Fișă de exersare: cercul și aplicații

Unitatea: Cercul · Clasa a VI-a · Matematică

Exerciții

Exercițiul 1. Elementele cercului (4 puncte)

În figură este reprezentat cercul cu centrul $O$. Punctele $A$, $B$, $C$, $D$ sunt pe cerc, $[AB]$ trece prin $O$, iar dreapta $g$ atinge cercul într-un singur punct $T$.

a) Precizați ce element al cercului este fiecare dintre: $[OC]$, $[AB]$ și $[CD]$. (3p) b) Cum se numește dreapta $g$ față de cerc? (1p)

Exercițiul 2. Rază, diametru și poziția unui punct (5 puncte)

Un cerc are diametrul de $18$ cm și centrul $O$.

a) Calculați lungimea razei. (1p) b) Pentru fiecare punct, stabiliți dacă se află în interiorul cercului, pe cerc sau în exteriorul lui, comparând distanța față de $O$ cu raza: $P$ cu $OP=7$ cm; $Q$ cu $OQ=9$ cm; $R$ cu $OR=12$ cm. (3p) c) Care este cea mai lungă coardă a acestui cerc și cât măsoară? (1p)

Exercițiul 3. Coardă și diametru (5 puncte)

În cercul $\mathcal{C}(O,r)$ se consideră o coardă $[MN]$ care nu trece prin centru.

a) Explicați de ce lungimea coardei $[MN]$ este mai mică decât lungimea diametrului. (3p) b) Câte diametre are un cerc? Justificați pe scurt. (2p)

Exercițiul 4. Unghiul la centru și măsura arcului (5 puncte)

În cercul cu centrul $O$, punctele $A$ și $B$ sunt pe cerc, iar unghiul la centru $\widehat{AOB}$ are măsura de $70^{\circ }$.

a) Care este măsura arcului mic $AB$ (cel subîntins de unghiul $\widehat{AOB}$)? (2p) b) Calculați măsura arcului mare $AB$ (cealaltă parte a cercului). (3p)

Exercițiul 5. Felinare pe o fântână circulară (6 puncte)

Marginea unei fântâni circulare are $5$ felinare așezate pe cerc, care împart cercul în $5$ arce egale.

a) Calculați măsura unghiului la centru corespunzător unui arc dintre două felinare alăturate. (2p) b) Care este măsura arcului dintre două felinare alăturate? (2p) c) Care este măsura arcului dintre un felinar și al doilea felinar de la el (sărind peste unul)? (2p)

Exercițiul 6. Cadranul unui ceas (6 puncte)

Cadranul unui ceas are $12$ diviziuni egale (orele), așezate pe un cerc cu centrul $O$.

a) Calculați măsura unghiului la centru dintre două diviziuni alăturate (de exemplu, între ora 12 și ora 1). (2p) b) La ora $4:00$, ce măsură are unghiul la centru format de cele două ace? (2p) c) Ce măsură are arcul de cerc cuprins între diviziunile orelor $12$ și $3$? (2p)

Exercițiul 7. Arce și coarde congruente (5 puncte)

În cercul $\mathcal{C}(O,r)$, coardele $[AB]$ și $[CD]$ sunt congruente, iar unghiul la centru $\widehat{AOB}$ are măsura de $65^{\circ }$.

a) Ce relație există între unghiurile la centru $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$? Justificați. (3p) b) Deduceți măsura arcului mic $CD$. (2p)

Exercițiul 8. Sectoare proporționale (6 puncte)

Un disc cu centrul $O$ este împărțit de razele $[OA]$, $[OB]$, $[OC]$, $[OD]$ în patru arce ale căror măsuri sunt direct proporționale cu numerele $1$, $2$, $3$ și $4$.

a) Calculați măsura fiecăruia dintre cele patru arce. (4p) b) Verificați că suma măsurilor celor patru arce este $360^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 9. Poziția unei drepte față de cerc (6 puncte)

