Fișă de exersare: congruență și demonstrații

Unitatea: Congruența triunghiurilor · Clasa a VI-a · Matematică

Această fișă conține 17 itemi noi, gradați ca dificultate, care acoperă elementele corespondente, cele patru criterii de congruență (LUL, ULU, LLL și criteriile triunghiurilor dreptunghice), metoda triunghiurilor congruente și aplicații practice. Itemii cer calcul, recunoașterea criteriului, justificare, adevărat/fals motivat și demonstrații complete.

Exerciții

Exercițiul 1 (4 puncte) — Elemente corespondente

Se știe că △ABC ≡ △MNP, cu AB = 6 cm, ∠A = 50° și ∠B = 60°.

a) Scrie corespondența vârfurilor. b) Determină lungimea laturii [MN] și precizează cărei laturi din △ABC îi corespund laturile [NP] și [MP]. c) Determină măsurile unghiurilor ∠M, ∠N și ∠P.

Exercițiul 2 (6 puncte) — Recunoaște criteriul

Pentru fiecare situație, scrie care criteriu de congruență (LUL, ULU sau LLL) garantează că triunghiurile sunt congruente. Justifică în câte un rând.

a) △ABC și △DEF cu: AB = DE, ∠A = ∠D, AC = DF. b) △ABC și △DEF cu: ∠B = ∠E, BC = EF, ∠C = ∠F. c) △ABC și △DEF cu: AB = DE, BC = EF, CA = FD.

Exercițiul 3 (5 puncte) — Aplicarea criteriului LLL

O grindă rigidă [CD] sprijină un cadru metalic ACBD: cele două bare laterale au AC = BD, iar cele două bare oblice au AD = BC. Latura [CD] este comună celor două triunghiuri △ACD și △BDC.

a) Demonstrează că △ACD ≡ △BDC. b) Deduce de aici că ∠ACD = ∠BDC.

Exercițiul 4 (5 puncte) — Aplicarea criteriului LUL

Punctele O, A, B, C, D sunt așezate astfel încât O este mijlocul segmentelor [AC] și [BD] (adică OA = OC și OB = OD).

a) Precizează ce fel de unghiuri sunt ∠AOB și ∠COD și ce relație există între ele. b) Demonstrează, folosind criteriul LUL, că △AOB ≡ △COD.

Exercițiul 5 (5 puncte) — Triunghiuri dreptunghice

△ABC este dreptunghic în A, iar △MNP este dreptunghic în M. Se știe că ipotenuzele sunt egale, BC = NP, și că ∠B = ∠N.

a) Care criteriu de congruență al triunghiurilor dreptunghice se aplică? b) Scrie congruența celor două triunghiuri respectând corespondența vârfurilor.

Exercițiul 6 (6 puncte) — Adevărat sau fals, cu motivare

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează printr-un argument sau un contraexemplu.

a) Două triunghiuri care au cele trei unghiuri respectiv congruente sunt obligatoriu congruente. b) Dacă două triunghiuri au două laturi și un unghi respectiv congruente, atunci sunt congruente. c) În criteriul LUL, unghiul trebuie să fie cuprins între cele două laturi date. d) Două triunghiuri dreptunghice cu ipotenuzele congruente și câte o catetă congruentă sunt congruente.

Exercițiul 7 (6 puncte) — Mediana în triunghiul isoscel

Triunghiul ABC este isoscel cu AB = AC. Fie M mijlocul laturii [BC].

a) Demonstrează că △ABM ≡ △ACM. b) Deduce că AM este bisectoarea unghiului ∠BAC. c) Demonstrează că AM ⊥ BC.

Exercițiul 8 (6 puncte) — Laturi paralele și egale

În patrulaterul ABCD, laturile [AB] și [CD] sunt paralele și egale: AB ∥ CD și AB = CD. Se trasează diagonala [AC].

a) Justifică de ce ∠BAC = ∠DCA. b) Demonstrează că △ABC ≡ △CDA. c) Deduce că BC = AD.

