Fișă de exersare: ecuații, inecuații și probleme în ℤ

Exerciții

Se acordă 10 puncte din oficiu. Timp de lucru: 50 de minute.

Exercițiul 1 (4 puncte)

Se dă șirul de numere: −7, 4, 0, −12, 9, −3. a) Scrie aceste numere în ordine crescătoare. b) Care este cel mai mare și care este cel mai mic număr din șir?

Exercițiul 2 (4 puncte)

Calculează: a) |−15| + |8| b) |−3 · 4| c) opusul numărului (−6) + opusul numărului 11.

Exercițiul 3 (4 puncte)

Efectuează adunările și scăderile: a) −18 + 25 b) −7 − 13 c) 12 − (−9) d) −40 + 40

Exercițiul 4 (5 puncte)

Efectuează înmulțirile și împărțirile: a) (−6) · (−5) b) 8 · (−7) c) (−72) : 9 d) (−45) : (−5)

Exercițiul 5 (6 puncte)

Calculează, respectând ordinea efectuării operațiilor: a) −20 + 4 · (−3) b) 5 − 2 · (−6) + 1 c) (−2) · (7 − 10) + 15 : (−3)

Exercițiul 6 (4 puncte)

Calculează puterile și expresia: a) (−3)² b) (−2)³ c) −5² (atenție: baza este 5, nu −5) d) (−1)²⁰²⁶

Exercițiul 7 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică răspunsul printr-un calcul sau un contraexemplu: a) Pătratul oricărui număr întreg este un număr pozitiv sau zero. b) Dacă a < b, atunci −a < −b. c) |x| = 5 are exact două soluții în ℤ.

Exercițiul 8 (4 puncte)

Pe axa numerelor, punctul A are coordonata −4, iar punctul B are coordonata 6.

a) Câte unități sunt între A și B (distanța AB)? b) Ce coordonată are mijlocul segmentului AB?

Exercițiul 9 (6 puncte)

Rezolvă în ℤ ecuațiile: a) x + 9 = 2 b) x − 7 = −15 c) −4 + x = −4

Exercițiul 10 (6 puncte)

Rezolvă în ℤ ecuațiile: a) 5x = −35 b) −3x = 21 c) 2x + 7 = −9

Exercițiul 11 (6 puncte)

Rezolvă în ℤ ecuația și verifică soluția: 3x − 8 = x + 4

Exercițiul 12 (4 puncte)

Determină toate soluțiile întregi ale inecuației și scrie-le ca mulțime: a) x ≤ 2 și x > −3 b) −5 ≤ x < 1

Exercițiul 13 (6 puncte)

Rezolvă în ℤ inecuația și scrie cea mai mică soluție întreagă: 2x − 1 > 7

Exercițiul 14 (6 puncte)

Temperatura la o stație meteo a fost dimineața de −8 °C. Peste zi a crescut cu 11 grade, iar seara a scăzut cu 5 grade. a) Ce temperatură s-a înregistrat seara? b) Cu câte grade diferă temperatura de dimineață față de cea de seară?

Exercițiul 15 (6 puncte)

Un lift pleacă de la etajul −2 (al doilea subsol). Urcă 7 etaje, apoi coboară 3 etaje și în final urcă 4 etaje. a) La ce etaj ajunge liftul? b) Scrie operația cu numere întregi care modelează deplasarea.

Exercițiul 16 (5 puncte)

Soldul unui cont bancar la începutul lunii a fost de 150 lei. În cursul lunii s-au înregistrat: o cheltuială de 90 lei, o încasare de 60 lei și o cheltuială de 200 lei. a) Scrie soldul final ca sumă de numere întregi. b) Calculează soldul final. c) Câți lei ar mai trebui depuși pentru ca soldul să ajungă exact la 0?

Exercițiul 17 (4 puncte)

Suma a două numere întregi este −3. Unul dintre numere este 8. a) Scrie ecuația care determină celălalt număr. b) Află celălalt număr.

Exercițiul 18 (4 puncte)

Se consideră expresia E = (−4)² − 3 · (a + 2), unde a este număr întreg. a) Calculează valoarea lui E pentru a = −2. b) Determină valoarea lui a pentru care E = 16.

Barem și răspunsuri

Oficiu: 10 puncte. Total maxim: 100 de puncte.

Exercițiul 1 (4p)

a) −12, −7, −3, 0, 4, 9 (2p) b) Cel mai mare: 9; cel mai mic: −12. (2p) Explicație: pe axă, cu cât un număr este mai la stânga, cu atât este mai mic; numerele negative sunt mai mici decât 0.

