Evaluare sumativă — Semestrul al II-lea

Matematică · Clasa a VIII-a

Exerciții

Exercițiul 1 — Poziții relative în cub (8 puncte)

Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ din figură.

Precizați poziția relativă a fiecărei perechi de drepte sau plane (paralele, concurente sau necoplanare) și justificați pe scurt:

a) dreptele $AB$ și $DC$; (2 p) b) dreptele $AB$ și $B{B}^{\prime }$; (2 p) c) dreptele $AB$ și $C{C}^{\prime }$; (2 p) d) planele $(ABC)$ și $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. (2 p)

Exercițiul 2 — Proiecție și distanță în spațiu (9 puncte)

Un stâlp vertical $MA$ este fixat perpendicular pe un teren orizontal (planul $\alpha$), în punctul $A$, cu $MA=12$ m. Colțul $B$ al unei clădiri se află pe teren, la distanța $AB=9$ m de piciorul stâlpului.

a) Ce reprezintă punctul $A$ pentru punctul $M$ și planul $\alpha$? (2 p) b) Calculați distanța $MB$ de la vârful stâlpului până la punctul $B$. (4 p) c) Precizați ce fel de dreaptă este $MB$ față de planul $\alpha$ (perpendiculară, oblică sau conținută în plan) și justificați. (3 p)

Exercițiul 3 — Teorema celor trei perpendiculare (9 puncte)

Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are baza pătrată $ABCD$, cu centrul $O$ (piciorul înălțimii $VO$) și $M$ mijlocul laturii $BC$.

a) Explicați, folosind teorema celor trei perpendiculare, de ce din $VO\perp (ABC)$ și $OM\perp BC$ rezultă $VM\perp BC$ (apotema piramidei este perpendiculară pe latura bazei). (3 p) b) Știind că latura bazei este $a=8$ cm și înălțimea piramidei $VO=3$ cm, calculați apotema $VM$. (6 p)

Exercițiul 4 — Paralelipipedul dreptunghic (10 puncte)

Un acvariu are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea $40$ cm, lățimea $30$ cm și înălțimea $25$ cm.

a) Calculați volumul acvariului, în litri ($1$ litru $=1000{\text{cm}}^3$). (3 p) b) Calculați aria totală a suprafeței de sticlă (cele $6$ fețe). (4 p) c) Calculați lungimea diagonalei acvariului. (3 p)

Exercițiul 5 — Cubul (10 puncte)

O cutie-cadou are forma unui cub cu muchia $a=6$ cm.

a) Calculați diagonala cubului. (2 p) b) Calculați aria totală a cubului. (3 p) c) Calculați volumul cubului. (2 p) d) Secțiunea diagonală a cubului este dreptunghiul determinat de o diagonală a unei baze și muchia laterală. Calculați aria acestei secțiuni. (3 p)

Exercițiul 6 — Prisma triunghiulară regulată (11 puncte)

Un suport metalic pentru un panou solar are forma unei prisme triunghiulare regulate (bază triunghi echilateral), cu latura bazei $a=6$ cm și înălțimea prismei $h=10$ cm.

a) Calculați aria bazei (triunghi echilateral). (3 p) b) Calculați aria laterală a prismei. (3 p) c) Calculați aria totală a prismei. (2 p) d) Calculați volumul prismei. (3 p)

Exercițiul 7 — Trunchiul de piramidă (11 puncte)

Un ghiveci de flori are forma unui trunchi de piramidă patrulateră regulată, cu bazele pătrate de laturi $B=10$ cm (baza mare) și $b=4$ cm (baza mică), înălțimea trunchiului $h=4$ cm și apotema trunchiului $m=5$ cm.

a) Calculați ariile celor două baze. (2 p) b) Calculați aria laterală a trunchiului de piramidă. (4 p) c) Calculați volumul trunchiului de piramidă, folosind formula $V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b}\right)$. (5 p)

Exercițiul 8 — Cilindrul circular drept (11 puncte)

Un rezervor cilindric de apă are raza bazei $r=4$ cm (la scară) și înălțimea $h=6$ cm.

a) Calculați aria bazei cilindrului, în funcție de $\pi$. (2 p) b) Calculați aria laterală a cilindrului, în funcție de $\pi$. (3 p) c) Calculați volumul cilindrului, luând $\pi \approx 3,14$. (3 p) d) Secțiunea axială a cilindrului este un dreptunghi cu laturile $2r$ și $h$. Calculați lungimea diagonalei acestui dreptunghi. (3 p)

