Acasă · Clasa a VI-a · Teste · Fișă de exersare: paralelism și aplicații — Clasa a VI-a

Fișă de exersare: paralelism și aplicații — Clasa a VI-a

Exerciții

Exercițiul 1 (6 puncte)

Pe un plan de rezistență, două grinzi paralele a și b sunt intersectate de o tijă oblică (secanta s). Unul dintre unghiurile formate are măsura de 124°.

Calculează măsura unui unghi care, față de cel de 124°, este:

a) corespondent; (2p)
b) altern intern; (2p)
c) intern de aceeași parte a secantei. (2p)

Exercițiul 2 (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează în câteva cuvinte. (câte 1p)

a) Dacă o pereche de unghiuri alterne interne formate de două drepte cu o secantă sunt egale, atunci dreptele sunt paralele.
b) Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la dreapta dată.
c) Unghiurile interne de aceeași parte a secantei, la două drepte paralele, sunt egale.
d) Două drepte paralele cu aceeași dreaptă sunt paralele între ele.
e) Dacă două unghiuri corespondente sunt suplementare, atunci dreptele sunt paralele.

Exercițiul 3 (6 puncte)

La montarea unei ferestre, două profile paralele sunt tăiate de o traversă. Două unghiuri interne de aceeași parte a traversei au măsurile $(2 x + 10) °$ și $(3 x + 20) °$ .

a) Scrie relația dintre cele două unghiuri și află $x$ . (4p)
b) Calculează măsurile celor două unghiuri. (2p)

Exercițiul 4 (5 puncte)

O secantă taie două drepte paralele. Două unghiuri alterne interne au măsurile $(4 x - 15) °$ și $(2 x + 35) °$ .

a) Scrie relația dintre ele și află $x$ . (3p)
b) Află măsura comună a celor două unghiuri. (2p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

O secantă intersectează dreptele a și b. Două unghiuri corespondente au măsurile de 112° (la a) și 108° (la b).

a) Sunt dreptele a și b paralele? (2p)
b) Justifică răspunsul folosind criteriul de paralelism. (4p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Pe schița unei plăci deformate sub forma unui paralelogram ABCD, unghiul $A$ măsoară 64°. Laturile opuse sunt paralele: $A B ∥ C D$ și $A D ∥ B C$ .

Calculează măsurile unghiurilor $B$ , $C$ și $D$ , justificând fiecare rezultat prin paralelismul laturilor. (câte 2p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

Se consideră triunghiul ABC. Prin vârful $A$ se duce dreapta $d$ paralelă cu latura $B C$ . Se știe că $B = 50°$ și $C = 70°$ .

a) Folosind unghiurile alterne interne (deoarece $d ∥ B C$ ), arată care unghiuri de la vârful $A$ sunt egale cu $B$ și cu $C$ . (3p)
b) Calculează măsura unghiului $A$ al triunghiului și verifică faptul că suma unghiurilor triunghiului este 180°. (3p)

Exercițiul 8 (5 puncte)

Secțiunea transversală a unui jgheab are forma unui trapez ABCD cu bazele paralele $A B ∥ C D$ . Se cunosc $A = 72°$ și $C = 115°$ .

a) Calculează unghiul $D$ (latura $A D$ este secantă). (3p)
b) Calculează unghiul $B$ . (2p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

O conductă are o porțiune în formă de „baionetă": segmentul de intrare este paralel cu segmentul de ieșire ( $a ∥ b$ ), unite printr-un segment oblic $s$ .

a) Ce relație există între unghiul format de $s$ cu $a$ și unghiul format de $s$ cu $b$ (în interior, de o parte și de alta a secantei)? (3p)
b) Dacă unghiul interior la $a$ este 130°, află unghiul interior la $b$ . (3p)

Exercițiul 10 (5 puncte)

Trei drepte paralele $a ∥ b ∥ c$ sunt tăiate de o secantă. Un unghi format la a cu secanta măsoară 65°.

Află măsurile unghiurilor corespondente formate la b și la c și explică de ce au aceeași măsură. (5p)

Exercițiul 11 (5 puncte)

Completează enunțurile cu condiția necesară pentru ca dreptele a și b, tăiate de o secantă, să fie paralele. (câte 1p)

a) dacă o pereche de unghiuri corespondente sunt ________ ;
b) dacă o pereche de unghiuri alterne interne sunt ________ ;
c) dacă o pereche de unghiuri alterne externe sunt ________ ;
d) dacă o pereche de unghiuri interne de aceeași parte a secantei sunt ________ ;
e) dacă o pereche de unghiuri externe de aceeași parte a secantei sunt ________ .