Se dă cercul $\mathcal{C}(O,r)$ cu raza $r=5$ cm. Pentru fiecare dreaptă de mai jos se cunoaște distanța de la centrul $O$ până la dreaptă. Stabiliți poziția dreptei față de cerc (exterioară, tangentă sau secantă) și precizați numărul de puncte comune, comparând distanța cu raza.

a) Dreapta $g$, cu $d(O,g)=8$ cm. (2p) b) Dreapta $h$, cu $d(O,h)=5$ cm. (2p) c) Dreapta $k$, cu $d(O,k)=3$ cm. (2p)

Exercițiul 10. Drum tangent la un sens giratoriu (5 puncte)

Un sens giratoriu are forma unui cerc cu centrul $O$ și raza de $12$ m. Un drum drept este tangent la marginea sensului giratoriu, atingând-o în punctul $T$.

a) Câte puncte comune are drumul cu marginea sensului giratoriu? (1p) b) Cât este distanța de la centrul $O$ până la drum? Justificați. (2p) c) Ce măsură are unghiul format de raza $[OT]$ cu drumul, în punctul de contact $T$? (2p)

Exercițiul 11. Poziția a două cercuri (6 puncte)

Se consideră două cercuri, ${\mathcal{C}}_1$ de rază $R=7$ cm și ${\mathcal{C}}_2$ de rază $r=3$ cm, iar $d$ este distanța dintre centrele lor. Pentru fiecare situație, stabiliți poziția relativă a celor două cercuri și numărul de puncte comune.

a) $d=12$ cm. (1,5p) b) $d=10$ cm. (1,5p) c) $d=6$ cm. (1,5p) d) $d=4$ cm. (1,5p)

Exercițiul 12. Două roți dințate (6 puncte)

Două roți dințate circulare au razele de $6$ cm și $4$ cm.

a) Roțile sunt așezate astfel încât să fie tangente exterior (se ating în afară). Calculați distanța dintre centre. (3p) b) Aceleași două cercuri sunt acum tangente interior (cel mic în interiorul celui mare, atingându-se). Calculați distanța dintre centre. (3p)

Exercițiul 13. Adevărat sau fals, cu motivare (6 puncte)

Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justificați pe scurt.

a) Diametrul este cea mai lungă coardă a unui cerc. (1,5p) b) Orice coardă a unui cerc trece prin centrul cercului. (1,5p) c) O dreaptă tangentă la un cerc are exact un punct comun cu cercul. (1,5p) d) Două cercuri distincte pot avea cel mult două puncte comune. (1,5p)

Exercițiul 14. Arce proporționale pe un sens giratoriu (6 puncte)

Pe un sens giratoriu circular cu centrul $O$ sunt amplasate trei ieșiri, în punctele $A$, $B$ și $C$ de pe cerc. Arcele $AB$, $BC$ și $CA$ (parcurse în același sens) au măsurile direct proporționale cu numerele $3$, $4$ și $5$.

a) Calculați măsura fiecărui arc. (4p) b) Calculați măsura unghiului la centru $\widehat{AOB}$. (2p)

Exercițiul 15. Diametru și semicerc (4 puncte)

În cercul cu centrul $O$, coarda $[AB]$ este un diametru, iar $C$ este un punct de pe cerc. Arcul $AC$ (de o parte a diametrului) are măsura de $110^{\circ }$.

a) Ce măsură are arcul $AB$ care conține punctul $C$ (semicercul)? (2p) b) Calculați măsura arcului $CB$. (2p)

Exercițiul 16. Problemă aplicată — pistă circulară și inele de marcaj (9 puncte)

O pistă de atletism are forma unui cerc cu centrul $O$ și raza de $30$ m. Pe pistă sunt marcate $8$ puncte de start egal depărtate, care împart cercul în $8$ arce egale. În jurul pistei se montează și un cerc de gard, concentric cu pista (același centru $O$).

a) Calculați măsura unghiului la centru corespunzător unui arc dintre două puncte de start alăturate. (2p) b) Ce măsură are arcul de pistă cuprins între un punct de start și al patrulea punct de la el, în același sens? (2p) c) Cercul-gard are raza de $33$ m. Stabiliți poziția relativă a celor două cercuri (pista și gardul), știind că au același centru, și precizați numărul de puncte comune. (2p) d) O alee dreaptă trece la $25$ m de centrul $O$. Stabiliți poziția aleii față de cercul-pistă (raza $30$ m) și justificați comparând distanța cu raza. (3p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100 p = 10 p din oficiu + 90 p pe itemi.