Exercițiul 9 — Con, trunchi de con și sferă (11 puncte)

O pălărie de petrecere are forma unui con circular drept cu raza bazei $r=6$ cm și generatoarea $g=10$ cm. Prin secționarea conului cu un plan paralel cu baza, dus la mijlocul înălțimii, se obține un trunchi de con.

a) Calculați înălțimea conului și aria laterală a conului, în funcție de $\pi$. (4 p) b) Determinați raza bazei mici și înălțimea trunchiului de con, știind că secțiunea este dusă exact la mijlocul înălțimii conului. (2 p) c) Calculați volumul trunchiului de con, luând $\pi \approx 3,14$. (3 p) d) O minge sferică are aceeași rază ca baza conului, $R=6$ cm. Calculați aria suprafeței sferei, folosind $\pi \approx 3,14$. (2 p)

Barem

Punctaj: 90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Nota = punctaj total : 10.

Exercițiul 1 (8 p)

• a) $AB\parallel DC$ — sunt laturi opuse ale pătratului $ABCD$ (fața de bază a cubului). Paralele. (2 p)
• b) $AB$ și $B{B}^{\prime }$ au punctul $B$ în comun (ambele sunt muchii ale feței $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$). Concurente. (2 p)
• c) $AB$ și $C{C}^{\prime }$ nu au niciun punct comun și nu sunt paralele; nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă (planul $(ABC)$ conține $AB$, dar nu conține $C{C}^{\prime }$, deoarece $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$). Necoplanare. (2 p)
• d) $(ABC)$ este baza inferioară a cubului, iar $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ este baza superioară; cele două fețe opuse ale cubului nu au niciun punct comun. Paralele. (2 p)

Exercițiul 2 (9 p)

• a) Cum $MA\perp \alpha$ și $A\in \alpha$, punctul $A$ este proiecția ortogonală a lui $M$ pe planul $\alpha$. (2 p)
• b) Triunghiul $MAB$ este dreptunghic în $A$ (deoarece $MA\perp \alpha$, deci $MA\perp AB$). Cu teorema lui Pitagora: $$MB=\sqrt{M{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\text{ m.}(4\text{ p})$$
• c) $MB$ este o oblică la planul $\alpha$: punctul $M\notin \alpha$, iar $A$ (piciorul perpendicularei din $M$) este diferit de $B$; segmentul $AB$ este chiar proiecția oblicei $MB$ pe planul $\alpha$. (3 p)

Exercițiul 3 (9 p)

• a) Deoarece $VO\perp (ABC)$, dreapta $VO$ este perpendiculară pe orice dreaptă din planul bazei, deci $VO\perp BC$. Din ipoteză, $OM\perp BC$ (cu $M\in BC$, $O$ fiind proiecția lui $V$). Cum $BC$ este perpendiculară pe două drepte concurente ($VO$ și $OM$) din planul $(VOM)$, rezultă $BC\perp (VOM)$, deci $BC\perp VM$. Aceasta este chiar teorema celor trei perpendiculare: $VO\perp (ABC)$ (perpendiculara pe plan), $OM\perp BC$ (perpendiculara din proiecție, în plan), deci $VM\perp BC$ (oblica). (3 p)
• b) $M$ este mijlocul laturii $BC$, deci $OM$ este apotema bazei pătrate: $OM=\frac{a}{2}=\frac{8}{2}=4$ cm. Triunghiul $VOM$ este dreptunghic în $O$, deci: $$VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{ cm.}(6\text{ p})$$

Exercițiul 4 (10 p)

• a) $V=40\cdot 30\cdot 25=30000{\text{cm}}^3=30$ litri. (3 p)
• b) $A_t=2(L\cdot l+L\cdot h+l\cdot h)=2(40\cdot 30+40\cdot 25+30\cdot 25)=2(1200+1000+750)=2\cdot 2950=5900{\text{cm}}^2$. (4 p)
• c) $d=\sqrt{40^2+30^2+25^2}=\sqrt{1600+900+625}=\sqrt{3125}=\sqrt{625\cdot 5}=25\sqrt{5}\approx 55,9$ cm. (3 p)

Exercițiul 5 (10 p)

• a) $d=a\sqrt{3}=6\sqrt{3}\approx 10,39$ cm. (2 p)
• b) $A_t=6a^2=6\cdot 36=216{\text{cm}}^2$. (3 p)
• c) $V=a^3=216{\text{cm}}^3$. (2 p)
• d) Secțiunea diagonală este un dreptunghi cu laturile $a$ și $a\sqrt{2}$ (diagonala unei fețe): $A_{sect}=a\cdot a\sqrt{2}=a^2\sqrt{2}=36\sqrt{2}\approx 50,9{\text{cm}}^2$. (3 p)

