Fișă de exersare: operații cu mulțimi și probleme

Exerciții

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră mulțimile $A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5} .$

Determină, enumerând elementele:

a) $A \cup B$ ; (2p)
b) $A \cap B$ ; (2p)
c) $A ∖ B$ . (2p)

Exercițiul 2 (6 puncte)

Fie mulțimea $M = {x ∣ x \in N, 3 \leq x < 9}$ .

a) Scrie mulțimea $M$ prin enumerarea elementelor. (3p)
b) Determină cardinalul $∣ M ∣$ . (3p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică răspunsul:

a) Mulțimea numerelor naturale pare este o mulțime infinită. (2p)
b) ${1, 2, 3} = {3, 2, 1, 1}$ . (2p)
c) Dacă $A \subseteq B$ , atunci $A \cap B = B$ . (2p)

Exercițiul 4 (6 puncte)

O bibliotecă școlară împarte cărțile pe rafturi numerotate. Pe raftul roșu sunt cărțile cu numere de inventar din mulțimea $R = {10, 11, 12, 13, 14, 15},$ iar pe raftul albastru cele din mulțimea $V = {12, 14, 16, 18} .$

a) Câte cărți se află, în total, pe cele două rafturi (fără să numeri de două ori o carte care apare în ambele liste)? (3p)
b) Determină $R ∖ V$ și explică ce reprezintă, în context, această mulțime. (3p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se dau mulțimile $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ și $B = {4, 5, 6, 7, 8}$ .

Verifică, prin calcul, egalitatea $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣.$

Scrie fiecare termen și concluzia. (6p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Într-un grup, mulțimea elevilor care joacă fotbal este $F$ , iar mulțimea celor care joacă baschet este $G$ .

Folosind diagrama, determină:

a) câți elevi joacă doar fotbal; (2p)
b) câți elevi joacă cel puțin unul dintre cele două sporturi; (2p)
c) câți elevi sunt în grup, în total. (2p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

Fie $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ , $B = {2, 4, 6, 8}$ și $C = {0, 3, 6}$ .

Calculează:

a) $A ∖ (B \cup C)$ ; (3p)
b) $(A ∖ B) \cap C$ . (3p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

Pe o tablă sunt scrise numerele naturale de la $1$ la $30$ .

Fie $D_{3}$ mulțimea numerelor divizibile cu 3 și $D_{5}$ mulțimea numerelor divizibile cu 5 dintre acestea.

a) Determină $∣ D_{3} ∣$ și $∣ D_{5} ∣$ . (3p)
b) Determină $D_{3} \cap D_{5}$ și cardinalul ei. (2p)
c) Câte numere, de la $1$ la $30$ , sunt divizibile cu $3$ sau cu $5$ ? (2p)

Exercițiul 9 (7 puncte)

Într-o clasă de $28$ de elevi:

$16$ studiază limba engleză;
$13$ studiază limba franceză;
$4$ elevi nu studiază niciuna dintre cele două limbi.
a) Câți elevi studiază cel puțin o limbă? (2p)
b) Câți elevi studiază ambele limbi? (3p)
c) Câți elevi studiază doar engleza? (2p)

Exercițiul 10 (7 puncte)

Se consideră mulțimile $A$ și $B$ astfel încât: $∣ A ∣ = 15, ∣ B ∣ = 12, ∣ A \cap B ∣ = 5.$

a) Calculează $∣ A \cup B ∣$ . (2p)
b) Calculează $∣ A ∖ B ∣$ și $∣ B ∖ A ∣$ . (3p)
c) Arată că $∣ A ∖ B ∣ + ∣ A \cap B ∣ = ∣ A ∣$ . (2p)

Exercițiul 11 (7 puncte)

Determină mulțimile $A$ și $B$ știind că:

$A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ ;
$A \cap B = {3, 4}$ ;
$A ∖ B = {1, 2}$ .

Scrie elementele lui $A$ și ale lui $B$ și justifică pe scurt. (7p)

Exercițiul 12 (7 puncte)

Un magazin online a primit $50$ de comenzi într-o zi.

$30$ de comenzi conțineau cărți;
$32$ de comenzi conțineau rechizite;
$12$ comenzi conțineau și cărți, și rechizite.

