă verticală, paralelă cu axa $O y$ și perpendiculară pe $O x$ . (Panta ei nu este definită — de aceea nu poate fi scrisă sub forma $y = m x + n$ .)

Exercițiul 13. (7 p)

a) (2 p) $f (1) = 3 \cdot 1 - 5 = - 2$ și $f (3) = 3 \cdot 3 - 5 = 4$ (1 p), deci $f (1) + f (3) = - 2 + 4 = 2$ (1 p).

b) (3 p) Punctul $A (m, 2 m - 1)$ aparține graficului dacă și numai dacă $f (m) = 2 m - 1$ (1 p), adică $3 m - 5 = 2 m - 1 ⟹ m = 4 (1,5 p) .$ Verificare: pentru $m = 4$ punctul este $A (4, 7)$ , iar $f (4) = 12 - 5 = 7$ ✓ (0,5 p).

c) (2 p) $f (1) = - 2$ , $f (3) = 4$ , $f (5) = 3 \cdot 5 - 5 = 10$ (0,5 p). Trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă diferențele succesive sunt egale: $f (3) - f (1) = 4 - (- 2) = 6, f (5) - f (3) = 10 - 4 = 6 (1 p) .$ Diferențele fiind egale, numerele $- 2$ , $4$ , $10$ formează o progresie aritmetică de rație $r = 6$ (0,5 p). (Se acceptă și verificarea prin proprietatea termenului din mijloc: $f (3) = \frac{f ( 1 ) + f ( 5 )}{2} = \frac{- 2 + 10}{2} = 4$ ✓.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este un test pe o singură lecție, ci o lucrare de tip teză: acoperă, într-o singură probă, tot ce s-a studiat în semestrul I la trunchiul comun. Rolul ei este dublu — pe de o parte arată ce s-a așezat cu adevărat după cinci luni de liceu, pe de alta scoate la iveală capitolele care trebuie reluate până la finalul anului. Este construită pentru toate profilurile care studiază matematica de trunchi comun: nu conține nimic din materia suplimentară a specializărilor cu programă extinsă.

Harta materiei acoperite (fiecare capitol mare are 2–3 itemi):

Elemente de logică matematică — valoarea de adevăr a unei propoziții, negația, conjuncția, disjuncția, implicația și echivalența, tabelul de adevăr, predicate și cuantificatori, legile lui De Morgan, negarea propozițiilor cu cuantificatori. (Itemii 1a, 2, 11 — 16 puncte)
Progresii aritmetice — termenul general, suma primilor $n$ termeni, recunoașterea progresiei într-o problemă. (Itemii 1b, 3, 10 — 12 puncte)
Progresii geometrice — rația, termenul general, suma primilor $n$ termeni, creșterea procentuală repetată, alegerea modelului potrivit. (Itemii 4, 10 — 10 puncte)
Reperul cartezian și punctele în plan — coordonate, distanța dintre două puncte, mijlocul unui segment, figuri în reper, lungimi de laturi și arii. (Itemii 1c, 5, 12 — 15 puncte)
Dreapta în planul cartezian — panta, ecuația dreptei prin două puncte, intersecțiile cu axele, coliniaritatea, intersecția a două drepte. (Itemii 6, 7 — 15 puncte)
Funcții, lecturi grafice și funcția afină — noțiunea de funcție, citirea graficului, monotonia, semnul, modelarea cu funcții afine. (Itemii 8, 9, 13 — 22 puncte)

Cum se aplică:

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs). Fiind o probă transversală, ea poate fi administrată și în două reprize: Partea I împreună cu Partea a II-a în prima oră (60 de puncte), iar Partea a III-a în ora următoare (30 de puncte). Varianta pe două reprize oferă în total mai mult timp de lucru — în jur de 75 de minute — și este de preferat la prima aplicare sau la clasele care lucrează mai lent; în această variantă oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — toate numerele au fost alese astfel încât calculele să se poată face pe hârtie. Fracțiile se lasă în formă ireductibilă (de exemplu $\frac{3}{4}$ , nu $0, 75$ ), iar radicalii nu se aproximează.
Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă, cu justificări scrise, nu doar rezultatul. Un rezultat corect fără raționament primește cel mult jumătate din punctajul subpunctului.

Interpretarea rezultatului:

Punctaj	Nivel	Ce înseamnă
90–100 p	foarte bine	Semestrul e stăpânit; se poate trece liniștit mai departe.
75–89 p	bine	Fundamentul e solid; de reluat doar capitolul unde s-au pierdut cele mai multe puncte.
60–74 p	satisfăcător	Se rezolvă exercițiile standard, dar problemele transversale (Partea a III-a) încă nu ies. De insistat pe redactare.
45–59 p	insuficient	Lipsesc automatismele de bază. Recomandat: reluarea progresiilor și a funcției afine, cu exerciții zilnice.
sub 45 p	de reluat	Se reia semestrul capitol cu capitol, începând cu logica și progresiile.

Formule de reținut, pe capitole:

Logică: $\overline{p \land q} \equiv \overline{p} \lor \overline{q}$ și $\overline{p \lor q} \equiv \overline{p} \land \overline{q}$ (De Morgan); negarea cuantificatorilor: $\overline{(\forall) x, P (x)} \equiv (\exists) x, \overline{P (x)}$ și $\overline{(\exists) x, P (x)} \equiv (\forall) x, \overline{P (x)}$ .
Progresia aritmetică: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ și $S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) \cdot n}{2}$ .
Progresia geometrică: $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ și, pentru $q \neq = 1$ , $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ .
Geometrie analitică: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ ; mijlocul $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ ; panta $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ ; ecuația dreptei $y - y_{A} = m (x - x_{A})$ .
Funcția afină: $f (x) = a x + b$ ; graficul este o dreaptă; $a > 0 \Rightarrow$ strict crescătoare, $a < 0 \Rightarrow$ strict descrescătoare; rădăcina $x_{0} = - \frac{b}{a}$ ; intersecțiile cu axele: $(- \frac{b}{a}, 0)$ și $(0, b)$ .

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".