Exercițiul 1 (4p)

a) $[OC]$ este o rază (unește centrul cu un punct de pe cerc); $[AB]$ este un diametru (coardă care trece prin centru); $[CD]$ este o coardă (unește două puncte de pe cerc, fără a trece prin $O$). (3p — câte 1p) b) Dreapta $g$ este tangentă la cerc (are un singur punct comun, $T$). (1p)

Exercițiul 2 (5p)

a) Raza $=18:2=9$ cm. (1p) b) $OP=7<9$ → $P$ în interior; $OQ=9=9$ → $Q$ pe cerc; $OR=12>9$ → $R$ în exterior. (3p — câte 1p) c) Cea mai lungă coardă este diametrul, de $18$ cm. (1p)

Exercițiul 3 (5p)

a) Diametrul este cea mai lungă coardă a unui cerc. Coarda $[MN]$ nu trece prin centru, deci nu este diametru; prin urmare lungimea ei este strict mai mică decât diametrul. (3p) b) Un cerc are o infinitate de diametre: prin centru se pot duce oricâte drepte, fiecare determinând câte un diametru. (2p)

Exercițiul 4 (5p)

a) Măsura arcului mic $AB$ este egală cu măsura unghiului la centru: $70^{\circ }$. (2p) b) Arcul mare $AB=360^{\circ }-70^{\circ }=290^{\circ }$. (3p)

Exercițiul 5 (6p)

a) Cele $5$ arce sunt egale, deci fiecare unghi la centru $=360^{\circ }:5=72^{\circ }$. (2p) b) Arcul dintre două felinare alăturate are aceeași măsură ca unghiul la centru: $72^{\circ }$. (2p) c) Arcul peste două intervale $=2\times 72^{\circ }=144^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 6 (6p)

a) Cadranul are $12$ diviziuni egale: $360^{\circ }:12=30^{\circ }$ între două ore alăturate. (2p) b) La ora $4:00$, acele sunt despărțite de $4$ diviziuni: $4\times 30^{\circ }=120^{\circ }$. (2p) c) Între orele $12$ și $3$ sunt $3$ diviziuni: arcul $=3\times 30^{\circ }=90^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 7 (5p)

a) În același cerc, la coarde congruente le corespund unghiuri la centru congruente; deci $\widehat{AOB}\equiv \widehat{COD}$, adică au aceeași măsură. (3p) b) $m(\widehat{COD})=65^{\circ }$, iar măsura arcului mic $CD$ este egală cu măsura unghiului la centru: $65^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 8 (6p)

a) Fie măsurile $1x$, $2x$, $3x$, $4x$. Suma este $360^{\circ }$: $10x=360^{\circ }\Rightarrow x=36^{\circ }$. Arcele: $36^{\circ }$, $72^{\circ }$, $108^{\circ }$, $144^{\circ }$. (4p) b) $36^{\circ }+72^{\circ }+108^{\circ }+144^{\circ }=360^{\circ }$. ✓ (2p)

Exercițiul 9 (6p) — se compară $d(O,g)$ cu $r=5$ cm:

a) $8>5$ → dreaptă exterioară, 0 puncte comune. (2p) b) $5=5$ → dreaptă tangentă, 1 punct comun. (2p) c) $3<5$ → dreaptă secantă, 2 puncte comune. (2p)

Exercițiul 10 (5p)

a) Un singur punct comun (drumul este tangent). (1p) b) Distanța de la centru la o dreaptă tangentă este egală cu raza: $d(O,\text{drum})=12$ m. (2p) c) Raza dusă în punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă, deci unghiul are $90^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 11 (6p) — cu $R=7$, $r=3$: $R+r=10$, $R-r=4$.

