Fișă de exersare: divizibilitate și probleme

Disciplina: Matematică · Clasa a VI-a · Unitatea: Divizibilitatea numerelor naturale

Exerciții

Exercițiul 1. (5 puncte)

a) Scrie mulțimea tuturor divizorilor naturali ai numărului 36. b) Scrie toți multiplii nenuli ai numărului 7 mai mici decât 50.

Exercițiul 2. (5 puncte)

Se dau numerele: 234, 405, 1 230, 6 561, 990. Folosind criteriile de divizibilitate (fără a efectua împărțiri), completează: a) numerele divizibile cu 2; b) numerele divizibile cu 5; c) numerele divizibile cu 9.

Exercițiul 3. (4 puncte)

Descompune în produs de puteri de numere prime: a) 360; b) 84.

Exercițiul 4. (5 puncte)

Se dă numărul 540. a) Descompune-l în factori primi. b) Determină câți divizori naturali are numărul 540, folosind descompunerea.

Exercițiul 5. (5 puncte)

Se dau numerele $a = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ și $b = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}$ . Calculează c.m.m.d.c. $(a, b)$ și c.m.m.m.c. $(a, b)$ , lăsând rezultatele și sub formă de produs de puteri de numere prime, și ca numere.

Exercițiul 6. (4 puncte)

Arată, prin descompunere în factori primi, că numerele 24 și 35 sunt prime între ele.

Exercițiul 7. (5 puncte)

Despre două numere naturale $a$ și $b$ se știe că $a = 24$ , c.m.m.d.c. $(a, b) = 8$ și c.m.m.m.c. $(a, b) = 120$ . Folosind relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c., determină numărul $b$ .

Exercițiul 8. (5 puncte)

Aduce la fracție ireductibilă, justificând prin c.m.m.d.c.: a) $\frac{84}{126}$ ; b) $\frac{360}{420}$ .

Exercițiul 9. (6 puncte)

Stabilește valoarea de adevăr (A sau F) și justifică pe scurt fiecare afirmație: a) Dacă $a ∣ b$ și $a ∣ c$ , atunci $a ∣ (b + c)$ . b) Orice număr natural divizibil cu 9 este divizibil cu 3. c) Un număr divizibil cu 2 și cu 3 este obligatoriu divizibil cu 6. d) Numărul 1 este număr prim.

Exercițiul 10. (6 puncte)

O suprafață dreptunghiulară cu dimensiunile 240 cm și 180 cm trebuie pavată cu plăci pătrate identice, cât mai mari posibil, fără a tăia plăci. a) Care este lungimea laturii unei plăci? b) Câte plăci sunt necesare?

Exercițiul 11. (5 puncte)

În aceeași stație, două autobuze pleacă simultan la ora $8 : 00$ . Primul revine în stație din 12 în 12 minute, al doilea din 18 în 18 minute. După câte minute pleacă din nou împreună și la ce oră se întâmplă acest lucru?

Exercițiul 12. (6 puncte)

Un profesor are 48 de caiete și 60 de creioane și vrea să formeze pachete identice, folosind toate obiectele, astfel încât numărul pachetelor să fie cât mai mare. a) Câte pachete poate forma? b) Câte caiete și câte creioane sunt în fiecare pachet?

Exercițiul 13. (5 puncte)

Determină cel mai mic număr natural care, împărțit la 6, la 8 și la 9, dă de fiecare dată restul 1.

Exercițiul 14. (4 puncte)

Scrie toate numerele prime cuprinse strict între 30 și 50.

Exercițiul 15. (5 puncte)

Determină cel mai mic număr natural nenul care se divide și cu 36, și cu 48. Justifică prin descompunere în factori primi.

Exercițiul 16. (5 puncte)

Un număr natural are forma $n = 2^{a} \cdot 3^{2}$ și are exact 12 divizori naturali. Determină valoarea lui $a$ și apoi numărul $n$ .