Exercițiul 12 (5 puncte)

a) Enunță axioma paralelelor (a lui Euclid). (2p)
b) Un elev afirmă: „Prin punctul $P$ , exterior dreptei $d$ , am desenat două drepte diferite, ambele paralele cu $d$ ." Explică de ce afirmația este falsă. (3p)

Exercițiul 13 (6 puncte)

În paralelogramul MNPQ (cu $M N ∥ QP$ și $M Q ∥ N P$ ), unghiul $M = (3 x + 10) °$ și unghiul $N = (2 x - 5) °$ .

a) Folosind faptul că $M$ și $N$ sunt interne de aceeași parte a secantei $M N$ (deoarece $M Q ∥ N P$ ), scrie ecuația și află $x$ . (3p)
b) Calculează măsurile tuturor unghiurilor paralelogramului. (3p)

Exercițiul 14 (5 puncte)

Suma măsurilor unghiurilor unui poligon convex cu $n$ laturi este $(n - 2) \cdot 180°$ . Un pentagon convex ABCDE are patru dintre unghiuri de $100°$ , $120°$ , $95°$ și $130°$ .

a) Calculează suma măsurilor unghiurilor pentagonului. (2p)
b) Află măsura celui de-al cincilea unghi. (3p)

Exercițiul 15 (6 puncte)

Dreptele a și b sunt paralele, tăiate de secanta s. Un unghi format la a are măsura $(5 x) °$ , iar unghiul altern extern corespunzător, format la b, are măsura $(3 x + 40) °$ .

a) Scrie ecuația și află $x$ . (3p)
b) Află măsura fiecăruia dintre cele două unghiuri. (3p)

Exercițiul 16 (4 puncte)

Două drepte paralele sunt tăiate de o secantă. Justifică, în 2–3 propoziții, de ce unghiurile alterne externe sunt egale. (Poți folosi unghiurile corespondente și unghiurile opuse la vârf.) (4p)

Exercițiul 17 (3 puncte)

Un raft are două polițe perfect paralele. Un suport metalic le intersectează, formând cu polița de sus un unghi de 78° (măsurat în interior).

Ce unghi formează suportul cu polița de jos, în poziție de unghi corespondent? Justifică. (3p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100 de puncte = 90 de puncte (itemi) + 10 puncte din oficiu.

Exercițiul 1 — 6p

a) 124° — unghiurile corespondente, la drepte paralele, sunt egale. (2p)
b) 124° — unghiurile alterne interne, la drepte paralele, sunt egale. (2p)
c) 56° — unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare: $180° - 124° = 56°$ . (2p)

Exercițiul 2 — 5p (câte 1p)

a) A — este chiar criteriul de paralelism (unghiuri alterne interne egale).
b) A — exact axioma paralelelor: există o unică paralelă.
c) F — ele sunt suplementare (suma 180°), nu egale.
d) A — proprietatea de tranzitivitate a paralelismului.
e) F — criteriul cere ca unghiurile corespondente să fie egale, nu suplementare.

Exercițiul 3 — 6p

a) Unghiuri interne de aceeași parte ⇒ suplementare: $(2 x + 10) + (3 x + 20) = 180$ ⇒ $5 x + 30 = 180$ ⇒ $5 x = 150$ ⇒ $x = 30$ . (4p)
b) $2 \cdot 30 + 10 = 70°$ și $3 \cdot 30 + 20 = 110°$ . Verificare: $70° + 110° = 180°$ . (2p)

Exercițiul 4 — 5p

a) Unghiuri alterne interne ⇒ egale: $4 x - 15 = 2 x + 35$ ⇒ $2 x = 50$ ⇒ $x = 25$ . (3p)
b) $4 \cdot 25 - 15 = 85°$ (și $2 \cdot 25 + 35 = 85°$ ). Măsura comună: 85°. (2p)

Exercițiul 5 — 6p

a) Nu, dreptele a și b nu sunt paralele. (2p)
b) La drepte paralele, unghiurile corespondente trebuie să fie egale. Aici $112° \neq = 108°$ , deci criteriul de paralelism nu este îndeplinit ⇒ dreptele nu sunt paralele. (4p)

Exercițiul 6 — 6p (câte 2p)

$A D ∥ B C$ , tăiate de $A B$ ⇒ $A$ și $B$ interne de aceeași parte ⇒ $A + B = 180°$ ⇒ $B = 180° - 64° = 116°$ .
$A B ∥ C D$ , tăiate de $B C$ ⇒ $B + C = 180°$ ⇒ $C = 180° - 116° = 64°$ .
Analog ( $A D ∥ B C$ , tăiate de $C D$ ) ⇒ $C + D = 180°$ ⇒ $D = 116°$ .
(Verificare: $64° + 116° + 64° + 116° = 360°$ .)

Exercițiul 7 — 6p

a) $d ∥ B C$ , cu $A B$ secantă ⇒ unghiul dintre $d$ și $A B$ (de o parte) este altern intern cu $B$ , deci = 50°; cu $A C$ secantă ⇒ unghiul dintre $d$ și $A C$ este altern intern cu $C$ , deci = 70°. (3p)
b) Cele trei unghiuri din $A$ , situate de aceeași parte a dreptei $d$ , formează un unghi alungit (180°): $50° + A + 70° = 180°$ ⇒ $A = 60°$ . Suma unghiurilor triunghiului: $50° + 70° + 60° = 180°$ . (3p)

Exercițiul 8 — 5p

a) $A B ∥ C D$ , $A D$ secantă ⇒ $A$ și $D$ interne de aceeași parte ⇒ $A + D = 180°$ ⇒ $D = 180° - 72° = 108°$ . (3p)
b) $B C$ secantă ⇒ $B + C = 180°$ ⇒ $B = 180° - 115° = 65°$ . (2p)
(Verificare: $72° + 65° + 115° + 108° = 360°$ .)

Exercițiul 9 — 6p

a) Cele două unghiuri interioare (de o parte și de alta a secantei, între paralele) sunt alterne interne, deci egale. (3p)
b) Fiind egale: unghiul interior la b este tot 130°. (3p)

Exercițiul 10 — 5p

$a ∥ b ∥ c$ , tăiate de aceeași secantă. Unghiurile corespondente la drepte paralele sunt egale, deci atât la b cât și la c unghiul corespondent are 65°. (3p pentru rezultat)
Explicație: oricare două dintre dreptele paralele, tăiate de o secantă, dau unghiuri corespondente egale; cum toate sunt egale cu cel de la a, toate sunt de 65°. (2p)

Exercițiul 11 — 5p (câte 1p)

a) egale; b) egale; c) egale; d) suplementare; e) suplementare.

Exercițiul 12 — 5p

a) Axioma paralelelor: printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură dreaptă paralelă cu dreapta dată. (2p)
b) Afirmația este falsă: conform axiomei, paralela prin $P$ la $d$ este unică. Dacă ambele drepte ar fi paralele cu $d$ și ar trece prin $P$ , ele ar trebui să coincidă, deci nu pot fi „două drepte diferite". (3p)

Exercițiul 13 — 6p

a) $M Q ∥ N P$ , $M N$ secantă ⇒ $M$ și $N$ interne de aceeași parte ⇒ $M + N = 180°$ : $(3 x + 10) + (2 x - 5) = 180$ ⇒ $5 x + 5 = 180$ ⇒ $5 x = 175$ ⇒ $x = 35$ . (3p)
b) $M = 3 \cdot 35 + 10 = 115°$ ; $N = 2 \cdot 35 - 5 = 65°$ . În paralelogram, unghiurile opuse sunt egale: $P = M = 115°$ și $Q = N = 65°$ . (3p)
(Verificare: $115° + 65° + 115° + 65° = 360°$ .)

Exercițiul 14 — 5p

a) $(5 - 2) \cdot 180° = 3 \cdot 180° = 540°$ . (2p)
b) $100° + 120° + 95° + 130° = 445°$ ⇒ al cincilea unghi $= 540° - 445° = 95°$ . (3p)

Exercițiul 15 — 6p

a) Unghiuri alterne externe la drepte paralele ⇒ egale: $5 x = 3 x + 40$ ⇒ $2 x = 40$ ⇒ $x = 20$ . (3p)
b) $5 \cdot 20 = 100°$ și $3 \cdot 20 + 40 = 100°$ . Fiecare unghi are 100°. (3p)

Exercițiul 16 — 4p

Răspuns model: La drepte paralele, unghiurile corespondente sunt egale. Un unghi altern extern de la dreapta a este corespondent cu un unghi format la dreapta b; acel unghi este, la rândul său, opus la vârf (deci egal) cu celălalt unghi altern extern de la b. Cum egalitatea se păstrează prin ambele relații, rezultă că cele două unghiuri alterne externe sunt egale. (4p: 2p pentru folosirea unghiurilor corespondente la paralele, 2p pentru legătura cu unghiurile opuse la vârf)

Exercițiul 17 — 3p

78°. Polițele fiind paralele, iar suportul fiind o secantă, unghiul cerut este corespondent cu cel de la polița de sus, deci au aceeași măsură: 78°. (3p)

Punctaj final: $90$ (itemi) $+ 10$ (oficiu) $= 100$ de puncte.

Pentru părinți

Această fișă consolidează unitatea Paralelism: drepte paralele și axioma paralelelor, unghiurile formate de două drepte paralele tăiate de o secantă, criteriile de paralelism și aplicații ale paralelismului în poligoane (triunghi, paralelogram, trapez, poligon convex).

Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe o foaie separată, scriind calculele și justificările complete. Pentru itemii de geometrie, marcajul 🖼️ indică o figură pe care elevul o poate desena după descriere.
Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte itemii + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 80–90 de minute.
Notă: la itemii de justificare nu este suficient răspunsul numeric — se cere și criteriul / relația folosită (alterne interne, corespondente, interne de aceeași parte etc.).