a) $d=12>10=R+r$ → cercuri exterioare, 0 puncte comune. (1,5p) b) $d=10=R+r$ → tangente exterior, 1 punct comun. (1,5p) c) $R-r=4<d=6<10=R+r$ → cercuri secante, 2 puncte comune. (1,5p) d) $d=4=R-r$ → tangente interior, 1 punct comun. (1,5p)

Exercițiul 12 (6p)

a) Tangente exterior: distanța dintre centre $=R+r=6+4=10$ cm. (3p) b) Tangente interior: distanța dintre centre $=R-r=6-4=2$ cm. (3p)

Exercițiul 13 (6p)

a) A. Diametrul, fiind coarda care trece prin centru, este cea mai lungă coardă a cercului. (1,5p) b) F. Doar diametrul trece prin centru; o coardă oarecare nu trece prin centru. (1,5p) c) A. Prin definiție, o tangentă are exact un punct comun cu cercul. (1,5p) d) A. Două cercuri distincte au cel mult două puncte comune (când sunt secante); dacă ar avea trei puncte comune, ar coincide. (1,5p)

Exercițiul 14 (6p)

a) Fie măsurile $3x$, $4x$, $5x$; suma arcelor unui cerc este $360^{\circ }$: $12x=360^{\circ }\Rightarrow x=30^{\circ }$. Arcele: $AB=90^{\circ }$, $BC=120^{\circ }$, $CA=150^{\circ }$. (4p) b) Unghiul la centru $\widehat{AOB}$ are aceeași măsură ca arcul $AB$: $90^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 15 (4p)

a) $[AB]$ fiind diametru, fiecare semicerc are $180^{\circ }$; arcul $AB$ care conține $C$ măsoară $180^{\circ }$. (2p) b) Arcul $CB=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 16 (9p)

a) $8$ arce egale: $360^{\circ }:8=45^{\circ }$. (2p) b) Peste $4$ intervale: $4\times 45^{\circ }=180^{\circ }$ (jumătate din pistă). (2p) c) Cele două cercuri au același centru și raze diferite ($30$ m și $33$ m) → cercuri concentrice, 0 puncte comune. (2p) d) Se compară distanța $25$ m cu raza $30$ m: $25<30$ → aleea este secantă față de cercul-pistă; o intersectează în 2 puncte. (3p)

Total: 90 p pe itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Pentru părinți

Această fișă consolidează capitolul despre cerc: definiția și elementele cercului (centru, rază, diametru, coardă, arc, disc, tangentă, secantă), unghiul la centru și legătura lui cu măsura arcului, relația dintre arce și coarde, precum și pozițiile unei drepte față de un cerc și ale a două cercuri.

• Punctaj total: 100 de puncte (10 puncte din oficiu + 90 de puncte pe itemi).
• Timp recomandat: 80–90 de minute, de lucru continuu.
• Materiale necesare: riglă gradată, compas și raportor (itemii de desen se rezolvă pe hârtie, cu instrumente).
• Cum se aplică: elevul lucrează singur, fără ajutor, ca la o evaluare. La final verificați împreună cu Baremul și răspunsurile. Punctaje orientative pe note: 45–59 p ≈ nota 6; 60–74 p ≈ nota 7–8; 75–89 p ≈ nota 9; 90–100 p ≈ nota 10.
• Sfat: la itemii cu „justificați", răspunsul fără explicație nu primește punctaj integral. Atenție la deosebirea dintre rază și diametru și la compararea corectă a distanței cu raza la problemele de poziție.

Notație folosită: un cerc cu centrul $O$ și raza $r$ se notează $\mathcal{C}(O,r)$. $[OA]$ este o rază, $[AB]$ o coardă, iar diametrul $=2r$. Măsura unui arc se exprimă în grade și este egală cu măsura unghiului la centru care îl subîntinde; cercul întreg are $360^{\circ }$, iar un semicerc are $180^{\circ }$. $d(O,g)$ înseamnă distanța de la centrul $O$ la dreapta $g$.