Exercițiul 6 (11 p)

• a) $A_{baz\breve{a}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\approx 15,6{\text{cm}}^2$. (3 p)
• b) Perimetrul bazei $=3a=18$ cm, deci $A_{lat}=3a\cdot h=18\cdot 10=180{\text{cm}}^2$. (3 p)
• c) $A_t=A_{lat}+2A_{baz\breve{a}}=180+18\sqrt{3}\approx 211,2{\text{cm}}^2$. (2 p)
• d) $V=A_{baz\breve{a}}\cdot h=9\sqrt{3}\cdot 10=90\sqrt{3}\approx 155,9{\text{cm}}^3$. (3 p)

Exercițiul 7 (11 p)

• a) $A_B=B^2=10^2=100{\text{cm}}^2$; $A_b=b^2=4^2=16{\text{cm}}^2$. (2 p)
• b) Perimetrele bazelor: $P_B=4B=40$ cm, $P_b=4b=16$ cm. $$A_{lat}=\frac{P_B+P_b}{2}\cdot m=\frac{40+16}{2}\cdot 5=28\cdot 5=140{\text{cm}}^2.(4\text{ p})$$
• c) $\sqrt{A_B\cdot A_b}=\sqrt{100\cdot 16}=\sqrt{1600}=40$. $$V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B{A}_b}\right)=\frac{4}{3}(100+16+40)=\frac{4}{3}\cdot 156=208{\text{cm}}^3.(5\text{ p})$$

Exercițiul 8 (11 p)

• a) $A_{baz\breve{a}}=\pi r^2=16\pi {\text{cm}}^2$. (2 p)
• b) $A_{lat}=2\pi rh=2\pi \cdot 4\cdot 6=48\pi {\text{cm}}^2$. (3 p)
• c) $V=\pi r^{2}h=16\pi \cdot 6=96\pi \approx 96\cdot 3,14=301,44{\text{cm}}^3$. (3 p)
• d) Dreptunghiul secțiunii axiale are laturile $2r=8$ cm și $h=6$ cm, deci diagonala: $\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm. (3 p)

Exercițiul 9 (11 p)

• a) Din triunghiul dreptunghic $VOM$ (secțiune axială): $h=\sqrt{g^2-r^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ cm. $A_{lat}=\pi rg=\pi \cdot 6\cdot 10=60\pi {\text{cm}}^2$. (4 p)
• b) Secțiunea paralelă dusă la mijlocul înălțimii determină, prin asemănarea triunghiurilor, un con mic asemenea cu raportul $\frac{1}{2}$: raza bazei mici $r^{\prime }=\frac{r}{2}=3$ cm, iar înălțimea trunchiului $h^{\prime }=\frac{h}{2}=4$ cm. (2 p)
• c) $V_{trunchi}=\frac{\pi h^{\prime }}{3}\left(R^2+R{r}^{\prime }+r^{\prime 2}\right)=\frac{\pi \cdot 4}{3}(36+18+9)=\frac{4\pi }{3}\cdot 63=84\pi \approx 84\cdot 3,14=263,76{\text{cm}}^3$. (3 p)
• d) $A_{sfer\breve{a}}=4\pi R^2=4\pi \cdot 36=144\pi \approx 144\cdot 3,14=452,16{\text{cm}}^2$. (2 p)

Total: 90 de puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți

Testul verifică materia de geometrie în spațiu parcursă în Semestrul al II-lea: puncte, drepte și plane, paralelism în spațiu, perpendicularitate, proiecții și teorema celor trei perpendiculare, prisma, paralelipipedul dreptunghic și cubul, piramida, tetraedrul și trunchiul de piramidă, corpurile rotunde (cilindru, con, trunchi de con, sferă). Itemii sunt așezați în ordinea crescătoare a dificultății, cu figuri pentru fiecare corp geometric.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu toate calculele scrise; sunt permise riglă și eventual calculator de buzunar pentru radicali/π. Notarea: împărțiți punctajul obținut la 10 (ex.: 87 de puncte → nota 8,7 ≈ 9).
• Sfat: după corectare, reluați împreună formulele de arie și volum ale corpului la care s-a greșit, verificând-o pe figură înainte de a repeta calculul.