Exercițiul 17. (5 puncte)

Demonstrează că suma a trei numere naturale consecutive este întotdeauna divizibilă cu 3.

Exercițiul 18. (5 puncte)

Într-o florărie sunt 90 de trandafiri roșii și 126 de trandafiri albi. Se formează buchete identice, fiecare cu aceeași compoziție, folosind toți trandafirii, astfel încât numărul buchetelor să fie maxim. a) Câte buchete se pot face? b) Câți trandafiri roșii și câți albi are fiecare buchet?

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100 p = 90 p (itemi) + 10 p din oficiu.

Exercițiul 1 · 5 puncte a) $D_{36} = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}$ — 3 p (–0,5 p pentru fiecare divizor lipsă/în plus). b) Multipli nenuli ai lui 7, mai mici decât 50: $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49$ — 2 p.

Exercițiul 2 · 5 puncte a) Divizibile cu 2 (cifra unităților pară): 234, 1 230, 990 — 1,5 p. b) Divizibile cu 5 (cifra unităților 0 sau 5): 405, 1 230, 990 — 1,5 p. c) Divizibile cu 9 (suma cifrelor multiplu de 9): $234 \to 9$ , $405 \to 9$ , $6561 \to 18$ , $990 \to 18$ ⇒ 234, 405, 6 561, 990 — 2 p. (1 230 are suma cifrelor 6, deci NU.)

Exercițiul 3 · 4 puncte a) $360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ — 2 p. b) $84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ — 2 p.

Exercițiul 4 · 5 puncte a) $540 = 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5$ — 2 p. b) Numărul divizorilor $= (2 + 1) (3 + 1) (1 + 1) = 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ divizori — 3 p.

Exercițiul 5 · 5 puncte c.m.m.d.c. $(a, b) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$ (factori comuni, la puterea cea mai mică) — 2,5 p. c.m.m.m.c. $(a, b) = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} = 8 \cdot 9 \cdot 25 = 1800$ (toți factorii, la puterea cea mai mare) — 2,5 p.

Exercițiul 6 · 4 puncte $24 = 2^{3} \cdot 3$ , $35 = 5 \cdot 7$ — 2 p. Nu au niciun factor prim comun ⇒ c.m.m.d.c. $(24, 35) = 1$ ⇒ numerele sunt prime între ele — 2 p.

Exercițiul 7 · 5 puncte Relația: c.m.m.d.c. $(a, b) \cdot$ c.m.m.m.c. $(a, b) = a \cdot b$ — 2 p. $8 \cdot 120 = 24 \cdot b \Rightarrow 960 = 24 \cdot b \Rightarrow b = 40$ — 3 p. (Verificare: c.m.m.d.c. $(24, 40) = 8$ , c.m.m.m.c. $(24, 40) = 120$ .)

Exercițiul 8 · 5 puncte a) c.m.m.d.c. $(84, 126) = 42$ ; $\frac{84}{126} = \frac{84 : 42}{126 : 42} = \frac{2}{3}$ — 2,5 p. b) c.m.m.d.c. $(360, 420) = 60$ ; $\frac{360}{420} = \frac{360 : 60}{420 : 60} = \frac{6}{7}$ — 2,5 p.

Exercițiul 9 · 6 puncte — câte 1,5 p pentru valoare de adevăr + justificare corectă. a) A — proprietatea: dacă $a$ divide două numere, divide și suma lor. b) A — $9 = 3 \cdot 3$ , deci orice multiplu al lui 9 este multiplu al lui 3. c) A — 2 și 3 sunt prime între ele, iar $2 \cdot 3 = 6$ , deci divizibilitatea cu 6. d) F — un număr prim are exact doi divizori (1 și el însuși); 1 are un singur divizor, deci nu este prim.