Exercițiul 9 (5 puncte) — Proprietatea bisectoarei

Semidreapta [OT este bisectoarea unghiului ∠AOB. Pe ea se ia un punct P, din care se duc perpendicularele [PM] ⊥ OA și [PN] ⊥ OB.

a) Demonstrează că △OMP ≡ △ONP. b) Deduce că PM = PN (orice punct de pe bisectoare este egal depărtat de laturile unghiului).

Exercițiul 10 (6 puncte) — Problemă aplicată: lățimea unui iaz

Un topograf vrea să afle distanța AB dintre două puncte aflate pe malurile opuse ale unui iaz, fără a-l traversa. El alege un punct O pe teren, măsoară segmentul [AO] și îl prelungește cu [OC] = [AO], apoi măsoară [BO] și îl prelungește cu [OD] = [BO]. Măsoară în final CD = 42 m.

a) Demonstrează că △AOB ≡ △COD. b) Cât este distanța AB peste iaz? Justifică pe baza congruenței.

Exercițiul 11 (5 puncte) — Congruență și calcul algebric

Se știe că △ABC ≡ △DEF. Lungimile laturilor (în cm) sunt date în funcție de necunoscutele x și y prin: AB = 2x + 1, DE = 11, BC = 3y − 2, EF = y + 6.

a) Determină valoarea lui x. b) Determină valoarea lui y și apoi lungimea laturii [BC].

Exercițiul 12 (5 puncte) — Mediatoarea unui segment

Punctul P se află pe mediatoarea segmentului [AB]; fie M mijlocul lui [AB], deci PM ⊥ AB și AM = MB.

a) Demonstrează că △PMA ≡ △PMB. b) Deduce că PA = PB.

Exercițiul 13 (5 puncte) — Problemă aplicată: antenă cu cabluri

O antenă verticală [VO] este fixată în solul orizontal în punctul O (deci VO ⊥ sol). Din vârful V pleacă două cabluri de ancorare, [VA] și [VB], prinse de sol în punctele A și B, cu VA = VB.

a) Arată că △VOA și △VOB sunt dreptunghice și precizează care criteriu al triunghiurilor dreptunghice se poate folosi. b) Demonstrează că OA = OB (piciorul antenei este egal depărtat de cele două ancore).

Exercițiul 14 (6 puncte) — Demonstrație în doi pași

Triunghiul ABC este isoscel cu AB = AC. Pe laturile [AB] și [AC] se iau punctele D și, respectiv, E, astfel încât AD = AE.

a) Demonstrează că BD = CE. b) Demonstrează că △BDC ≡ △CEB și deduce că DC = EB.

Exercițiul 15 (6 puncte) — Problemă de sinteză

Segmentele [AB] și [CD] se intersectează în punctul O, care este în același timp mijlocul fiecăruia (OA = OB și OC = OD).

a) Demonstrează că △AOC ≡ △BOD. b) Deduce că AC = BD. c) Arată că AC ∥ BD.

Exercițiul 16 (5 puncte) — Aplicarea criteriului ULU

Doi proiectanți desenează două piese triunghiulare de metal, △ABC și △MNP. Ei controlează doar: o latură și cele două unghiuri alăturate ei. Au măsurat BC = NP = 9 cm, ∠B = ∠N = 70° și ∠C = ∠P = 45°.

a) Demonstrează că △ABC ≡ △MNP și numește criteriul folosit. b) Fără a măsura, cât este ∠A și cât este ∠M? Justifică.

Exercițiul 17 (4 puncte) — Completează

Completează spațiile libere cu termenul corect.

a) Două triunghiuri sunt congruente dacă au …………… egale. b) Criteriul care folosește două laturi și unghiul cuprins între ele se numește …………… . c) În metoda triunghiurilor congruente, pentru a demonstra că două segmente sunt egale, le includem în două …………… pe care le arătăm congruente. d) Criteriul ULU folosește o latură și cele două …………… alăturate ei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 (4 p)

a) A↔M, B↔N, C↔P (1 p). b) MN = AB = 6 cm; latura [NP] corespunde laturii [BC], iar [MP] corespunde laturii [AC] (1,5 p). c) Unghiurile corespunzătoare sunt egale: ∠M = ∠A = 50°, ∠N = ∠B = 60°, iar ∠P = ∠C = 180° − 50° − 60° = 70° (1,5 p).

Exercițiul 2 (6 p) — câte 2 p pe subpunct

a) LUL — două laturi (AB, AC) și unghiul ∠A cuprins între ele. b) ULU — latura BC și cele două unghiuri ∠B, ∠C alăturate ei. c) LLL — cele trei laturi respectiv congruente.

Exercițiul 3 (5 p)

a) În △ACD și △BDC: AC = BD (ipoteză), AD = BC (ipoteză), CD = DC (latură comună). Cu criteriul LLL ⇒ △ACD ≡ △BDC (3 p). b) Din congruență, unghiurile corespunzătoare sunt egale, deci ∠ACD = ∠BDC (2 p).

Exercițiul 4 (5 p)

a) ∠AOB și ∠COD sunt unghiuri opuse la vârf, deci sunt congruente: ∠AOB = ∠COD (2 p). b) În △AOB și △COD: OA = OC, ∠AOB = ∠COD (unghiul cuprins), OB = OD. Cu criteriul LUL ⇒ △AOB ≡ △COD (3 p).

Exercițiul 5 (5 p)

a) Avem ipotenuze egale (BC = NP) și câte un unghi ascuțit egal (∠B = ∠N): se aplică criteriul IU (ipotenuză – unghi ascuțit) (3 p). b) Corespondența: unghiurile drepte A↔M, apoi B↔N (unghiurile egale date), deci C↔P. Rezultă △ABC ≡ △MNP (2 p).

Exercițiul 6 (6 p) — câte 1,5 p pe subpunct (0,5 răspuns + 1 motivare)

a) F. Triunghiuri cu aceleași unghiuri sunt doar asemenea, nu neapărat congruente. Contraexemplu: două triunghiuri echilaterale cu laturi de 2 cm și de 5 cm au toate unghiurile de 60°, dar nu sunt congruente. b) F. Nu este suficient: dacă unghiul nu este cuprins între cele două laturi (cazul LLU), congruența nu este garantată. (Doar LUL — cu unghiul cuprins — este criteriu.) c) A. Exact aceasta este condiția criteriului LUL: unghiul trebuie să fie cel format de cele două laturi date. d) A. Este criteriul IC (ipotenuză – catetă) al triunghiurilor dreptunghice.

Exercițiul 7 (6 p)

a) În △ABM și △ACM: AB = AC (ipoteză), BM = CM (M mijloc), AM = AM (comună). Cu LLL ⇒ △ABM ≡ △ACM (3 p). b) Din congruență, ∠BAM = ∠CAM, deci AM este bisectoarea ∠BAC (1,5 p). c) Tot din congruență, ∠AMB = ∠AMC. Dar ∠AMB + ∠AMC = 180° (unghiuri adiacente suplementare, B, M, C coliniare), deci fiecare are 90° ⇒ AM ⊥ BC (1,5 p).

Exercițiul 8 (6 p)

a) AC este secantă pentru paralelele AB ∥ CD, iar ∠BAC și ∠DCA sunt unghiuri alterne interne, deci ∠BAC = ∠DCA (2 p). b) În △ABC și △CDA: AB = CD (ipoteză), ∠BAC = ∠DCA (de la a), AC = CA (latură comună). Cu LUL ⇒ △ABC ≡ △CDA (3 p). c) Laturi corespondente ⇒ BC = DA (AD) (1 p).

Exercițiul 9 (5 p)

a) △OMP și △ONP sunt dreptunghice (∠M = ∠N = 90°). Au ipotenuza comună OP și ∠MOP = ∠NOP (OT bisectoare). Cu criteriul IU ⇒ △OMP ≡ △ONP (3 p). b) Laturi corespondente ⇒ PM = PN (2 p). (Acceptat și raționamentul ULU: ∠MOP = ∠NOP, OP comună, ∠OMP = ∠ONP = 90°.)

Exercițiul 10 (6 p)

a) În △AOB și △COD: AO = CO (construcție), ∠AOB = ∠COD (opuse la vârf), BO = DO (construcție). Cu LUL ⇒ △AOB ≡ △COD (4 p). b) Din congruență, laturile corespondente sunt egale: AB = CD, deci AB = 42 m (2 p).

Exercițiul 11 (5 p)

a) AB = DE ⇒ 2x + 1 = 11 ⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5 (2,5 p). b) BC = EF ⇒ 3y − 2 = y + 6 ⇒ 2y = 8 ⇒ y = 4; atunci BC = 3·4 − 2 = 10 cm (verificare: EF = 4 + 6 = 10 cm) (2,5 p).

Exercițiul 12 (5 p)

a) În △PMA și △PMB: PM = PM (comună), ∠PMA = ∠PMB = 90° (PM ⊥ AB), MA = MB (M mijloc). Cu LUL ⇒ △PMA ≡ △PMB (3 p). b) Laturi corespondente ⇒ PA = PB (2 p).

Exercițiul 13 (5 p)

a) Deoarece VO ⊥ sol, ∠VOA = ∠VOB = 90°, deci △VOA și △VOB sunt dreptunghice în O. Au ipotenuzele egale (VA = VB) și cateta comună VO ⇒ se aplică criteriul IC (ipotenuză – catetă) (3 p). b) Din △VOA ≡ △VOB, catetele corespondente sunt egale: OA = OB (2 p).

Exercițiul 14 (6 p)

a) D ∈ [AB] și E ∈ [AC], deci BD = AB − AD și CE = AC − AE. Cum AB = AC și AD = AE, rezultă BD = CE (2 p). b) În △BDC și △CEB: BD = CE (de la a); ∠DBC = ∠ECB, fiindcă sunt unghiurile de la bază ale triunghiului isoscel ABC (∠ABC = ∠ACB); BC = CB (latură comună). Cu LUL ⇒ △BDC ≡ △CEB, deci DC = EB (4 p).

Exercițiul 15 (6 p)

a) În △AOC și △BOD: OA = OB (ipoteză), ∠AOC = ∠BOD (opuse la vârf), OC = OD (ipoteză). Cu LUL ⇒ △AOC ≡ △BOD (3 p). b) Laturi corespondente ⇒ AC = BD (1,5 p). c) Din congruență, ∠OAC = ∠OBD. Acestea sunt unghiuri alterne interne formate de secanta AB cu dreptele AC și BD; fiind egale, rezultă AC ∥ BD (1,5 p).

Exercițiul 16 (5 p)

a) În △ABC și △MNP: ∠B = ∠N, BC = NP (latura alăturată ambelor unghiuri), ∠C = ∠P. Cu criteriul ULU ⇒ △ABC ≡ △MNP (3 p). b) ∠A = 180° − 70° − 45° = 65°; din congruență (sau din aceeași sumă a unghiurilor) ∠M = 65° (2 p).

Exercițiul 17 (4 p) — câte 1 p

a) … toate elementele (cele trei laturi și cele trei unghiuri) corespondente egale. b) … LUL (latură–unghi–latură). c) … triunghiuri (congruente). d) … unghiuri (alăturate laturii).

Total: 90 de puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Notă pentru profesor/părinte: La itemii de demonstrație (3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16) se punctează separat: enunțarea corectă a celor trei perechi de elemente egale, numirea explicită a criteriului și concluzia. Lipsa numelui criteriului sau a unei egalități din ipoteză se penalizează cu 1 punct chiar dacă rezultatul final este corect.

Pentru părinți

• Cum se aplică: Lăsați copilul să lucreze independent, pe foaie, cu rigla. La itemii de demonstrație cereți-i să scrie toate ipotezele folosite (egalități de laturi/unghiuri) și să precizeze explicit criteriul aplicat — aceasta este partea evaluată cel mai des greșit.
• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 80–90 de minute.
• Notare orientativă: 45–60 p = satisfăcător · 61–80 p = bine · 81–100 p = foarte bine.
• Sfat: O figură corectă, cu datele marcate (laturi egale cu liniuțe, unghiuri egale cu arcuri), valorează jumătate din rezolvare. Încurajați copilul să deseneze înainte de a scrie.

Notație folosită: „≡" = congruent, „△" = triunghi, „∠" = unghi, „⊥" = perpendicular, „∥" = paralel, „[AB]" = segmentul AB, „AB" = lungimea segmentului.