Fiecare comandă conține cel puțin unul dintre cele două tipuri de produse.

a) Câte comenzi conțineau doar cărți? (2p)
b) Câte comenzi conțineau doar rechizite? (2p)
c) Verifică prin calcul că suma celor trei categorii (doar cărți, doar rechizite, ambele) este egală cu $50$ . (3p)

Exercițiul 13 (5 puncte)

Pe o dreaptă $d$ se consideră punctele $A, B, C, D$ , în această ordine.

Considerăm segmentele ca mulțimi de puncte. Stabilește, justificând geometric:

a) $[A C] \cap [B D]$ — ce segment reprezintă? (2p)
b) $[A C] \cup [B D]$ — ce segment reprezintă? (2p)
c) $[A D] ∖ [B C]$ — descrie mulțimea de puncte obținută. (1p)

Exercițiul 14 (6 puncte)

Într-o tabără de vară, $40$ de copii au fost întrebați ce activități au ales:

$22$ au ales înot;
$18$ au ales drumeție;
$20$ au ales atelier de pictură;
$8$ au ales înot și drumeție;
$9$ au ales înot și pictură;
$7$ au ales drumeție și pictură;
$3$ au ales toate trei activitățile.
a) Câți copii au ales cel puțin o activitate? (2p)
b) Câți copii nu au ales nicio activitate? (2p)
c) Câți copii au ales exact o singură activitate? (2p)

Exercițiul 15 (6 puncte)

Se dau mulțimile $A = {x ∣ x \in N, x este num \overset{a}{˘} r prim, x < 20},$ $B = {x ∣ x \in N, x este impar, x < 20} .$

a) Scrie mulțimile $A$ și $B$ prin enumerarea elementelor. (2p)
b) Determină $A \cap B$ și $A ∖ B$ . (2p)
c) Este adevărat că $A \subseteq B$ ? Justifică. (2p)

Exercițiul 16 (6 puncte)

Într-un sondaj, $100$ de persoane au fost întrebate ce mijloc de transport folosesc spre serviciu. Se știe că:

$58$ folosesc autobuzul;
$45$ folosesc mașina personală;
$13$ persoane nu folosesc niciunul dintre cele două mijloace.

Notăm cu $x$ numărul persoanelor care folosesc ambele mijloace.

a) Câte persoane folosesc cel puțin unul dintre cele două mijloace? (2p)
b) Scrie o ecuație în $x$ , folosind formula $∣ A \cup M ∣ = ∣ A ∣ + ∣ M ∣ - ∣ A \cap M ∣$ , și determină $x$ . (2p)
c) Câte persoane folosesc doar autobuzul? (2p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100p, distribuite pe cei 16 itemi. Pentru rezultate corecte fără justificare se acordă doar punctajul parțial precizat.

Exercițiul 1 (6p)

a) $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}$ — (2p)
b) $A \cap B = {2, 4}$ — (2p)
c) $A ∖ B = {6, 8, 10}$ — (2p)

Explicație: reuniunea adună toate elementele (o singură dată), intersecția păstrează elementele comune, iar diferența $A ∖ B$ păstrează elementele din $A$ care nu sunt în $B$ .

Exercițiul 2 (6p)

a) $M = {3, 4, 5, 6, 7, 8}$ — (3p) (condiția $3 \leq x < 9$ include 3 și exclude 9)
b) $∣ M ∣ = 6$ — (3p)

Exercițiul 3 (6p)

a) A — mulțimea ${0, 2, 4, 6, \dots}$ nu are un ultim element, deci este infinită. (2p: 1p răspuns + 1p justificare)
b) A — într-o mulțime un element se numără o singură dată și ordinea nu contează; ambele mulțimi au exact elementele $1, 2, 3$ . (2p)
c) F — dacă $A \subseteq B$ , atunci $A \cap B = A$ (nu $B$ ). Contraexemplu: $A = {1} \subseteq B = {1, 2}$ , dar $A \cap B = {1} \neq = B$ . (2p)

Exercițiul 4 (6p)

a) $R \cup V = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18}$ , deci $∣ R \cup V ∣ = 8$ cărți. (3p) (12 și 14 apar o singură dată)
b) $R ∖ V = {10, 11, 13, 15}$ — reprezintă cărțile aflate doar pe raftul roșu (nu și pe cel albastru). (3p: 2p mulțime + 1p interpretare)

Exercițiul 5 (6p)

$A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} \Rightarrow ∣ A \cup B ∣ = 8$
$∣ A ∣ = 6$ , $∣ B ∣ = 5$ , $A \cap B = {4, 5, 6} \Rightarrow ∣ A \cap B ∣ = 3$
$∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣ = 6 + 5 - 3 = 8 = ∣ A \cup B ∣$ . Egalitatea se verifică. (6p: câte 1–2p pe fiecare cardinal corect și concluzie)

Exercițiul 6 (6p)

a) Doar fotbal: $9$ elevi. (2p)
b) Cel puțin un sport: $9 + 4 + 7 = 20$ elevi. (2p)
c) Total în grup: $20 + 5 = 25$ elevi (se adaugă cei $5$ din afara cercurilor). (2p)

Exercițiul 7 (6p)

a) $B \cup C = {0, 2, 3, 4, 6, 8}$ , deci $A ∖ (B \cup C) = {1, 5, 7}$ . (3p)
b) $A ∖ B = {0, 1, 3, 5, 7}$ ; $(A ∖ B) \cap C = {0, 3}$ . (3p)

Exercițiul 8 (7p)

a) $D_{3} = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} \Rightarrow ∣ D_{3} ∣ = 10$ ; $D_{5} = {5, 10, 15, 20, 25, 30} \Rightarrow ∣ D_{5} ∣ = 6$ . (3p)
b) $D_{3} \cap D_{5} = {15, 30}$ (multiplii lui $15$ ), $∣ D_{3} \cap D_{5} ∣ = 2$ . (2p)
c) Divizibile cu 3 sau 5: $∣ D_{3} \cup D_{5} ∣ = 10 + 6 - 2 = 14$ numere. (2p)

Exercițiul 9 (7p)

a) Cel puțin o limbă: $28 - 4 = 24$ elevi. (2p)
b) Ambele limbi: $∣ E \cap F ∣ = ∣ E ∣ + ∣ F ∣ - ∣ E \cup F ∣ = 16 + 13 - 24 = 5$ elevi. (3p)
c) Doar engleza: $16 - 5 = 11$ elevi. (2p)

Exercițiul 10 (7p)

a) $∣ A \cup B ∣ = 15 + 12 - 5 = 22$ . (2p)
b) $∣ A ∖ B ∣ = ∣ A ∣ - ∣ A \cap B ∣ = 15 - 5 = 10$ ; $∣ B ∖ A ∣ = 12 - 5 = 7$ . (3p)
c) $∣ A ∖ B ∣ + ∣ A \cap B ∣ = 10 + 5 = 15 = ∣ A ∣$ . Adevărat. (2p) (elementele lui $A$ se împart în „doar A" și „comune")

Exercițiul 11 (7p)

Din $A ∖ B = {1, 2}$ și $A \cap B = {3, 4}$ rezultă $A = {1, 2} \cup {3, 4} = {1, 2, 3, 4}$ . Elementele rămase din reuniune, ${5, 6, 7}$ , nu sunt în $A$ (altfel ar fi în $A ∖ B$ sau $A \cap B$ ), deci aparțin lui $B$ . Cu cele comune: $B = {3, 4, 5, 6, 7}$ .

$A = {1, 2, 3, 4}$ — (3p)
$B = {3, 4, 5, 6, 7}$ — (3p)
Verificare $A \cup B = {1, \dots, 7}$ , $A \cap B = {3, 4}$ — (1p)

Exercițiul 12 (7p)

a) Doar cărți: $30 - 12 = 18$ comenzi. (2p)
b) Doar rechizite: $32 - 12 = 20$ comenzi. (2p)
c) $18 + 20 + 12 = 50$ . ✓ Suma celor trei categorii disjuncte (doar cărți, doar rechizite, ambele) este egală cu numărul total de comenzi, deoarece fiecare comandă aparține exact uneia dintre ele. (3p)

Echivalent: $∣ C \cup R ∣ = 30 + 32 - 12 = 50$ .

Exercițiul 13 (5p)

Ordinea pe dreaptă este $A, B, C, D$ .

a) $[A C] \cap [B D] = [B C]$ — partea comună a celor două segmente este între $B$ și $C$ . (2p)
b) $[A C] \cup [B D] = [A D]$ — împreună acoperă tot de la $A$ la $D$ (se suprapun pe $[B C]$ ). (2p)
c) $[A D] ∖ [B C]$ = mulțimea punctelor din $[A D]$ care nu sunt interioare lui $[B C]$ , adică punctele segmentului $[A B)$ împreună cu $(C D]$ . Acceptăm descrierea: „segmentul $[A B]$ reunit cu segmentul $[C D]$ , fără punctele $B$ și $C$ care aparțin lui $[B C]$ " → $[A B) \cup (C D]$ . (1p; se acceptă și formularea $[A B] \cup [C D]$ minus ${B, C}$ )

Exercițiul 14 (6p)

Notăm Î = înot, D = drumeție, P = pictură. Completăm din interior spre exterior:

toate trei: $3$ ;
doar Î∩D (fără P): $8 - 3 = 5$ ; doar Î∩P: $9 - 3 = 6$ ; doar D∩P: $7 - 3 = 4$ ;
doar Î: $22 - (5 + 6 + 3) = 8$ ; doar D: $18 - (5 + 4 + 3) = 6$ ; doar P: $20 - (6 + 4 + 3) = 7$ .
a) Cel puțin o activitate (formula includerii-excluderii): $∣ \hat{I} \cup D \cup P ∣ = 22 + 18 + 20 - 8 - 9 - 7 + 3 = 39.$ (2p)
b) Nicio activitate: $40 - 39 = 1$ copil. (2p)
c) Exact o singură activitate: $8 + 6 + 7 = 21$ copii. (2p)

Exercițiul 15 (6p)

a) $A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}$ ; $B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}$ . (2p)
b) $A \cap B = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}$ (numerele prime impare $< 20$ ); $A ∖ B = {2}$ (singurul prim par). (2p)
c) Nu, $A \neq \subseteq B$ , deoarece $2 \in A$ dar $2 \in / B$ ( $2$ nu este impar). (2p)

Exercițiul 16 (6p)

Notăm cu $A$ mulțimea celor care folosesc autobuzul și cu $M$ mulțimea celor care folosesc mașina; $x = ∣ A \cap M ∣$ .

a) Cei care folosesc cel puțin un mijloc: $100 - 13 = 87$ persoane. (2p)
b) Din formula reuniunii: $∣ A \cup M ∣ = ∣ A ∣ + ∣ M ∣ - ∣ A \cap M ∣$ , adică $87 = 58 + 45 - x \Rightarrow 87 = 103 - x \Rightarrow x = 103 - 87 = 16.$ Deci $16$ persoane folosesc ambele mijloace. (2p: 1p ecuație corectă + 1p rezolvare)
c) Doar autobuzul: $∣ A ∖ M ∣ = 58 - x = 58 - 16 = 42$ persoane. (2p)

Verificare: doar autobuz $42$ + doar mașină $(45 - 16) = 29$ + ambele $16$ + niciunul $13 = 42 + 29 + 16 + 13 = 100$ . ✓

Pentru părinți

Această fișă consolidează unitatea „Mulțimi și operații cu mulțimi" (reuniune, intersecție, diferență, cardinal, probleme de numărare cu diagrame Venn și mulțimi de puncte).

Punctaj total: 100 de puncte, distribuite pe cei 16 itemi (fiecare item are punctajul trecut alături).
Timp recomandat: 50 de minute, în condiții de lucru independent.
Cum se aplică: elevul rezolvă pe foaie separată, scriind toate calculele și justificările. La final, comparați cu baremul de la sfârșitul fișei. Un rezultat corect fără justificare primește doar o parte din punctaj, exact ca la evaluările școlare.
Interpretare: peste 85 de puncte = stăpânire foarte bună; 70–85 = bine, cu mici corecturi; sub 70 = recomandăm reluarea exercițiilor 4–10 înainte de a continua.