Exercițiul 10 · 6 puncte a) Latura plăcii $=$ c.m.m.d.c. $(240, 180)$ . $240 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5$ , $180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$ ⇒ c.m.m.d.c. $= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$ cm — 3 p. b) Număr de plăci $= (240 : 60) \cdot (180 : 60) = 4 \cdot 3 = 12$ plăci — 3 p.

Exercițiul 11 · 5 puncte Pleacă împreună după c.m.m.m.c. $(12, 18)$ . $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ ⇒ c.m.m.m.c. $= 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ minute — 3 p. $8 : 00 + 36 min = 8 : 36$ — 2 p.

Exercițiul 12 · 6 puncte a) Număr maxim de pachete $=$ c.m.m.d.c. $(48, 60)$ . $48 = 2^{4} \cdot 3$ , $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ ⇒ c.m.m.d.c. $= 2^{2} \cdot 3 = 12$ pachete — 3 p. b) Fiecare pachet: $48 : 12 = 4$ caiete și $60 : 12 = 5$ creioane — 3 p.

Exercițiul 13 · 5 puncte Numărul căutat este de forma (multiplu comun al lui 6, 8, 9) $+ 1$ . c.m.m.m.c. $(6, 8, 9)$ : $6 = 2 \cdot 3$ , $8 = 2^{3}$ , $9 = 3^{2}$ ⇒ c.m.m.m.c. $= 2^{3} \cdot 3^{2} = 72$ — 3 p. Cel mai mic număr: $72 + 1 = 73$ — 2 p. (Verificare: $73 = 6 \cdot 12 + 1 = 8 \cdot 9 + 1 = 9 \cdot 8 + 1$ .)

Exercițiul 14 · 4 puncte Numerele prime între 30 și 50: $31, 37, 41, 43, 47$ — 4 p (–1 p pentru fiecare greșeală; ex.: 39, 49 nu sunt prime).

Exercițiul 15 · 5 puncte Cel mai mic număr divizibil cu ambele $=$ c.m.m.m.c. $(36, 48)$ . $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ , $48 = 2^{4} \cdot 3$ — 2 p ⇒ c.m.m.m.c. $= 2^{4} \cdot 3^{2} = 16 \cdot 9 = 144$ — 3 p.

Exercițiul 16 · 5 puncte Numărul divizorilor: $(a + 1) (2 + 1) = 12$ — 2 p ⇒ $(a + 1) \cdot 3 = 12 \Rightarrow a + 1 = 4 \Rightarrow a = 3$ — 2 p. $n = 2^{3} \cdot 3^{2} = 8 \cdot 9 = 72$ — 1 p.

Exercițiul 17 · 5 puncte Fie numerele consecutive $n, n + 1, n + 2$ — 1 p. Suma: $n + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3 = 3 (n + 1)$ — 3 p. Cum $3 (n + 1)$ este multiplu de 3, suma este divizibilă cu 3, oricare ar fi $n$ — 1 p.

Exercițiul 18 · 5 puncte a) Număr maxim de buchete $=$ c.m.m.d.c. $(90, 126)$ . $90 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5$ , $126 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7$ ⇒ c.m.m.d.c. $= 2 \cdot 3^{2} = 18$ buchete — 3 p. b) Fiecare buchet: $90 : 18 = 5$ trandafiri roșii și $126 : 18 = 7$ trandafiri albi — 2 p.

Se acordă 10 puncte din oficiu. Total: 100 de puncte.

Pentru părinți

Această fișă consolidează întreaga unitate „Divizibilitatea numerelor naturale": relația de divizibilitate, criteriile de divizibilitate, numere prime, descompunerea în factori primi, numărul divizorilor, c.m.m.d.c., c.m.m.m.c., fracții ireductibile și probleme din viața cotidiană.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără calculator, scriind toate justificările. Comparați apoi rezolvarea cu secțiunea Barem și răspunsuri. Un punctaj de 70+ arată o stăpânire foarte bună a unității; sub 45 indică recapitularea criteriilor de divizibilitate și a algoritmilor pentru c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.