Exercițiul 2 (4p)

a) |−15| + |8| = 15 + 8 = 23 (2p) b) |−3 · 4| = |−12| = 12 (1p) c) Opusul lui −6 este 6; opusul lui 11 este −11; 6 + (−11) = −5 (1p)

Exercițiul 3 (4p, câte 1p)

a) −18 + 25 = 7 b) −7 − 13 = −20 c) 12 − (−9) = 12 + 9 = 21 d) −40 + 40 = 0 (numere opuse)

Exercițiul 4 (5p, câte ~1,25p)

a) (−6) · (−5) = 30 (− · − = +) b) 8 · (−7) = −56 c) (−72) : 9 = −8 d) (−45) : (−5) = 9

Exercițiul 5 (6p, câte 2p)

a) −20 + 4 · (−3) = −20 + (−12) = −32 (întâi înmulțirea) b) 5 − 2 · (−6) + 1 = 5 − (−12) + 1 = 5 + 12 + 1 = 18 c) (−2) · (7 − 10) + 15 : (−3) = (−2) · (−3) + (−5) = 6 + (−5) = 1 (întâi paranteza, apoi · și :)

Exercițiul 6 (4p, câte 1p)

a) (−3)² = (−3) · (−3) = 9 b) (−2)³ = (−2) · (−2) · (−2) = −8 (exponent impar → rezultat negativ) c) −5² = −(5 · 5) = −25 (puterea se aplică doar bazei 5; semnul minus rămâne în față) d) (−1)²⁰²⁶ = 1 (exponent par → rezultat pozitiv)

Exercițiul 7 (6p, câte 2p: 1p A/F + 1p justificare)

a) A. Produsul a două numere de același semn este pozitiv, iar 0² = 0; deci a² ≥ 0 pentru orice a ∈ ℤ. b) F. Contraexemplu: a = 2, b = 5, deci 2 < 5, dar −2 > −5. (Inegalitatea se schimbă la luarea opusului.) c) A. |x| = 5 ⇒ x = 5 sau x = −5; exact două soluții întregi.

Exercițiul 8 (4p)

a) Distanța AB = |6 − (−4)| = |10| = 10 unități (2p) b) Mijlocul are coordonata (−4 + 6) : 2 = 2 : 2 = 1 (2p)

Exercițiul 9 (6p, câte 2p)

a) x + 9 = 2 ⇒ x = 2 − 9 ⇒ x = −7 b) x − 7 = −15 ⇒ x = −15 + 7 ⇒ x = −8 c) −4 + x = −4 ⇒ x = −4 + 4 ⇒ x = 0

Exercițiul 10 (6p, câte 2p)

a) 5x = −35 ⇒ x = −35 : 5 ⇒ x = −7 b) −3x = 21 ⇒ x = 21 : (−3) ⇒ x = −7 c) 2x + 7 = −9 ⇒ 2x = −16 ⇒ x = −8

Exercițiul 11 (6p)

3x − 8 = x + 4 3x − x = 4 + 8 (2p) 2x = 12 ⇒ x = 6 (2p) Verificare: 3·6 − 8 = 10 și 6 + 4 = 10; egalitate adevărată. (2p)

Exercițiul 12 (4p)

a) x ≤ 2 și x > −3 ⇒ x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} (2p) b) −5 ≤ x < 1 ⇒ x ∈ {−5, −4, −3, −2, −1, 0} (2p)

Exercițiul 13 (6p)

2x − 1 > 7 ⇒ 2x > 8 (2p) ⇒ x > 4 (2p) Soluții întregi: x ∈ {5, 6, 7, …}; cea mai mică soluție întreagă este 5. (2p)

Exercițiul 14 (6p)

a) −8 + 11 − 5 = 3 − 5 = −2 °C (4p) b) Diferența: |−8 − (−2)| = |−6| = 6 grade (2p)

Exercițiul 15 (6p)

b) −2 + 7 − 3 + 4 (3p) a) −2 + 7 − 3 + 4 = 6 ⇒ liftul ajunge la etajul 6 (3p)

Exercițiul 16 (5p)

a) 150 + (−90) + 60 + (−200) (2p) b) 150 − 90 + 60 − 200 = 210 − 290 = −80 lei (2p) (cont pe minus, descoperire de 80 lei) c) Pentru sold 0 trebuie depuși 80 lei (opusul lui −80). (1p)

Exercițiul 17 (4p)

a) 8 + x = −3 (2p) b) x = −3 − 8 = −11 (2p)

Exercițiul 18 (4p)

a) Pentru a = −2: E = (−4)² − 3·(−2 + 2) = 16 − 3·0 = 16 (2p) b) E = 16 ⇒ 16 − 3·(a + 2) = 16 ⇒ 3·(a + 2) = 0 ⇒ a + 2 = 0 ⇒ a = −2 (2p)

Barem sintetic: Of. 10 + I1 4 + I2 4 + I3 4 + I4 5 + I5 6 + I6 4 + I7 6 + I8 4 + I9 6 + I10 6 + I11 6 + I12 4 + I13 6 + I14 6 + I15 6 + I16 5 + I17 4 + I18 4 = 100 de puncte.

Pentru părinți

Această fișă acoperă întreaga unitate „Mulțimea numerelor întregi ℤ" din programa de clasa a VI-a: reprezentarea pe axă, opusul și modulul, compararea și ordonarea, cele patru operații, puterea cu exponent natural, ordinea efectuării operațiilor, ecuațiile, inecuațiile și problemele aplicate.

• Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără calculator. Toate calculele se fac scris, cu etape vizibile (mai ales la ecuații).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Punctaj total: 100 de puncte (din care 10 puncte din oficiu). Notă orientativă = punctaj ÷ 10.
• Cum verificați: folosiți secțiunea Barem și răspunsuri. La itemii cu justificare, contează raționamentul corect, nu doar rezultatul final.

Grilă orientativă de notare: